高三数学一轮复习 专家讲坛 六招破解函数最值及数形结合求3类参数问题课件 新人教A版.ppt

六招破解函数最值及数形结合求3类参数问题 一 六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题 在高考中占有极其重要的地位 为了让大家能够更加系统 全面地掌握函数最值问题的解决方法 下面就其问题的常用解法 分类浅析如下 第一招 配方法配方法是求二次函数最值的基本方法 如函数f x af x 2 bf x c a 0 的最值问题 可以考虑用配方法 例1 已知函数y ex a 2 e x a 2 a r a 0 求函数y的最小值 解 y ex a 2 e x a 2 ex e x 2 2a ex e x 2a2 2 令t ex e x 则f t t2 2at 2a2 2 因为t 2 所以f t t2 2at 2a2 2 t a 2 a2 2的定义域为 2 因为抛物线y f t 的对称轴为t a 所以当a 2且a 0时 ymin f 2 2 a 1 2 当a 2时 ymin f a a2 2 点评 利用二次函数的性质求最值 要特别注意自变量的取值范围 同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系 如本题化为含参数的二次函数后 求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系 然后再根据不同情况分类解决 第二招 换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量 来替换原来的某些变量 或代数式 以便使问题得以解决的一种数学方法 在学习中 常常使用的换元法有两类 即代数换元和三角换元 我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法 以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题 如可用三角换元解决形如a2 b2 1及部分根式函数形式的最值问题 例2 设a b r a2 2b2 6 则a b的最小值 答案 3 点评 在用换元法时 要特别注意换元后新元的取值范围 如本题换元后中间变量a r 这是由条件a b r得到的 第三招 均值不等式法 答案 9 点评 利用均值不等式法求解最值的关键在于确定定值 求解时应注意两个方面的问题 一是检验均值不等式成立的三个条件 一正 二定 三相等 灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决 二是要注意函数解析式的灵活变形 通过 拆 添 或 减 等方法 凑 出常数 对于条件最值问题 应首先考虑常数的代换 将函数解析式乘以 1 构造均值不等式 第四招 函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性 然后依据单调性求函数的最值 这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法 这种方法在高考中是必考的 多在解答题中的某一问出现 例4 已知函数f x xlnx 则函数f x 在 t t 2 t 0 上的最小值为 点评 本题是函数在不定区间上的最值问题 因此区间的位置要全部考虑到 不要遗漏 第五招 导数法导数法求解函数最值就是利用导数研究函数的单调性 从而确定函数最值的方法 这也是高中数学中求解最值的重要方法 利用导数求解函数最值的基本步骤是 例5 已知f x xlnx 若对一切x 0 2f x x2 ax 3 0恒成立 求实数a的取值范围 点评 导数法求解函数最值的实质是利用函数的单调性确定最值 应该注意三个问题 一是函数定义域 函数与其导函数的定义域可能不一致 所以在利用导函数判断函数单调性时要注意函数定义域 二是准确求导 三是要注意极值与最值的区别 即必须把函数在区间上的极值点与函数在区间的端点值进行比较 才能确定最值 第六招 数形结合法数形结合法就是根据函数图象的直观性直接确定函数最值 或者根据函数解析式的特征利用数与形的对应 通过构造图形将其转化为几何中的有关最值求解 其基本步骤是 如图所示 显然有 pa pb ab 1 即函数f x 的值域为 1 1 2 如图所示 画出函数f x 的图象 由图形 可知当x 0时 f x 取得最小值 此时f x x2 1 故最小值为 1 答案 1 1 1 2 1 点评 用数形结合法求解函数最值 其实质就是利用函数图象或借助几何图形求解函数最值 关键在于把握函数解析式的结构特征 常见的转化有两种 一是分段函数类型通常利用函数图象解决 二是利用数与形的对应 将函数最值转化为几何最值求解 通常是利用函数解析式的几何意义 如利用直线的斜率 动点到定点的距离等 在求解过程中正确作出函数图象或者准确利用代数式的几何意义 用几何知识直接确定最值是关键 二 巧用数形结合 妙解3类求参问题数形结合是根据数量与图形之间的对应法则 通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法 通过 以形助数 以数辅形 把复杂问题简单化 抽象问题具体化 充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题 拓展了思路 这就是数形结合的核心价值 下面就三类求参问题 谈谈数形结合思想的应用 类一 通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值 答案 10 12 点评 通过图形可以发现a b c所在的区间 再把绝对值符号去掉 就能发现ab 1 这样利用数形结合就可把问题化难为易了 类二 通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围 例2 已知m r 函数f x x2 2 m2 1 x 7 g x 2m2 m 2 x m 1 设函数p x f x g x 如果p x 0在区间 1 5 内有解但无重根 求实数m的取值范围 2 由题意 得当x 0时 h x x2 2 m2 1 x 7 h x 在区间 0 上单调递增 当x0时 如图 1 知 由于h x 在 0 上是增函数 若存在非零实数b b a 使得h a h b 则b 0 且a b 即m 7 当a0 且b