度高中数学 3.1.3 函数与方程同步辅导与检测课件 新人教A版必修1.ppt

3 1 3函数与方程 习题课 函数的应用 1 正确理解函数零点与方程根及函数图象与x轴交点横坐标的关系 2 正确应用函数零点判定定理判定函数零点所在区间 3 综合应用二分法与数形结合法与求根公式等方法研究与方程的根相关问题 基础梳理 1 设点 m n 是两曲线c1 y f x c2 y g x 的一个公共点 则方程f x g x 的一个解是 函数y f x g x 的一个零点是 2 函数f x ln 2 x 的零点是唯一的 从函数图象的变化趋势来看 这是因为 3 若方程2x a的解是唯一的 则实数a的取值范围是 若方程2x a无解 则实数a的取值范围是 4 直线y mx n与抛物线y ax2 bx c a 0 的公共点的个数至多有 x m m 函数f x ln 2 x 是区间上的减函数 2个 思考应用 1 设区间 a b 是连续函数f x 的零点所在的一个区间 用二分法逐步将零点所在区间拆分 逼近得到方程的近似解 这一方法中 体现了数学的哪些基本思想方法 解析 第一次用二分法将零点所在区间 a b 拆分得到两个子区间 这两个子区间中必有一个包含函数的零点 区间的长度是原区间长度的一半为 再用二分法时 包含函数的零点的区间长度是 第n次用二分法时 包含函数的零点的区间的长度为 当n 时 包含函数的零点的区间的长度趋向于0 所以二分法体现了数学中无限逼近的极限思想 也融合了数形结合思想 2 设区间 a b 是连续函数f x 的零点所在的一个区间 当f x 在区间 a b 上具有什么样的条件时 连续函数f x 的零点是唯一的 解析 当f x 在区间 a b 上是增函数或减函数时 可以确保连续函数f x 的零点是唯一的 3 对于二次函数f x ax2 bx c a 0 若存在x0 r 使a f x0 0 则f x0 0 结合图象可知 二次函数f x 有两个零点 分别在区间和上 a 0时有相同的结论 自测自评 答案 a 2 已知a是实数 函数f x ax2 3 3a x 2a 4 在下列所给区间中 函数f x 必有零点的一个区间是 a 0 1 b 1 2 c 2 3 d 3 4 3 已知a是实数 函数f x ax2 3 3a x 2a 4 如果函数f x 在区间 0 1 上有零点 则a的取值范围是 2 解析 f 1 1 f 2 2 f 1 f 2 0 解得 a 2 答案 2 判断零点所在的区间 设函数f x x lnx x 0 则函数y f x a 在区间 1 e 内均有零点b 在区间 1 e 内均无零点c 在区间内有零点 在区间 1 e 内无零点d 在区间内无零点 在区间 1 e 内有零点 跟踪训练 1 函数f x lnx 2x 6的零点一定位于区间 a 1 2 b 2 3 c 3 4 d 4 5 解析 易知函数f x 在定义域 0 内是增函数 f 1 ln1 2 6 4 0 f 2 ln2 4 6 ln2 2 0 f 3 ln3 0 f 2 f 3 0 即函数f x 零点所在区间是 2 3 答案 b点评 求零点所在区间判断是否有f 2 f 3 0 需注意的是f a f 3 0并不能说明该函数没有零点 根据零点个数求参数范围 若函数y mx2 2x 1只有1个零点 求实数m的值 解析 当m 0时 函数只有一个零点等价于 2x 1 0只有1个实数解 解方程得 x 满足题意 当m 0时 函数只有1个零点等价于方程mx2 2x 1 0有两个相等实根 所以 4 4m 0解得m 1 综合所述 m的值为0或 1 点评 解本题的关键是把函数零点转化为方程的根 针对函数的最高次项系数进行分类讨论 跟踪训练 2 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a a1c a 1d a 1 b 讨论曲线的公共点 求函数f x lnx与g x 6 2x的公共点的个数 解析 法一 利用信息技术直接画出函数f x f x g x lnx 2x 6的图象 法二 利用函数零点存在性定理因为函数f x 的图象在 0 是连续的 f 2 1 30690则f 2 f 3 0 这说明函数f x 在区间 2 3 内有零点 由于函数f x 在定义域内是增函数 所以它仅有一个公共点 法三 图象法 f x lnx 2x 6的零点 就是方程lnx 2x 6 0的解 即是lnx 2x 6的解 这个方程的解 我们可以看作是函数y lnx与y 2x 6图象交点的横坐标 画出这两个函数图象 可以得到交点个数为1 所以原函数只有一个交点 即仅有1个公共点 跟踪训练 3 设曲线c1 f x x 1 x 2 c2 g x ax 2 若曲线c1 c2没有公共点 求实数a的值 解析 令h x f x g x 1 a x 1 x 2 若曲线c1 c2没有公共点 等价于1 a 0或h 2 0 解得 a 1或a 一 选择填空题1 下列函数中有两个零点的是 a y lgxb y 2xc y x2d y x 12 函数f x x2 3x 2的零点是 a 1 0 2 0 b 1 2c 1 0 2 0 d 1 2 解析 函数的零点是使f x 0的实数x 答案