河南省郸城县光明中学九年级数学下册 圆课件课件 华东师大版.ppt

它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶 它的主桥是圆弧形 它的跨度 弧所对的弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 为7 2m 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 你知道赵州桥吗 垂直于弦的直径 把一个圆沿着它的任意一条直径对折 重复几次 你发现了什么 由此你能得到什么结论 可以发现 圆是轴对称图形 任何一条直径所在直线都是它的对称轴 它有无数条对称轴 活动一 看一看 ae be ae be am bm ab是 o的一条弦 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 作直径cd 使cd ab 垂足为m 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 小明发现图中有 由 cd是直径 cd ab 垂径定理 如图 小明的理由是 连接oa ob 则oa ob 在rt oam和rt obm中 oa ob om om rt oam rt obm am bm 点a和点b关于cd对称 o关于直径cd对称 当圆沿着直径cd对折时 点a与点b重合 垂径定理三种语言 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 cd ab 如图 cd是直径 am bm cd ab ab是 o的一条弦 且am bm 你能发现图中有哪些等量关系 与同伴说说你的想法和理由 过点m作直径cd 右图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 小明发现图中有 由 cd是直径 am bm 如图 小明的理由是 连接oa ob 垂径定理的逆定理 则oa ob 在 oam和 obm中 oa ob om om am bm oam obm amo bmo cd ab o关于直径cd对称 当圆沿着直径cd对折时 点a与点b重合 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 例1 如图 已知在 o中 弦ab的长为8厘米 圆心o到ab的距离为3厘米 求 o的半径 解 连结oa 过o作oe ab 垂足为e 则oe 3厘米 ae be ab 8厘米 ae 4厘米在rtaoe中 根据勾股定理有oa 5厘米 o的半径为5厘米 例2 已知 如图 在以o为圆心的两个同心圆中 大圆的弦ab交小圆于c d两点 求证 ac bd 证明 过o作oe ab 垂足为e 则ae be ce de ae ce be de 所以 ac bd e 判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中 如果一条直线经过圆心且平分弦 必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线 将弦所对的两条弧分别三等分 1 1300多年前 我国隋朝建造的赵州石拱桥 如图 的桥拱是圆弧形 它的跨度 弧所对是弦的长 为37 4m 拱高 弧的中点到弦的距离 也叫弓形高 为7 2m 求桥拱的半径 精确到0 1m r d o a b c 37 4m 7 2m 弧 弦 圆心角的关系 aob cod aoc bod 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角 圆心角的概念 o a b o a b a b a b 如图 将圆心角 aob绕圆心o旋转到 a ob 的位置 你能发现哪些等量关系 为什么 根据旋转的性质 将圆心角 aob绕圆心o旋转到 a ob 的位置时 aob a ob 射线oa与oa 重合 ob与ob 重合 而同圆的半径相等 oa oa ob ob 点a与a 重合 b与b 重合 o a b a b 重合 ab与a b 重合 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆心角 所对的弦 在同圆或等圆中 相等的弦所对的圆心角 所对的弧 弧 弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 相等 相等 相等 相等 前提条件 例1 如图 在 o中 11111111ac bd 求 2的度数 解 ac bd 已知 ac bc bd bc 等式的性质 1 2 45 在同圆中 相等的弧所对的圆心角相等 一 判断下列说法是否正确 1相等的圆心角所对的弧相等 2相等的弧所对的弦相等 3相等的弦所对的弧相等 二 如图 o中 ab cd 证明 ab ac 又 acb 60 ab bc ca aob boc aoc a b c o 例2如图 在 o中 acb 60 求证 aob boc aoc 如图 ab cd是 o的两条弦 1 如果ab cd 那么 2 如果 那么 3 如果 aob cod 那么 ab cd ab cd 练习 如图 ab cd是 o的两条弦 4 如果ab cd oe ab于e of cd于f oe与of相等吗 为什么 练习 圆周角 如下图 同学们能找到圆心角吗 它具有什么样的特征 顶点在圆心 两边与圆相交的角叫做圆心角 今天我们要学习圆中的另一种特殊的角 它的名称叫做圆周角 圆周角究竟什么样的角是圆周角呢 像图 3 中的解就叫做圆周角 而图 2 4 5 中的角都不是圆周角 同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角 顶点在圆上 两边与圆相交的角叫做圆周角 探究 有关圆周角的度数1 探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度 的圆周角所对的弦是否是直径 线段ab是 o的直径 点c是 o上任意一点 除点a b 那么 acb就是直径ab所对的圆周角 想想看 acb会是怎么样的角 为什么呢 证明 因为oa ob oc 所以 aoc boc都是等腰三角形 所以 oac oca obc ocb 又 oac obc acb 180 所以 acb oca ocb 90 因此 不管点c在 o上何处 除点a b acb总等于90 结论 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等于90 直角 反过来也是成立的 即90 的圆周角所对的弦是圆的直径 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆周角有什么关系 为了解决这个问题 我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系 圆周角和圆心角的关系 如图 观察圆周角 abc与圆心角 aoc 它们的大小有什么关系 注意 圆心与圆周角的位置关系 1 首先考虑一种特殊情况 当圆心 o 在圆周角 abc 的一边 bc 上时 圆周角 abc与圆心角 aoc的大小关系 aoc是 abo的外角 aoc b a oa ob a b aoc 2 b 即 abc aoc 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 2 当圆心 o 在圆周角 abc 的内部时 圆周角 abc与圆心角 aoc的大小关系会怎样 过点b作直径bd 由1可得 abc aoc abd aod cbd cod 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 过点b作直径bd 由1可得 abc aoc abd aod cbd cod 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 如果圆心不在圆周角的一边上 结果会怎样 3 当圆心 o 在圆周角 abc 的外部时 圆周角 abc与圆心角 aoc的大小关系会怎样 圆周角定理 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论 b c1 o c2 c3 例1如图 o直径ab为10cm 弦ac为6cm acb的平分线交 o于d 求bc ad bd的长 又在rt abd中 ad2 bd2 ab2 解 ab是直径 acb adb 90 在rt abc中 cd平分 acb ad bd 2 求证 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 提示 作出以这条边为直径的圆 a b c o 求证 abc为直角三角形 证明 co ab 以ab为直径作 o ao bo ao bo co 点c在 o上 又 ab为直径 acb 180 90 abc为直角三角形 1 ab ac为 o的两条弦 延长ca到d 使ad ab 如果 adb 35 求 boc的度数 2 如图 在 o中 bc 2de boc 84 求 a的度数 boc 140 a 21 4 在 o中 一条弧所对的圆心角和圆周角分别为 2x 100 和 5x 30 则x 3 如图 在直径为ab的半圆中 o为圆心 c d为半圆上的两点 cod 50 则 cad 20 50 小结 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 都等于这条弧所对的圆心角的一半 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 推论 b c1 o c2 c3 垂径定理 定理垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 推论 例1 如图 在 o中 ab ac为互相垂直且相等的两条弦 od ab于d oe ac于e 求证四边形adoe是正方形 证明 四边形adoe为矩形 又 ac ab ae ad 四边形adoe为正方形 总结 解决有关弦的问题 经常是过圆心作弦的垂线 或作垂直于弦的直径 连结半径等辅助线 为应用垂径定理创造条件 在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆心角 所对的弦 在同圆或等圆中 相等的弦所对的圆心角 所对的弧 弧 弦与圆心角的关系定理 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦也相等 相等 相等 相等 相等 前提条件 例3 如图 ab是 o的直径 cod 35 求 aoe的度数 解 圆周角定理