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9 3平面向量的应用举例 1 向量在平面几何中的应用 1 证明线段相等 常运用向量加法的三角形法则 平行四边形法则 有时也用到向量减法的定义 2 证明线段平行 三角形相似 判断两直线 或线段 是否平行 常运用向量共线的条件 即a x1 y1 b x2 y2 则a bx1y2 x2y1 0 x2 0 y2 0 3 证明垂直问题 常用向量垂直的充要条件 即a x1 y1 b x2 y2 则a ba b 0 x1x2 y1y2 0 4 求夹角问题 利用夹角公式 即a x1 y1 b x2 y2 则 为向量a b的夹角 5 用向量方法解决平面几何问题的步骤 建立平面几何与向量的联系 用向量表示问题中涉及的几何元素 将平面几何问题转化为向量问题 通过向量运算 研究几何元素之间的关系 把运算结果 翻译 成几何关系 2 向量在解析几何中的应用 1 直线的倾斜角 斜率与平行于该直线的向量之间的关系 设直线l的倾斜角为 斜率为k 向量a a1 a2 平行于l a1 0 则如果已知直线的斜率为则向量 a1 a2 与向量 1 k 一定都与l平行 2 与a a1 a2 a1 0 平行且过点p x0 y0 的直线方程为过点p x0 y0 且与向量a a1 a2 a2 0 垂直的直线方程为 3 向量在物理中的应用 1 向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用 2 向量在速度的分解与合成中的应用 3 用向量方法解决物理问题的步骤 将相关物理量用几何图形表示出来 将物理问题抽象成数学模型 转化为数学问题 最后将数学问题还原为物理问题 例题2 已知点p 3 0 点a在y轴上 点q在x轴的正半轴上 点m在直线aq上 满足pa am 0 am 当点a在y轴上移动时 求动点m的轨迹方程 解析 设m x y 为轨迹上的任一点 a 0 b q a 0 则am x y b mq a x y 因为所以 x y b 所以即所以因为pa am 0 所以即所求轨迹方程为y2 4x x 0 点评 利用向量的运算求轨迹要理解几何关系与向量表示的内在联系 拓展训练 已知过点a 0 1 且与向量a 1 k 平行的直线l与 c x 2 2 y 3 2 1相交于m n两点 1 求实数k的取值范围 2 求证 am an为定值 3 若o为坐标原点 且om on 12 求k的值 解析 1 因为直线l过点a 0 1 且与向量a 1 k 平行 所以直线l的方程为y kx 1 将其代入 c x 2 2 y 3 2 1得 1 k2 x2 4 1 k x 7 0 由题意 4 1 k 2 4 1 k2 7 0 得 2 证明 利用切割线定理可以证明 am an at 2 7 at为切线 t为切点 根据向量运算am an am an cos0 7为定值 3 设m x1 y
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