高中数学 2.2.2抛物线的简单性质课件 北师大版选修11(1).ppt

成才之路 数学 路漫漫其修远兮吾将上下而求索 北师大版 选修1 1 圆锥曲线与方程 第二章 2抛物线2 2抛物线的简单性质 第二章 1 了解抛物线的范围 对称性 顶点 焦点 准线等几何性质 2 会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题 抛物线y2 2px p 0 的简单几何性质 1 对称性 以 y代y 方程y2 2px p 0 不变 因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形 抛物线的对称轴叫作抛物线的 抛物线只有一条对称轴 2 顶点 抛物线和它的 的交点叫作抛物线的顶点 抛物线的几何性质 x 轴 轴 3 离心率 抛物线上的点到 的距离和它到 的距离的比 叫作抛物线的离心率 抛物线的离心率为1 4 通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径 其长为 5 范围 由y2 2px 0 p 0知x 0 所以抛物线在y轴的 侧 当x的值增大时 y 也 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 p值越大 它开口 焦点 准线 2p 右 增大 越开阔 1 将直线方程与抛物线方程联立 消元后得到一元二次方程 若 0 则直线与抛物线 若 0 则直线与抛物线 若 0 则直线与抛物线 特别地 当直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线有 个公共点 2 在求解直线与抛物线的位置关系的问题时 要注意运用函数与方程思想 将位置关系问题转化为方程 的问题 直线与抛物线的位置关系及抛物线的焦点弦 相切 相交 没有公共点 一 根 1 焦半径抛物线上一点与焦点f连接的线段叫作焦半径 设抛物线上任一点a x0 y0 则四种标准方程形式下的焦半径公式为 2 焦点弦问题如图所示 ab是抛物线y2 2px p 0 过焦点f的一条弦 设a x1 y1 b x2 y2 ab的中点m x0 y0 抛物线的准线为l 答案 b 答案 a 解析 抛物线的顶点在原点 坐标轴为对称轴 抛物线的方程为标准形式 当抛物线的焦点在x轴上时 抛物线过点 1 2 3 过抛物线y2 8x的焦点 作倾斜角为45 的直线 则被抛物线截得的弦长为 a 8b 16c 32d 61 答案 b 解析 由抛物线y2 8x的焦点为 2 0 得直线的方程为y x 2 代入y2 8x 得 x 2 2 8x 即x2 12x 4 0 x1 x2 12 弦长 x1 x2 p 12 4 16 4 顶点在原点 对称轴是x轴 并且顶点到焦点的距离等于6的抛物线方程是 答案 y2 24x或y2 24x 5 过抛物线y2 2px p 0 的焦点f作倾斜角为45 的直线交抛物线于a b两点 若线段ab的长为8 则p 答案 2 若抛物线y2 2px p 0 上有一点m 其横坐标为 9 它到焦点的距离为10 求抛物线方程和m点的坐标 抛物线的标准方程 方法规律总结 求抛物线的标准方程要明确四个步骤 1 定位置 根据条件确定抛物线的焦点位置及开口 2 设方程 根据焦点和开口设出标准方程 3 找关系 根据条件列出关于p的方程 4 得出抛物线的标准方程 已知抛物线的方程为标准方程 焦点在x轴上 其上一点p 3 m 到焦点f的距离为5 则抛物线方程为 a y2 8xb y2 8xc y2 4xd y2 4x 答案 b 抛物线的焦点弦问题 已知直线l经过抛物线y2 6x的焦点f 且与抛物线相交于a b两点 1 若直线l的倾斜角为60 求 ab 的值 2 若 ab 9 求线段ab的中点m到准线的距离 1 斜率为2的直线经过抛物线y2 4x的焦点 与抛物线相交于两点a b 则线段ab的长度为 2 过抛物线y2 8x的焦点作直线l 交抛物线于a b两点 若线段ab中点的横坐标为3 则 ab 的长度为 答案 1 5 2 10 解析 1 如图 由抛物线的标准方程可知 焦点f 1 0 准线方程x 1 由题设 直线ab的方程为 y 2x 2 代入抛物线方程y2 4x 整理得 x2 3x 1 0 设a x1 y1 b x2 y2 由抛物线定义可知 af 等于点a到准线x 1的距离 aa 即 af aa x1 1 同理 bf x2 1 ab af bf x1 x2 2 3 2 5 最值问题 设p是抛物线y2 4x上的一个动点 f为抛物线焦点 1 求点p到点a 1 1 的距离与点p到直线x 1的距离之和的最小值 2 若b 3 2 求 pb pf 的最小值 方法规律总结 与抛物线有关的最值问题 一是涉及到焦点或准线的距离 可利用抛物线的定义 即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离 构造出 两点间线段最短 或 点到直线的垂线段最短 使问题获解 二是抛物线上的点到某曲线或直线的距离最小 常转化为函数最值求解 直线与抛物线的位置关系及定点定值问题 如图 过抛物线y2 x上一点a 4 2 作倾斜角互补的两条直线ab ac交抛物线于b c两点 求证 直线bc的斜率是定值 2015 福建文 19 已知点f为抛物线e y2 2px p 0 的焦点 点a 2 m 在抛物线e上 且 af 3 1 求抛物线e的方程 2 已知点g 1 0 延长af交抛物线e于点b 证明 以点f为圆心且与直线ga相切的圆 必与直线gb相切