拉普拉斯方程数值解.doc

二维有限差分析是求解两个变量的拉普拉斯方程的一种近似方法，这种方法的要点如下：在平面场中，将平面划分成若干正方形格子，每个格子的边长都等于h，图13-10表示其中的一部分，设0点的电位为V0，0点周围方格顶点的电位分别为V1、V2、V3和V4。现在来推导一个用V1、V2、V3和V4表示V0的公式：图13-10已知平面场的电位满足两个变量的拉普拉斯方程： 其中但是所以同理将上面两个方程相加一起得：由上面方程推出：(13.47)该式说明0点的电位近似等于相互垂直的方向上和0点等距离的四个点上的电位平均值，距离h愈小则结果愈精确，方程（13.47）是用近似法求解两个变量拉普拉斯方程的依据。然而，V0和V1、V2、V3、V4都是未知值，这种情况下需要按照方程（13.47）写出每一点的电位方程，然后求这些方程的联立解。求解时较简便的方法是选代法，这种方法可求出平面场中各点电位的近似值。图13-11表示一个截面为正方形的导体槽，槽的顶面与侧面相互绝缘，顶面的电位为V0，侧面与底面的电位都等于零。为了求出槽中各点的电位，将槽分成十六个相同的方格，这些方格在槽中共有九个顶点。用V1、V2，V9表示各顶点的电位。求解步骤如下： 图13-11第一步，假设某点的电位为某值，称为某点的原始电位，原始电位等于多少并不影响最后的结果。如果原始电位选择得当，则计算步骤会得到简化。第二步，根据原始电位，利用式（13.47）求出每点周围四个点电位的平均值，电位平均值一般不等于电位的原始值，将平均值代替原始值就得到每点电位的第一次选代值。然后根据第一次选代值求出每点周围四个点电位的平均值，如果平均值不等于第一次选代值，就将平均值代替第一次选代值，得到每点电位的第二次选代值。第三步，利用式（13.47）对每点电位进行选代，一直到每点的电位与它的周围四个点的电位平均值相差在允许范围内为止。【例13.1】在图13-12中，设V=100，试用选代法求方格顶点上的电位。 图13-12解：设九个顶点的电位分别用V1、V2、V9来表示。第一步：设每点的原始电位都等于零。第二步：根据原始电位利用公式，求出各点的周围电位的平均值为：。其余各点周围电位的平均值都等于零。然后将所得的平均值代替原始值，得到第一次选代值。第三步，根据第一次选代值，求出各点周围电位的平均值为：然后将所得的平均值代替第一次选代值，得到第二次选代值。第四步：根据第二次选代值，求出各点周围电位的平均值为：表 13-1步 骤V1V2V3V4V5V6V7V8V910000000002252525000000331.337.531.36.36.36.300043642.2369.412.59.41.61.61.6537.946.137.912.515.712.52.83.92.8639.747.939.715.118.815.14.15.34.1740.849.640.815.720.915.75.16.85.1841.350.641.316.72216.75.67.85.6941.851.241.817.22317.26.18.36.11042.151.742.117.723.517.76.48.86.41142.451.942.41824186.69.16.61242.552.242.518.224.318.26.89.36.81342.752.342.618.424.518.46.99.56.91442.752.442.718.524.718.579.671542.852.542.718.624.818.679.771642.852.642.818.624.918.67.19.77.11742.852.642.818.724.918.77.19.87.11842.852.642.818.72518.77.19.87.142.852.642.818.72518.77.19.87.1然后将所得的平均值代替第二次选代值，得到第三次选代值。按照同样方法对每一点进行选代，结果如表13-1，可以看出，步骤18以后，各点的电位收敛于某固定值。利用有限差分法求解电位方程时，需要进行大量的计算，本题解仅求九个点的电位，计算工作量已可观、如果求电位的点数目很大，则必须用电子计算机进行计算。【例13.2】如图13-13所示表示四个不同形状的电极围成一个不规则槽，各电极的电位如图所示。槽的截面共分成14个相同的方格，试用选代法求出每个方格顶点的电位。图13-13解：第一步，设每点的原始电位都等于零。 第二步，根据原始电位，求出各点的周围电位的平均值。然后将所得的平均值代替原始值，得到第一次选代值。第三步，根据第一次选代值，求出各点周围电位的平均值为：