高三数学一轮复习 第十章 第四节 随机事件的概率课件 理 新人教A版 .ppt

第四节随机事件的概率 1 概率和频率 1 在相同的条件下重复n次试验 观察某一事件a是否出现 称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数 称事件a出现的比例fn a 为事件a出现的频率 2 对于给定的随机事件a 由于事件a发生的频率fn a 随着试验次数的增加稳定于概率p a 因此可以用 来估计概率p a 频率fn a 事件a发生 事件b发生 2 事件的关系与运算 a b a b 事件a发生 事件b发生 a b ab 不可能 不可能 必然事件 3 概率的几个基本性质 1 概率的取值范围 2 必然事件的概率p e 3 不可能事件的概率p f 4 概率的加法公式如果事件a与事件b互斥 则p a b 5 对立事件的概率若事件a与事件b互为对立事件 则p a 0 p a 1 p a p b 1 p b 1 0 1 频率与概率有什么区别与联系 提示 频率随着试验次数的变化而变化 概率却是一个常数 它是频率的科学抽象 当试验次数越来越多时 频率向概率靠近 只要次数足够多 所得频率就近似地当作随机事件的概率 2 互斥事件与对立事件有什么区别和联系 提示 两个事件互斥 它们未必对立 反之 两个事件对立 它们一定互斥 也就是说 两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件 1 人教a版教材习题改编 袋中装有3个白球 4个黑球 从中任取3个球 则 恰有1个白球和全是白球 至少有1个白球和全是黑球 至少有1个白球和至少有2个白球 至少有1个白球和至少有1个黑球 在上述事件中 是对立事件的为 a b c d 解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生 且一定有一个发生 中两事件是对立事件 答案 b 2 从一箱产品中随机地抽取一件 设事件a 抽到一等品 事件b 抽到二等品 事件c 抽到三等品 且已知p a 0 65 p b 0 2 p c 0 1 则事件 抽到的不是一等品 的概率为 a 0 7b 0 65c 0 35d 0 5 解析 抽到的不是一等品 与事件a是对立事件 所求概率p 1 p a 0 35 答案 c 3 2012 江苏高考 现有10个数 它们能构成一个以1为首项 3为公比的等比数列 若从这10个数中随机抽取一个数 则它小于8的概率是 4 从一副混合后的扑克牌 52张 中 随机抽取1张 事件a为 抽得红桃k 事件b为 抽得黑桃 则概率p a b 结果用最简分数表示 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件 某小组有3名男生和2名女生 从中任选2名同学去参加演讲比赛 其中 1 恰有1名男生和恰有2名男生 2 至少有1名男生和至少有1名女生 3 至少有1名男生和全是女生 思路点拨 首先明确任选2名同学的所有可能情况 然后根据各事件包含的各种可能结果进一步判定事件间的关系 尝试解答 1 是互斥事件 不是对立事件 恰有1名男生 实质选出的是 1名男生和1名女生 它与 恰有两名男生 不可能同时发生 但其并事件不是必然事件 所以是互斥事件 不是对立事件 2 不是互斥事件 也不是对立事件 至少有1名男生 包括 1名男生和1名女生 与 两名都是男生 两种结果 至少有1名女生 包括 1名女生和1名男生 与 两名都是女生 两种结果 它们可能同时发生 3 是互斥事件且是对立事件 至少有1名男生 即 选出的两人不全是女生 它与 全是女生 不可能同时发生 且其并事件是必然事件 所以也是对立事件 1 求解的关键是明确 任选2名同学 的各种可能情况 看研究的事件包含哪些试验结果 从而判定事件间的关系 2 1 对互斥事件要把握住不能同时发生 而对于对立事件除不能同时发生外 其并事件应为必然事件 这些也可类比集合进行理解 2 对立事件是互斥事件中的特殊情况 但互斥事件不一定是对立事件 互斥 是 对立 的必要不充分条件 从40张扑克牌 红桃 黑桃 方块 梅花点数从1 10各10张 中 任取一张 判断下列给出的每对事件 是否为互斥事件 是否为对立事件 并说明理由 1 抽出红桃 与 抽出黑桃 2 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 3 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 解 1 是互斥事件 不是对立事件 抽出黑桃 与 抽出红桃 是不可能同时发生 但可以都不发生 所以两事件互斥不对立 2 是互斥事件 且对立事件 从40张扑克牌中 任意抽取1张 抽出红色牌 与 抽出黑色牌 两个事件不可能同时发生 但其中必有一个发生 所以它们既是互斥事件 又是对立事件 3 不是互斥事件 也不是对立事件 从40张扑克牌中任意抽取1张 抽出的牌点数为5的倍数 与 抽出的牌点数大于9 这两个事件可能同时发生 如抽得点数为10 因此 二者不是互斥事件 当然不可能是对立事件 2013 汕头质检 如图10 4 1所示 a地到火车站共有两条路径l1和l2 现随机抽取100位从a地到达火车站的人进行调查 调查结果如下 1 试估计40分钟内不能赶到火车站的概率 2 现甲 乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站 试通过计算说明 他们应如何选择各自的路径 思路点拨 1 根据频数分布表计算频率 利用频率估计概率 2 分别根据不同路径估计概率 并比较大小 做出判定 尝试解答 1 由已知共调查了100人 其中40分钟内不能赶到火车站的有12 12 16 4 44 人 用频率估计相应的概率为0 44 2 设a1 a2分别表示甲选择l1和l2时 在40分钟内赶到火车站 b1 b2分别表示乙选择l1和l2时 在50分钟内赶到火车站 由频数分布表知 40分钟赶往火车站 选择不同路径l1 l2的频率分别为 6 12 18 60 0 6 4 16 40 0 5 估计p a1 0 6 p a2 0 5 则p a1 p a2 因此 甲应该选择路径l1 同理 50分钟赶到火车站 乙选择路径l1 l2的频率分别为48 60 0 8 36 40 0 9 估计p b1 0 8 p b2 0 9 p b1 p b2 因此乙应该选择路径l2 1 1 解题的关键是正确计算选择不同路径时 事件发生的频率 并用频率估计概率 2 第 2 问的实质是比较选择不同路径概率的大小 2 概率是频率的稳定值 它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 它是频率的科学抽象 当试验次数越来越多时 频率越稳定于一个常数 可用频率来估计概率 2012 陕西高考 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等 为了解它们的使用寿命 现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试 结果统计如图10 4 2所示 1 估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率 2 这两种品牌产品中 某个产品已使用了200小时 试估计该产品是甲品牌的概率 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩 正在加紧备战 经过近期训练 某队员射击一次命中7 10环的概率如下表所示 求该射击队员射击一次 1 射中9环或10环的概率 2 命中不足8环的概率 思路点拨 该射击队员在一次射击中 命中几环不可能同时发生 故是彼此互斥事件 利用互斥事件求概率的公式求其概率 另外 当直接求解不容易时 可先求其对立事件的概率 尝试解答 记事件 射击一次 命中k环 为ak k n k 10 则事件ak彼此互斥 1 记 射击一次 射中9环或10环 为事件a 那么当a9 a10之一发生时 事件a发生 由互斥事件的加法公式得p a p a9 p a10 0 28 0 32 0 60 2 设 射击一次 至少命中8环 的事件为b 则b表示事件 射击一次 命中不足8环 又b a8 a9 a10 由互斥事件概率的加法公式得p b p a8 p a9 p a10 0 18 0 28 0 32 0 78 p b 1 p b 1 0 78 0 22 因此 射击一次 命中不足8环的概率为0 22 1 解答本题时 首先应正确判断各事件的关系 然后把所求事件用已知概率的事件表示 最后用概率加法公式求解 2 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 一是直接求解法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 二是间接法 先求该事件的对立事件的概率 再由p a 1 p 求解 当题目涉及 至多 至少 型问题 多考虑间接法 答案 c 1 频率与概率有本质的区别 频率随着实验次数的改变而发生变化 概率是大量随机事件现象的客观规律 是一个常数 2 对立事件不仅两个事件不能同时发生 而且二者必有一个发生 对立事件是互斥事件的特殊情形 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法 1 直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和 运用互斥事件的求和公式计算 2 间接法 先求此事件的对立事件的概率 再用公式p a 1 p 即运用逆向思维 正难则反 从近两年高考命题看 随机事件及其概率基本上不单独考查 但概率与统计交汇 如2012 北京 互斥事件 对立事件与古典概型 几何概型渗透是命题的热点 题目不超过中等难度 重点考查学生分析问题与数学计算能力 解题的关键是准确理解事件间关系及其概率 2012 湖南高考 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息 安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据 如下表所示 思想方法之二十用正难则反思想求互斥事件的概率 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55 1 确定x y的值 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值 2 求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率 将频率视为概率 规范解答 1 由题意 x 15 y 20 易错提示 1 对统计表的信息不理解 错求x y难以用样本平均数估计总体 2 不能正确地把事件a转化为几个互斥事件的和或转化为b c的对立事件 导致计算错误