高考数学 第三章 第三节三角函数的图象与性质课件 理.ppt

第三节三角函数的图象与性质 1 周期函数和最小正周期对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 则称f x 为周期函数 t为它的一个周期 若在所有周期中 有一个最小的正数 则这个最小的正数叫做f x 的最小正周期 f x t f x 即时应用 思考 1 常函数f x a a r 是否为周期函数 有无最小正周期 2 若函数f x 满足f x 2 f x 函数f x 是周期函数 对吗 提示 1 是周期函数 但没有最小正周期 2 对 因为f x 4 f x 2 f x 所以f x 是周期函数 最小正周期是4 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 r r 1 1 1 1 r x x r且x k k z 2k 2k 2k 2k 2k 2k 2k 2k k k 2k k z 2k k z 2k k z 2k k z 1 k 0 k z k 0 k z 0 k z x k k z x k k z 即时应用 1 判断下列命题的正误 请在括号中填 或 y sinx在第一 第四象限是增函数 y sinx在x 上是增函数 y tanx在定义域上是增函数 y sin x 是偶函数 y sin2x的周期为2 y cos2x的对称中心为 k 0 k z 2 若直线y a与函数y sinx x 2 2 的图象有4个交点 则a的取值范围是 3 函数y tan x 的定义域是 解析 1 由y sinx的递增区间是 2k 2k k z 可知 不正确 正确 由y tanx在 k k k z 上是增函数可知 不正确 由sin x sin x 可知 正确 由y sin2x的周期为 知 不正确 由余弦函数y cosx的对称中心为 k 0 k z 可得x 所以 0 k z 为y cos2x的对称中心 故 不正确 2 如图所示 y sinx x 2 2 有两个周期 故若y sinx与y a有4个交点 则 1 a 1 3 由x k k z得x k k z 所以y tan x 的定义域为 x x k k z 答案 1 2 1 a 1 3 x x k k z 热点考向1三角函数的定义域和值域 方法点睛 1 三角函数的定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 三角函数值域的求法 1 利用sinx和cosx的值域直接求 2 把所给的三角函数式变换成y asin x 的形式求值域 3 把sinx或cosx看作一个整体 转换成二次函数求值域 4 利用sinx cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域 例1 1 函数y 的定义域为 2 已知f x 的定义域为 0 1 则f cosx 的定义域为 3 函数y lgsin cosx 的定义域为 4 2012 大纲版全国卷 当函数 0 x 2 取得最大值时 x 规范解答 1 由tanx 1 0 且x k k z得x k 且x k k z 所以函数的定义域为 x x k 且x k k z 答案 x x k 且x k k z 2 0 cosx 1 2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 3 由sin cosx 0 2k cosx 2k k z 又 1 cosx 1 0 cosx 1 故所求定义域为 2k 2k k z 答案 2k 2k k z 4 由 0 x 2 即时 函数取得最大值为2 答案 互动探究 把本例 2 中的cosx改为sinx 如何求解 解析 要使0 sinx 1 则2k x 2k k z 所求函数的定义域为 2k 2k k z 变式备选 1 2012 龙岩模拟 函数y 的定义域为 2 函数y f cosx 的定义域为 2k 2k k z 则函数y f x 的定义域为 3 求函数y sinx cosx sinxcosx x 0 的最大值和最小值 解析 1 由log2 1 0 log2 1 2 0 sinx 得2k x 2k 或2k x 2k k z 答案 2k 2k 2k 2k k z 2 由2k x 2k k z 得 cosx 1 所以函数y f x 的定义域为 1 答案 1 3 设sinx cosx t t sin x x sin x 1得t 1 sinxcosx y t t2 t t 1 2 1 当t 1时 ymax 1 当t 1时 ymin 1 热点考向2三角函数的单调性 方法点睛 复合三角函数的单调区间求形如y asin x k的单调区间时 只需把 x 看作一个整体代入y sinx的相应单调区间内即可 注意要先把 化为正数 求y acos x k和y atan x k的单调区间类似 提醒 熟记正弦 余弦 正切函数的单调区间是求较复杂的三角函数单调区间的基础 例2 求下列函数的单调区间 1 y sin 2 y sin x 解题指南 1 要将原函数化为y sin x 再求之 2 可画出y sin x 的图象 利用图象求解 规范解答 1 y sin sin 故由2k 2k k z 3k x 3k k z 为单调递减区间 由2k 2k k z 3k x 3k k z 为单调递增区间 单调递减区间为 3k 3k k z 单调递增区间为 3k 3k k z 2 y sin x 的图象如图 单调递增区间为 k k k z 单调递减区间为 k k k z 反思 感悟 三角函数的单调区间的求法 1 代换法所谓代换法 就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角 或t 利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间 这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间 2 图象法函数的单调性表现在图象上是 从左到右 图象上升趋势的区间为单调递增区间 图象下降趋势的区间为单调递减区间 如果能画出三角函数的图象 那它的单调区间就直观明了了 变式训练 求下列函数的单调递增区间 1 y cos 2x 2 y 3sin 解析 1 设 2x 则y cos 当2k 2k k z 时 y cosu随u的增大而增大 又 2x 随x的增大而增大 x r 当2k 2x 2k k z 即k x k k z 时 y随x增大而增大 y cos 2x 的单调递增区间为 k k k z 2 y 3sin 3sin 由2k 2k k z 4k x 4k k z 函数y 3sin 的单调递增区间为 4k 4k k z 热点考向3三角函数的奇偶性和周期性 方法点睛 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要知道基本三角函数的奇偶性 再根据题目去判断它们的奇偶性 也可以根据图象做判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 2 利用公式 y asin x 和y acos x 的最小正周期为 y tan x 的最小正周期为 3 利用图象 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图象既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图象只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心 并注意数形结合思想的应用 提醒 判断函数的奇偶性时 必须先分析函数定义域是否是关于原点对称的区间 要注意以下两种情况 一是没有考虑原函数的定义域 二是化简时没有注意等价变形 例3 设函数f x sin x 0 给出以下四个论断 它的最小正周期为 它的图象关于直线x 成轴对称图形 它的图象关于点 0 成中心对称图形 在区间 0 上是增函数 以其中两个论断作为条件 另两个论断作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示即可 解题指南 本题是一个开放性题目 依据正弦函数的图象及单调性 周期性以及对称性逐一判断 规范解答 若 成立 则 2 令2 k k z 且 故k 0 此时f x sin 2x 当x 时 sin 2x sin 0 f x 的图象关于 0 成中心对称 又f x 在 上是增函数 在 0 上也是增函数 因此 用类似的分析可得 因此填 或 答案 也可填 反思 感悟 三角函数的周期性 对称性是三角函数的特有性质 要切实掌握 而且经常考查 解决时要注意结合三角函数的图象 其中对称性包含轴对称和中心对称 变式训练 2013 福州模拟 下列函数中是奇函数 且最小正周期是 的函数是 a y tan2x b y sin2x c d 解析 选d 四个选项中为奇函数的是a和d 其中y tan2x的最小正周期为而y sin2x 的最小正周期是是偶函数 的最小正周期是 是偶函数 而y 的最小正周期是 故选d 变式备选 已知函数f x sin x 1 则下列说法正确的是 a f x 是周期为1的奇函数 b f x 是周期为2的偶函数 c f x 是周期为1的非奇非偶函数 d f x 是周期为2的非奇非偶函数 解析 选b t 2 且f x sin x 1 cos x 1 f x 为偶函数 1 2012 湖南高考 函