高中数学 第一部分 3.2 第一课时 一元二次不等式的解法（1）课件 新人教A版必修5.ppt

3 2一元二次不等式及其解法 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 第三章不等式 第一课时一元二次不等式的解法 1 考点一 考点二 考点三 知识点一 知识点二 观察下列不等式 1 x2 0 2 x2 2x 0 3 x2 5x 6 0 问题1 上述不等式各有几个未知数 并且未知数的最高次数是多少 提示 各有一个未知数x 并且未知数的最高次数是2 问题2 上述三个不等式在表达形式上有何共同特点 提示 形如ax2 bx c 0 或 0 其中a b c为常数 且a 0 1 定义只含有未知数 并且未知数的的不等式 称为一元二次不等式 2 一般表达式一元二次不等式的一般表达形式是ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0或ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0 其中a b c为常数 一个 最高次数是2 3 解与解集使一元二次不等式成立的叫做一元二次不等式的 所有的解所组成的叫做一元二次不等式的 x的值 解 集合 解集 已知一元二次不等式x2 2x 0 一元二次函数y x2 2x 一元二次方程x2 2x 0 问题1 二次函数与x轴交点坐标是多少 提示 0 0 2 0 问题2 一元二次方程根是什么 提示 x1 0 x2 2 问题3 问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系 提示 交点的横坐标为方程的根 问题4 x满足是什么条件 函数图象在x轴上方 提示 x 2或x 0 问题5 能否利用问题4得出不等式x2 2x 0的解集 提示 能 不等式的解集为 x x 2或x 0 问题6 不等式x2 2x 0的解集呢 提示 x 0 x 2 解一元二次不等式可以根据函数的零点与相应一元二次方程根的关系 先求出一元二次方程的根 再根据函数图象与x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 如下表 x x x1或 x x2 x x x1 x x1 x x2 r 1 对一元二次不等式概念的理解 1 只含一个未知数 并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量 只要明确指出这些字母所代表的量 哪一个是变量 未知数 哪一些是 参数 就可以 2 次数最高是2 仅限于 未知数 若还含有其他参数 则次数不受此条件限制 2 当 0 其中a 0 时 相应的一元二次方程有两个实根 ax2 bx c 0的解集可简记为 判别式大于零 取两边 ax2 bx c 0的解集可简记为 判别式大于零 取中间 当 0 其中a 0 时 方程无实根 一元二次不等式ax2 bx c 0的解集是r ax2 bx c 0的解集是 第一课时一元二次不等式的解法 1 例1 解下列不等式 1 x2 5x 6 0 2 x2 7x 6 3 2 x x 3 x 4 x 思路点拨 首先将不等式等价转化为不等式的右边是0 左边为ax2 bx c a 0 的形式 再求出对应方程的根 然后结合二次函数的图象写出解集 精解详析 1 方程x2 5x 6 0的两根为x1 1 x2 6 结合二次函数y x2 5x 6的图象知 原不等式的解集为 x x6 2 原不等式可化为x2 7x 6 0 解方程x2 7x 6 0得 x1 1 x2 6 结合二次函数y x2 7x 6的图象知 原不等式的解集为 x 1 x 6 3 原不等式可化为 x 2 x 3 0 方程 x 2 x 3 0两根为2和 3 结合二次函数y x 2 x 3 的图象知 原不等式的解集为 x x2 一点通 1 解一元二次不等式一般按照 三步曲 进行 第一步 化二次项的系数为正数 第二步是求解相应的一元二次方程的根 第三步 根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集 2 当把二次项的系数化为正数 并求得相应方程的根后 也可以直接按下列技巧写解集 即 大于0取两边 小于0取中间 意指 取根的两边 夹根的中间 如 x 1 x 2 0 x2 x 1 x 2 0 1 x 2 1 不等式x x2的解集是 a x x 1 b x xx2 x x 1 0 0 x 1 答案 c 2 不等式x2 6x 105 d x x 2 解析 36 40 4 0 方程x2 6x 10 0无实根 结合二次函数y x2 6x 10的图象知 不等式的解集为 答案 a 3 解下列不等式 1 2 3x 2x2 0 2 x 3 x x x 2 1 一点通 三个二次 之间的内在联系 4 关于x的不等式x2 bx c 0的解集是 x x3 则b c 答案 56 5 若关于x的不等式ax2 6x a2 0的解集为 x 1 x m 则a m 答案 2 2 例3 12分 解关于x的不等式x2 a a2 x a3 0 思路点拨 先将不等式的左边分解因式 就此得方程x2 a a2 x a3 0的两根 然后就a的取值范围比较两根的大小 从而写出不等式的解集 精解详析 原不等式可化为 x a x a2 0 则方程x2 a a2 x a3 0的两根为x1 a x2 a2 2分 由a2 a a a 1 可知 1 当a1时 a2 a 原不等式的解为x a2或xa或x a2 8分 3 当a 0时 原不等式为x2 0 x 0 9分 4 当a 1时 原不等式为 x 1 2 0 x 1 10分 综上可知 当a1时 原不等式的解集为 x xa2 当0a 当a 0时 原不等式的解集为 x x 0 当a 1时 原不等式的解集为 x x 1 12分 一点通 含参数的不等式的解题步骤为 1 将二次项系数转化为正数 2 判断相应方程是否有根 如果可以直接分解因式 可省去此步 3 根据根的情况写出相应的解集 若方程有相异根 为了写出解集还要分析根的大小 另外 当二次项含有参数时 应先讨论二次项系数是否为0 这决定不等式是否为二次不等式 7 当a 1时 关于x的不等式x2 a 1 x a 0的解集是 解析 原不等式可化为 x a x 1 0 方程 x a x 1 0 的两根为 a 1 a 1 a1 答案 x x1 8 解关于x的不等式x2 ax 2a2 0 a r 解 原不等式转化为 x 2a x a 0 对应的一元二次方程的根为x1 2a x2 a 1 当a 0时 x1 x2 不等式的解集为 x a x 2a 2 当a 0时 原不等式化为x2 0 无解 3 当a 0时 x1 x2 不等式的解集为 x 2a x a 综上所述 原不等式的解集为a 0时 x a x 2a a 0时 x a 0时 x 2a x a 1 解一元二次不等式的一般步骤是 化为标准形式 确定判别式 b2 4ac的符号 若 0 则求出该不等式对应的二次方程的根 若 0 则对应的二次方程无根 联系二次函数的图象得出不等式的解集 特别地 若一元二次不等式的左边的