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树人学校2017-2018第二学期高三模拟考试（四）数学第卷（共70分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于第 象限3.设，则“”是“”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）4.为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 5.运行如图所示的算法流程图，输出的的值为 6.在平面直角坐标系中，若抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 7.书架上有5本书，其中语文书2本，数学书3本，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为 8.已知等差数列的前项和为，且，则 9.记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则 10.若将函数（）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，则 11.在中，是底边上的高，点是三角形的重心，若，则 12.已知函数（，为正实数）只有一个零点，则的最小值为 13.已知等边的边长为2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是 14.已知函数的最小值为，则实数的取值集合为 第卷（共90分）二、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在中，角，的对边分别为，已知，（1）求；（2）求的值16.如图，在三棱锥中，平面平面，分别为，的中点（1）求证：平面；（2）若，求证：平面17.某市为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，已知，是东西方向主干道边两个景点，且它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，线段段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线段段上的任意一点到的距离都相等以为原点、线段所在直线为轴建立平面直角坐标系（1）求道路的曲线方程；（2）现要在道路上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置（即确定点的坐标）？18.在平面直角坐标系中，椭圆：（）的短轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）已知为椭圆的上顶点，点为轴正半轴上一点，过点作的垂线与椭圆交于另一点，若，求点的坐标19.已知函数，（其中为参数）（1）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，求函数的单调区间；（3）求函数的极值20.已知无穷数列的各项都不为零，其前项和为，且满足（），数列满足，其中为正整数（1）求；（2）若不等式对任意的都成立，求首项的取值范围；（3）若首项是正整数，则数列中的任意一项是否总可以表示为数列中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由树人学校2017-2018第二学期高三模拟考试（四）数学答案一、填空题1.2.三3.充分不必要4.1005.96.67.8.9.10.11.612.13.14.二、解答题15.解：（1）在中，因为，所以，因为是的边，所以（2）在中，因为，所以，所以，在中，即，所以，又，所以，所以，所以16.证明：（1）在平面中，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2）在平面中，所以，在平面中，为中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，平面，所以平面17.解：（1）线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，所以线路段所在曲线是以定点，为左、右焦点的双曲线的右上支，则其方程为（，），因为线路段上的任意一点到的距离都相等，所以线路段所在曲线是以为圆心、以长为半径的圆，由线路段所在曲线方程可求得，则其方程为，故线路示意图所在曲线的方程为：段：，段：（2）当点在段上，设，又，则，由（1）得，即，则，即当时，当点在段上，设，又，则，由（1）得，即，即当时，因为，所以的坐标为，可使到景点的距离最近18.解：（1）因为椭圆的短轴长为，离心率为，所以又，解得所以椭圆的方程为（2）因为为椭圆的上顶点，所以设（），则，又，所以，所以直线的方程为，联列与得，所以，所以，在直角中，由，得，所以，解得，所以点的坐标为19.解：（1）分离参数得：对任意，恒成立，求导得，令，则，1极大值故，（2）的定义域为，其导函数为，当时，由（1）知，即，当且仅当时取等号，令，则，极大值所以的单调增区间为，单调减区间为（3）（），由上面知，又，故，下面讨论处理：当时，此时在上递增，在上递减；所以，无极小值；当时，此时在上递减，在上递增，所以，无极大值；当时，令，下面证在，上各有一个零点因为，在上递减且连续，所以在上有唯一零点，且，易证：时，故，又，在上递增且连续，所以在上有唯一零点，且，故在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，所以，综上得：时，无极小值；当时，无极大值；当时，20.解：（1）令，则，即，又，故；由，得，两式相减得，又，故，所以（2）由（1）知，数列是首项为1，公差为1的等差数列，数列是首项为，公差为1的等差数列，故所以当时奇数时，即，即对任意正奇数恒成立，所以，即；当时偶数时，即，即对任意正偶数恒成立，所以，即；综合得（3）由数列是首项为1，公差为1的等