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1 1利用函数性质判定方程解的存在 据新华社体育记者报道 昨晚足球比赛跌宕起伏 球迷经历了大喜到大悲 再到大喜的过程 领先则喜 落后即悲 请问 整场足球比赛出现几次 比分相同 的时段 问题1 一元一次方程的解和相应的一次函数的图像与x轴交点坐标有何关系 方程的根等于交点的横坐标 问题2 一元二次方程的解和相应的二次函数的图像与x轴交点坐标有何关系 方程的根等于交点的横坐标 问题3 函数的图像不易画出 又不能求相应方程的根时 怎样判断函数是否有零点 足球比赛中从落后到领先是否一定经过 平分 由此能否找出判断函数是否有零点的方法 函数图像穿过x轴则有零点 怎样用数学语言描述呢 我们把函数y f x 的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 方程有实数解 函数的图像与轴有交点 函数有零点 等价关系 观察二次函数f x x2 2x 3的图像 2 1 f 2 0f 1 0f 2 f 1 0 2 1 x 1x2 2x 3 0的一个解 2 4 f 2 0f 2 f 4 0 2 4 x 3x2 2x 3 0的另一个解 零点存在定理 若函数y f x 在区间 a b 上的图像是连续曲线 并且在区间端点的函数值符号相反 即f a f b 0 则在区间 a b 内 函数y f x 至少有一个零点 即相应的方程f x 0在区间 a b 内至少有一个实数解 注 只要满足上述两个条件 就能判断函数在指定区间内存在零点 注意 1 该判定方法只是指出了方程实数解的存在 但不能判断具体有多少个实数解 2 若函数y f x 在闭区间 a b 上的图像是连续曲线 且函数f x 在 a b 内有零点 但不一定满足f a f b 0 则f x 在 a b 内也可能存在零点 例3 讨论函数y ex 4x 4的零点的个数 解 方法一 f 0 0 f 1 0 则f 0 f 1 0 这说明f x 在区间 0 1 内有零点 由于函数在定义域 内是增函数 所以它仅有一个零点 方法二 作出y ex和y 4 4x的图像 图11 即可直观地看出零点的个数为1 总结点评 讨论函数零点个数问题是函数的重要应用 由于函数与方程的特殊关系 所以这个问题常用的方法是 1 解方程 2 画图像 3 利用f a f b 0及函数的单调性 同时这些方法是有机联系的 图1 课本p116练习1 2 3 1 函数零点的
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