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相对论相对论习题课习题课 一一 相对论内容总结相对论内容总结 1 狭义相对论基本假设狭义相对论基本假设 1 爱因斯坦相对性原理 在一切惯性系中物理定律形式相同 2 光速不变原理 在任何惯性系中 光在真空中的速率都相等 真空中的光速率与光源 的运动状态无关 2 洛伦兹变换洛伦兹变换 2 x c u tut zz yy utxux 2 x c u tut zz yy utxux 2 1 1 u c u 3 同时性的相对性同时性的相对性 在某一惯性系中同时发生的两个事件 在相对于此惯性系运动的另一惯性系中测量 并不 是同时发生的 4 时间膨胀时间膨胀 22 1cu t tt t 为原时 t 为测时 5 长度收缩长度收缩 22 1cul l l l 为原长 l 为测长 6 洛伦兹速度变换洛伦兹速度变换 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c u v c u v v c u v c u v v v c u uv v x z z x y y x x x 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 c u v c u v v c u v c u v v v c u uv v x z z x y y x x x 7 相对论质量相对论质量 22 0 1cv m m 0 m为静止质量 8 相对论动量相对论动量 22 0 1cv vm vmP 9 相对论动能相对论动能 2 0 22 2 02 0 2 1 cm cv cm cmmcEk 10 相对论能量相对论能量 运动能量 2 mcE 静止能量 2 00 cmE 11 相对论能量守恒相对论能量守恒 常量 i i i i cmE 2 常量 i i m 12 相对论动量能量关系相对论动量能量关系 4 2 0 222 cmcPE 二二 问题讨论问题讨论 1 根据爱因斯坦的时空观 讨论 1 在一惯性系中观测 两个事件同时不同地发生 则在其他惯性系中观测 这两个事件 是否可能同时发生 是否可能同地发生 2 在一惯性系中观测 两个事件同地不同时发生 则在其他惯性系中观测 这两个事件 是否可能同地发生 是否可能同时发生 3 在一惯性系中观测 两个事件同时同地发生 则在其他惯性系中观测 这两个事件是 否可能同时发生 是否可能同地发生 答 爱因斯坦相对时空观的数学表述为罗伦兹变换 2 x c u tut zz yy utxux 2 1 1 u c u 1 在S系中观测 两个事件同时不同地发生 即 事件 2211 txBtxA 2121 xxtt 在 S系中观测 事件 2 2 1 1 txBtxA 则 2 2 2 2 22 2 1 2 1 1 11 1 x c u tut utxux x c u tut utxux 2 1 2 1 xxtt 即 在一惯性系中观测在一惯性系中观测 两个事件同时不同地发生两个事件同时不同地发生 则在其他惯性系中观测则在其他惯性系中观测 这两个事件这两个事件 不可能同时发生不可能同时发生 也不可能同地发生也不可能同地发生 2 在S系中观测 两个事件同地不同时发生 即 事件 2211 txBtxA 2121 ttxx 在 S系中观测 事件 2 2 1 1 txBtxA 则 2 2 2 2 22 2 1 2 1 1 11 1 x c u tut utxux x c u tut utxux 2 1 2 1 ttxx 即 在一惯性系中观测在一惯性系中观测 两个事件同地不同时发生两个事件同地不同时发生 则在其他惯性系中观测则在其他惯性系中观测 这两个事件这两个事件 不可能同地发生不可能同地发生 也不可能同时发生也不可能同时发生 3 在S系中观测 两个事件同地同时发生 即 事件 2211 txBtxA 2121 ttxx 在 S系中观测 事件 2 2 1 1 txBtxA 则 2 2 2 2 22 2 1 2 1 1 11 1 x c u tut utxux x c u tut utxux 2 1 2 1 ttxx 即 在一惯性系中观测在一惯性系中观测 两个事件同地同时发生两个事件同地同时发生 则在其他惯性系中观测则在其他惯性系中观测 这两个事件一这两个事件一 定同地发生定同地发生 也一定同时发生也一定同时发生 2 如图所示 在地面上 M 点固定一光 源 在离光源等距的两点 A 和 B 固定有 两个光接收器 今使光源发出一闪光 在地面参考系中观测 两个接收器是否 同时接收到两个光信号 在沿 A B 方向 高速运行的火车参考系 S中观测 哪个 接收器先接收到光信号 答 是 不能 接收器B先接收到光信号 设在地面坐标系S中 A B接收到信号的事件为 2211 txBtxA 高速运行的火 车参考系 S中 A B接收到信号的事件为 2 2 1 1 txBtxA 如图所示 在 S系中 事件A B的发生是静止的 而且M是AB的中点 两个事件必定同时 发生 注意 不同地点 2121 xxtt 由于A B是在S系中不同地点同时发生的两件事 根据同时性的相对性 在 S系中 必定是不同时发生的 根据罗伦兹变换 2 2 2 2 1 2 1 1 x c u tut x c u tut 0 12 2 1 2 12 2 2 1 2 xx c u ux c u tux c u tutt 所以 在 S系中观测 B事件先于A事件发生 即在 S系中观测 B接收器先接收到光 信号 3 一观察者为测量相对自己运动的物体的长度而测量物体两端坐标 对该观察者而言 测 量两端坐标这两个事件的最低要求是什么 如果他实施了正确测量 他测得的物体沿运动方 向的长度是长于还是短于该物体沿该方向的静止长度 答 通过测量运动物体两端坐标的办法来测量物体的长度 必须同时测量两端坐标 根据 长 度收缩 原理 运动物体的长度要短于该物体沿该方向的静止长度 4 如果我们说 在一个惯性系中测得某两个事件的时间间隔是它的固有时间 这就意味着 在该惯性系中观测 这两个事件发生在同一地点 若在其他惯性系中观测 它们是发生在同 一地点吗 时间间隔是长于还是短于固有时间 答 设两个事件在S系中发生在同一空间地点 即 1 txA 2 txB 在 S系中 这两个 事件是发生在 1 1 txA 2 2 txB 由于两个事件在S系中是静止的 所以 两个事件的时间坐标之差就是固有时间 0 12 ttt 根据罗伦兹变换 得到 22 2 11 1 utxux utxux 0 121122 1 2 ttuuutxuutxuxx 可见 在 S系中观测 这两件事发生在不同地点 由于0 12 ttt是固有时间 根据时间膨胀原理 固有时间最短 在其他惯性系 中测量同样的两件事的时间间隔都比固有时间长 根据罗伦兹变换 2 2 2 2 1 2 1 1 x c u tut x c u tut 在 S系中观测 这两件事发生的时间间隔为 12 22 1 2 1 ttt cu t tttt 5 如果A B是在 S系中互为因果关系的两个事件 A是B的原因 先于B发生 问 是否能找到一个惯性系 在该系中测得B先于A发生 出现时间顺序颠倒的现象 答 不可能 设A B在 S系中的时空坐标分别为 1 1 txA 2 2 txB 在S系中的时空坐标 分别为 2211 txBtxA 由罗伦兹变换 有 2 2 22 1 2 11 x c u tut x c u tut 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 212 xx c u ttux c u tux c u tutt 可见 在 1 2 tt 的条件下 可能出现两种情况 1 如果 1 2 xx 则必有 12 tt 即只要在 S系中测得A先于B发生 则在S系中测 得也是A先于B发生 2 如果 1 2 xx 则从数学上有可能 但这只是数学上的 在物理上是不可能的 如果 物理上A事件是B事件原因 则 1 x处的影响必以某种物质运动方式 以速度 1 2 1 2 1 2 1 2 tt xx tt xx vS 因为 传递到 2 x处 则 1 2 1 2 1 2 2 1 212 c uv ttutt c uv ttutt SS 根据狭义相对论的理论 cu cvS 所以01 2 c uvS 因此 只要 1 2 tt 必有 12 tt 由此得出结论结论 互为因果关系的两事件互为因果关系的两事件 在任何惯性系中都不会出现时序颠倒的情在任何惯性系中都不会出现时序颠倒的情况况 这也说明这也说明 不会因为相对论效应不会因为相对论效应 而改变客观事件的因果规律而改变客观事件的因果规律 或者说狭义相对论是自洽或者说狭义相对论是自洽 的的 甚至可以说甚至可以说 只有在狭义相对论下只有在狭义相对论下 客观物质世界的因果关系才不会颠倒客观物质世界的因果关系才不会颠倒 狭义相对狭义相对 论是反映客观规律的正确理论论是反映客观规律的正确理论 三三 解题指导解题指导 例例 1 两个惯性系S S沿x轴相对运动 当两坐标原点O O重合时计时开始 若在S系 中测得某两个事件的时空坐标分别为mx 4 1 106 st 4 1 101 mx 4 2 1012 st 4 2 102 而在 S系中测得两个事件同时发生 试问 1 S系相对S系的速度如何 2 S系中测得这两个事件的空间间隔是多少 解题分析解题分析 由于两个惯性系是相对运动的由于两个惯性系是相对运动的 在两个坐标系中测得的同一事件的时空坐标不在两个坐标系中测得的同一事件的时空坐标不 同同 它们之间的关系由罗伦兹变换联系在一起它们之间的关系由罗伦兹变换联系在一起 两个事件在某坐标系中的时间的间隔两个事件在某坐标系中的时间的间隔 就是这两个事件在该坐标系中的时间坐标之差就是这两个事件在该坐标系中的时间坐标之差 两个事件在某坐标系中的空间的间隔两个事件在某坐标系中的空间的间隔 就是这两个事件在该坐标系中的空间坐标之差就是这两个事件在该坐标系中的空间坐标之差 解解 1 设 S系相对S系的速度为u 由罗伦兹变换 在 S系中测得两个事件的时间坐标 分别为 2 2 2 2 1 2 1 1 x c u tut x c u tut 由题意 1 2 tt 即 1 2 12 2 2 x c u tx c u t sm m ssm xx ttc u 105 1 10 612 10 12 103 8 4 428 12 12 2 这说明 S系沿S系x轴正方向运动 2 设 S系中测得这两个事件的空间坐标分别为 1 x 2 x 由罗伦兹变换 2 22 1 11 utxux utxux 由于 1 2 tt 得到 S系中测得这两个事件的空间间隔 m c u xxxx u xx xx 42 12 2 12 12 1 2 102 5 1 1 讨论讨论 1 这两个事件在这两个事件在S系和系和 S系中都不是发生在同一地点系中都不是发生在同一地点 因此因此两个事件在两个事件在S系和系和 S 系中的时间坐标之差都不是原时系中的时间坐标之差都不是原时 固有时间固有时间 无法应用时间膨胀的概念无法应用时间膨胀的概念 2 这两个事件在S系中的发生是静止的 所以这两个事件的空间坐标之差 12 xx 可以 看作 原长 这两个事件在 S系中虽然是运动的 但在 S系中这两个事件是同时发生的 因此在 S系中这两个事件的空间坐标之差 1 2 xx 可以看作测长 可以应用长度收缩的 概念 22 12 1 2 1 cuxxxx 3 在 S系中同时 2 1 tt 发生的两个事件 2 2 1 1 txtx 由于发生的地点不同 2 1 xx 则在另一个惯性系S系中不是同时发生的 21 tt 这就是 同时性的相对 性 例例 2 在惯性系S系中 测得某两个事件发生在同一地点 时间间隔为s4 在另一个惯性系 S系中 测得这两个事件发生的时间间隔为s6 求在 S系中 这两个事件的空间间隔 解题分析解题分析 在同一地在同一地点先后发生两个事件的时间间隔为固有时间点先后发生两个事件的时间间隔为固有时间 原时原时 所以在所以在S系中测系中测 得的得的st4 是固有时间是固有时间 在另一个惯性系在另一个惯性系 S系中系中 这两个事件不可能发生在同一地点这两个事件不可能发生在同一地点 测得这两个事件发生的时间间隔为测得这两个事件发生的时间间隔为st6 是由于相对论时间膨胀效应的结果是由于相对论时间膨胀效应的结果 解解 由相对论时间膨胀效应 2222 12 1 2 11cu t cu tt ttt 22 1 4 6 cu ccu745 0 3 5 根据罗伦兹变换 在 S系中 测得这两个事 件的空间坐标为 22 2 11 1 utxux utxux 由于在惯性系S系中 这两个事件发生在同一 地点 0 12 xxx 所以在 S系中 这 两个事件的空间间隔为 m cu tu tuuttuuxxu utxuutxuxxx 9 22 1212 1122 1 2 1034 1 1 讨论讨论 由于在由于在 S系系中中 两个事件的空间坐标两个事件的空间坐标不是同时测量的不是同时测量的 x 不是测长不是测长 无法应用长无法应用长 度收缩的概念度收缩的概念 例例 3 一静止长度为 0 l的火箭 以速率u相对地飞行 现自其尾端发射一个光信号 试根据 罗伦兹变换计算 在地面系中观测 光信号自火箭尾端到前端所经历的位移 时间 速度 分析分析 设设光信号自火箭尾端发射为光信号自火箭尾端发射为 事事 件件 1 光信号到达火箭前端为光信号到达火箭前端为 事件事件 2 在火箭系在火箭系 S 中中 测测量火箭的长度是量火箭的长度是 原长原长 0 lx 光信号是以光信号是以c传送的传送的 所以所以 在在 S系中系中 光信号自火箭尾端到光信号自火箭尾端到 前端所经历的时间为前端所经历的时间为 clcxt 0 解解 根据罗伦兹变换 在地面系 S 中 测得的光信号自火箭尾端到前端所 经历的位移为 c u c u l cu c l ul tuuxuutxuutxuxxx 1 1 1 0 22 0 0 1 1 2 212 在地面系 S 中 测得的光信号自火箭尾端到前端所经历的时间为 c u c u c l cu l c u c l xu c u tux c u tux c u tuttt 1 1 1 0 22 0 2 0 2 1 2 1 2 2 212 在地面系中观测 光信号自火箭尾端到前端的速度为 c t x v 讨论讨论 1 光信号在火箭系和地面系中的传递速率都为光信号在火箭系和地面系中的传递速率都为c 这完全满足这完全满足 光速不变原理光速不变原理 2 在火箭系在火箭系 S 中中 光信号自火箭尾端发射的光信号自火箭尾端发射的 事件事件 1 和光信号到达火箭前端的和光信号到达火箭前端的 事件事件 2 不是发生在同一地点不是发生在同一地点 因此因此 clcxt 0 不是原时不是原时 例例 4 在地球 月球系中测得地 月距离为m 8 10844 3 一火箭以c8 0的速率沿着从地球 到月球的方向飞行 先经过地球 后经过月球 问在地球 月球系和火箭系中观测 火箭由 地球飞向月球各需多少时间 分析分析 在火箭看来在火箭看来 火箭与地球火箭与地球 相遇和火箭与月球相遇这两件相遇和火箭与月球相遇这两件 事是在同一地点发生的事是在同一地点发生的 这两件这两件 事的时间间隔是原时事的时间间隔是原时 可以用时可以用时 间膨胀效应求解间膨胀效应求解 解解 设地 月系为S系 火箭与 地球相遇为 事件 1 11 tx 火箭与月球相遇为 事件 2 22 tx 设火箭系为 S系 火 箭与地球相遇为 事件 1 1 1 tx 火箭与月球相遇为 事件 2 2 2 tx 在S系中 两个事件发生的空间间隔为 mxxx 8 12 10844 3 所以 在S系中 两个事件发生的时间间隔为 s sm m u xx u x t6 1 1038 0 10844 3 8 8 12 由于在 S系中 两个事件是在同一地点发生的 所以 两个事件的时间间隔 1 2 ttt 是原时 在S系中 两个事件的时间间隔 12 ttt 是测时 则 sscutt96 08 016 11 222 讨论讨论 也可以用罗伦兹变换和长度收缩效应求解 1 用罗伦兹变换求解 s m sm s cu x c u t cu x c u t cu x c u t ttt 96 0 8 01 10844 3 103 8 0 6 1 111 2 8 8 22 2 22 1 2 1 22 2 2 2 1 2 2 用长度收缩效应求解 在S系中 地球和月球是 静止的 它们之间的距离是原长ml 8 0 10844 3 而在 S系中 地球和月球是 运动的 它们之间的距离是测长 l 则 22 0 1cull 在 S系中 火箭 地球和月球运动速度也是cu8 0 所以 S系测得的时间间隔为 s sm m c cul u l t96 0 1038 0 8 0110844 3 8 0 1 8 28 22 0 例例 5 一静止面积为 2 0 100mS 面密度为 0 的正方形板 当观测者以cu6 0 的速度沿其 对角线运动 求 1 所测得图形的形状和面积 2 面密度之比 0 分析分析 该该 正方形正方形 也是沿着其对角线相对观也是沿着其对角线相对观 测者测者运动的运动的 长度收缩只发生在运动方向上长度收缩只发生在运动方向上 在垂直于运动方向上不发生长度收缩在垂直于运动方向上不发生长度收缩 因此因此 观测者测得的图形是一个菱形观测者测得的图形是一个菱形 还要考虑到还要考虑到 观测者测得的观测者测得的 质量质量 是是 运运 动质量动质量 解解 1 根据相对论长度收缩效应 观测者测得沿运动方向平行的对角线收缩为 0 2 0 22 0 22 0 8 06 0111LLcuLcuLL 垂直于运动方向的对角线仍然为aL2 0 所以 观测者测得图形的形状为菱形 面积为 2 0 2 2 00 808 0 2 28 0 2 8 0 2 mS aLLL S 2 板的静止质量为 000 Sm 板的运动质量为 22 00 22 0 11cu S cu m m 所以 观测者测得的面密度为 22 00 1cuS S S m 16 25 6 018 0 1 2 0 0 22 0 0 S S cuS S 例例 6 离地面m6000的高空大气中 产生一 介子 以速度cv998 0 飞向地球 假定 介 子在自身参照系中的平均寿命为s 6 102 根据相对论理论 试问 1 地球上的观测者判断 介子能否到达地球 2 与 介子一起运动的参照系中观测者的判断结果又如何 解解 1 介子在自身参照系中是静止的介子在自身参照系中是静止的 因此因此 在在 介子自身参照系中介子自身参照系中 介子的产生介子的产生 和消失这两个事件的时间间隔和消失这两个事件的时间间隔 平均寿命平均寿命 st 6 0 102 是固有时间是固有时间 地球上的观测者 由于时间膨胀效应 测得 介子的平均寿命为 s s cv t t 6 2 6 22 0 106 31 998 01 102 1 即在地球上的观测者看来 介子一生可以飞行的距离为 mmssmtvL60009460106 31 103998 0 68 所以判断 介子能够到达地球 2 在与 介子一起运动的参照系中 介子是静止的 但地球以速率cv998 0 接近 介子 从地面到 介子产生处为mH6000 0 是在地球上测得的 由于空间收缩效应 在 与 介子一起运动的参照系中 这段距离应为 mmcvHH3796 0160001 222 0 在与 介子一起运动的参照系中 在其一生地球的行程为 mmssmtvL379599102 103998 0 68 00 所以判断地球能够在 介子消失前赶到 即 介子能够到达地球 讨论讨论 实际上实际上 介子能够到达地球介子能够到达地球 这是客观事实这是客观事实 不会因为参考系的不同而改变不会因为参考系的不同而改变 例例 7 把静止质量为kgm 31 0 1011 9 的电子从cv6 0 1 的速度加速到cv8 0 2 需要 的能量是多少 这时电子的质量增加了多少 分析分析 高速运动的电子 必须要考虑相对论效应 高速运动的电子的动能 K E是其运动能量 22 2 02 1cv cm mcE 与电子的静止能量 2 00 cmE 之差 解解 加速电子所需要的能量 等于电子动能的增加 MeVeVJ smkg cm cmcm cv cm cv cm EEEEEEEK 213 01013 2104 3 103 1011 9 12 5 12 5 6 018 01 1 1 514 2831 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 1 2 0 2 2 2 2 0 120102 即需