线性映射课件.doc

一 线性映射上一节课研究了数域P上线性空间的结构。在许多数学问题和实际问题中起着重要作用的是线性空间到线性空间的映射，并且这些映射有一个共同点，即保持加法和数量乘法两种运算，我们称这样的映射为线性映射。1.1线性映射的定义及其性质1.1.1 【定义】 设、是数域P的两个线性空间，是到的一个映射，如果对中任意两个向量，和任意数，都有，即能向量线性关系的不变性，则称是到的线性映射或线性算子。上面两式所涉及到的加法和数量乘法是线性空间里边定义的加法和数量乘法。与上一节说到的线性空间到的同构映射相比，线性映射比同构映射少了单映射和满映射这两条要求。因此线性映射比同构映射更广泛。线性空间到的线性映射也称为同态映射。例1 将线性空间中每一个向量映射成线性空间中零向量的映射是一个线性映射，称为零映射，记为，即 例2 线性空间到自身的恒等映射是一个线性映射，记为，即例3 任意给定数，数域P上线性空间到自身的一个映射K是一个线性映射，称为V上的由数决定的数乘映射。例4 设是线性空间到的一个线性映射，定义到的映射则是线性空间到的线性映射，称为的负映射。1.1.2【性质】 设是线性空间到的线性映射，则（1）；（2）；（3）线性映射保持线性组合与线性关系式不变，即若是的线性组合，且存在，有则经过线性映射之后，是同样的线性组合：（4）如果是的一组线性相关向量，则是中的一组线性相关的向量；并且当且仅当是一一映射时，中线性无关向量组的像是中的线性无关向量组。证明：（1）（2）（3）可由线性映射的定义可证明（4）第一部分可通过性质（1）（3）得证。 第二部分可分别假设是否为一一映射来讨论。若线性相关，则存在不全为零的数使得由性质（1）和（3）有故线性相关。若线性映射是一一映射，并且是中线性无关向量组，则对任一组不全为零的数，有。从而上式说明线性无关。 反过来，加入线性映射不是一一映射，则存在，且，但，即而。这说明中线性无关向量的像是中线性相关的向量，这与条件矛盾，因此是一一映射。由性质（3）（4），若是n维线性空间，是的一组基，则对任意有在线性映射下的像为这说明如果知道的一组基在线性映射下的像，则中每一个向量在下的像也就确定了。现在考虑线性映射的存在性，给出两个定理1.1.3【定理】【定理1】设，是n维线性空间到线性空间的两个线性映射，若是的一组基，并且，则。即若中的基向量在，下的像相等，则有。证明 对任意，有因为故。该定理表明到的一个线性映射完全被它对的一个基的作用所决定。现在要问：给了数域P上的任意两个线性空间和，是否存在到的线性映射？此回答是肯定的，特别是当是有限维时，则有【定理2】设是n维线性空间的一组基，是线性空间的任意n个向量，则存在到得惟一线性映射，使得证明 先定义一个映射，使得成立，而后说明为线性映射。最后通过定理1得出这样的线性映射是惟一的。对任意，有令因为是的一组基，所以上式定义了到的一个映射。下面来证明是线性映射。在中任取两个向量，于是有，按照所定义的的表达式，有因此，是线性映射。又故又由定理1知，线性映射是惟一的。1.2线性映射的运算1.2.1 线性映射的乘法因为映射有乘法运算，而线性映射是映射的一种，故线性映射也有乘法运算。【定义】是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，且，定义它们的乘积为：【性质】（1）线性映射的乘积也是线性映射； （2）线性映射的乘积满足结合律； （3）线性映射的乘积一般是不可变换的，但对于恒等映射，则是可变换的。证明 （1）对任意，有故线性映射的乘积是到线性映射 （2）是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，是n维线性空间到线性空间的一个线性映射。对任意，有 （3）对于恒等映射，有：=1.2.2线性映射的加法由于线性空间有加法运算，因此可以定义线性映射的加法运算。【定义】，是n维线性空间到线性空间的两个线性映射，且，定义它们的加法为：【性质】（1）线性映射的加法还是线性映射； （2）线性映射的加法满足交换律； （3）线性映射的加法满足结合律。 （4）线性映射的乘法对加法有左右分配律，即：，证明 （1）对任意，有 从而线性映射的加法是n维线性空间到线性空间的一个线性映射 （2）对任意，有从而线性映射满足交换律 （3），和是n维线性空间到线性空间的三个线性映射，对任意，有 从而线性映射满足结合律对于加法，零映射具有性质：1.2.3线性映射的负映射【定义】是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，对任意，定义的负映射为：【性质】 （1）可验证线性映射的负映射也是线性映射。（2）对于每一个线性映射，它的负映射满足由线性映射的负映射，可定义线性映射的减法。设，是n维线性空间到线性空间的两个线性映射，且，定义它们的减法为：1.2.4线性映射的数量乘法利用线性映射的乘法和数乘映射可以定义线性映射的数量乘法【定义】是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，对任意，定义的数乘映射K为：K=数域P中每个数k都能决定一个数乘映射K。可验证线性映射的数乘映射也是线性映射【性质】线性映射的数量乘法满足： （1） （2） （3） （4）对于线性映射，我们已经定义乘法，加法和数量乘法3种运算。由加法和数量乘法的性质可知，线性空间上的线性映射对于如上定义的加法和数量乘法，也构成数域P上的一个线性空间。1.2.5线性映射的逆映射【定义】设是n维线性空间到线性空间的一个线性映射，若有到的另一个映射存在，使得此时映射成为的逆映射，记为。若线性映射是可逆的，那么可验证它的逆映射也是线性映射。是到的可逆线性映射，当且仅当是到的同构映射，即是双射，且满足线性关系的不变性。因此，有限维线性空间到的可逆线性映射存在的充要条件是。1.3线性映射的矩阵表示为了利用矩阵来研究线性映射，我们来建立线性映射与矩阵的关系。1.3.1【定义】设是数域P上的n维线性空间，是的一组基，是数域P上的m维线性空间，为的一组基，是到的一个线性映射。由1.1.3中的定理1知，线性映射完全被它在的基上的作用所决定，即被中的向量组所决定，而完全被它们在基下的坐标所决定。设（式1）上式可形式地记为（式2）其中矩阵A称为线性映射在的基和的基下的矩阵。显然矩阵A由线性映射惟一确定；反过来，若给定m*n矩阵，则由式1可确定基像组，由1.1.3的定理2知线性映射就完全确定。这就是说，在给定基的情况下，线性空间到的线性映射与m*n矩阵A一一对应，这个对应的重要性表现在它保持运算。1.3.2【定理】【定理1】设是数域P上的n维线性空间，是的一组基，是数域P上的m维线性空间，为的一组基，则到的每一个线性映射与它在基和基下的矩阵之间的对应具有以下的性质：（1） 线性映射的和对应于矩阵的和；（2） 线性映射的乘积对应于矩阵的乘积；（3） 线性映射的数量乘积对应于矩阵的数量乘积。证明 （1）任取，即由即在基和基下的矩阵是A+B （2）任取，和分别是，和的一组基，有其中A为m*n矩阵，B为p*m矩阵则即在基，和下的矩阵式BA（3）任取，即对任意，有即在基和基下的矩阵是kA，从而定理1说明数域P上n维线性空间到m维线性空间的所有线性映射构成数域P上的一个线性空间，且每一个线性映射与它在基和基下的矩阵之间的对应是线性空间到的同构映射，从而与同构。下面来说明怎么利用线性映射的矩阵计算中向量的像。【定理2】设是n维线性空间到m维线性空间的一个线性映射，并且在基和基下的矩阵是A。对任意，若，则证明 对任意，若则即是在基下的坐标，由于向量在同一组基下的坐标是惟一的，从而得证。线性映射的矩阵是与空间中的一组基联系在一起的。一般说来，随着基的改变，同一个线性映射就有不用的矩阵。为了利用矩阵来研究线性映射，我们有必要弄清楚线性映射的矩阵是如何随着基的改变而改变的。【定理3】设是n维线性空间到m维线性空间的一个线性映射， 和是的两组基，由到的过渡矩阵为Q，和是的两组基，由到的过渡矩阵为P，在基与基下的矩阵为A，而在基和基下的矩阵为B，则证明 由于并且P非奇异，则因为线性映射的矩阵由基惟一确定，所以1.4矩阵相抵的定义【定义】设，若存在数域P上的m阶非奇异矩阵P和n阶非奇异矩阵Q使得则称A与B相抵（等价）。二 线性映射的值域与核2.1【定义】设是数域P上线性空间到的线性映射，令即是中的向量在线性映射下的像的集合；是中被线性映射变为零向量的向量组成的集合。称是线性映射的值域；而称是线性映射的核。2.2【定理】【定理1】设是线性空间到的一个线性映射，则 （1）是的一个子空间； （2）是的一个子空间。证明 （子空间的条件：非空子集；满足加法和数量乘法的封闭性）（1）显然是的非空子集。对任意，有故可知是的一个字空间； （2）因为，所以是的非空子集。对任意，有则。因此是的一个子空间。【定理2】设是n维线性空间到m维线性空间的一个线性映射，和分别是与的基，在这对基下的矩阵是A，则 （1）； （2）； （3）.证明 （1）因为是的一个字空间，故需证明中的每个向量都可用的基表示。对任意，有则故 （2）先证明的秩与基像组的秩相等，再证明基像组的秩与矩阵A的秩相等。显然有另一反面，矩阵A是由的坐标按列排成的。如果在中取定基，把的每一个向量与它的坐标对应起来，则与同构。从而，基像组与它们的坐标组（即矩阵A的列向量组）有相同的秩。 （3）设。在中任取一组基，且有。把它扩充成的基，则现证明线性无关。事实上，设则，从而。因此因为线性无关，所以。因此线性无关。于是即。三线性变换3.1线性变换的定义和性质【定义】设V是数域P上的线性空间，V到自身的线性映射称为V上的线性变换。线性空间V到自身的数乘映射K称为数k决定的数乘变换。当k=1时，得恒等变换；当k=0时，得零变换。例1 在线性空间Px或者中，求微商是一个线性变换。这个变换通常用D代表，即D(f(x)= 例2 定义在闭区间a,b上的全体连续函数组成实数域上一线性空间，以C(a,b)代表。在这个空间中，变换 是一线性变换。【性质】因为线性变换是一类特殊的线性映射，所以有关线性映射的性质，对线性变换完全适用。（1）；（2）；（3）线性变换保持线性组合与线性关系式不变，即若是的线性组合，且存在，有则经过线性变换之后，是同样的线性组合：（4）如果是的一组线性相关向量，则是中的一组线性相关的向量；并且当且仅当是一一映射时，中线性无关向量组的像是中的线性无关向量组。3.2线性变换的运算对线性空间V上所有线性变换组成的集合L(V,V)，可在L(V,V)上定义线性变换的加法，乘法和数量乘法，并且加法和乘法满足如下的运算规律：（） 加法适合交换律和结合律；（） 乘法适合结合律；（） 乘法对加法有左，右分配律。从而L(V,V)关于线性变换的加法和数量乘法构成数域P上的线性空间。设是线性空间V上的线性变换，若存在V的变换使得其中是V上的恒等变换，则称是可逆的，并称为的逆变换，记做。类似线性映射里边的证明，可得：如果线性变换是可逆的，也是线性变换。因为线性变换的乘法满足结合律，所以可定义线性变换的幂：并且容易推出指数法则：，m，n为非负数若是可逆的，可定义的负整数幂：，m是整数因为映射的乘法不适合交换律，所以对线性变换和，一般来说，m是正整数3.3线性变换的多项式设，是V上的一个线性变换。令则是V上的一个线性变换，称为线性变换的多项式。例 在线性空间中，求微商是一个线性变换，用D表示，显然有Dn=变数的平移也是一个线性变换，用表示。根据泰勒展开式故为D的多项式：=+a D + D2+ Dn-13.4线性变换的矩阵表示现在我们来讨论n为线性空间V上的线性变换与矩阵的关系。设是线性空间V上的一个线性变换，我们把上一节关于线性映射与矩阵的关系应用到V上的线性变换。这时，只需在V中取一组基，基向量的像仍可用基线性表示或形式地表示为其中矩阵A称为线性变换在基下的矩阵。3.5【定理】【定理1】设V是数域P上的n维线性空间，是V下的一组基，则V上的每一个线性变换与它在基下的矩阵之间的对应是线性空间L(V,V)到的同构映射，从而L(V,V)与同构，并且（1）线性变换的和对应于矩阵的和；（2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；（3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积。（4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。证明 第一部分的证明类似于线性映射中与同构的证明。（1）至（3）的证明同线性映射里边的证明。下面（4）因为恒等变换对应于单位矩阵，所以等式与等式相对应，从而逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应逆矩阵。【定理2】设n维线性空间V上线性变换在基和下的矩阵分别为A和B，由基到基的过渡矩阵为P，则3.6矩阵的相似【定义】设，若存在可逆矩阵使得则称A与B相似。类似于线性映射的值域与核，对线性空间V上的线性变换，可定义的值域和核如下:四 线性变换的不变子空间 这一部分讨论线性变换与子空间的关系，介绍线性变换的不变子空间概念，由此说明线性变换的矩阵化简与线性变换的内在联系。4.1线性变换的不变子空间的定义【定义】设是数域P上线性空间V的线性变换，W是V的子空间，若对任意，都有，则称W是的不变子空间。例1 线性空间V的任何一个子空间都是数乘变换的子空间，这是因为子空间对于数量乘法是封闭的。例2 整个线性空间V和零子空间，对于每个线性变换而言，都是的不变子空间，称V和为的平凡不变子空间。例3 证明线性空间V上线性变换的值域，核与的特征子空间都是的不变子空间。证明 按定义，是V中的向量在下的像的集合，它当然也包含在中向量的像，所以是的不变子空间。是被变成零向量的向量的集合，核中向量的像是零，自然在核中，因而核是的不变子空间。设是的任一特征子空间，任取，因为，故是的不变子空间。4.2定理【定理1】线性变换的不变子空间的和与交都是的不变子空间。证明 设都是的不变子空间。在中分别任取一向量，其中，则因为，所以，因此是的不变子空间。任取，有成立。故的不变子空间的交是的不变子空间。下面给出线性空间V的有限维子空间W是的不变子空间的一个判别法则。【定理2】设线性空间V的子空间，则W是线性变换的不变子空间的充要条件是。证明 必要性 ，且。因为W是的不变子空间，从而有：即必要性得证。充分性 对任意，则因为，则有所以W是的不变子空间。线性变换的一维不变子空间与的特征向量有密切关系。【定理3】设是线性空间V上的线性变换，若W是的一维不变子空间，则W中任何一个非零向量都是的特征向量；反之，若是的一个特征向量，则是的一维不变子空间。证明 设W是的一维不变子空间，对任意且，则是W的一个基。因为W是的不变子空间，所以，从而存在使，因此是的特征向量。反过来，设是的一个特征向量，即。在中任取一个向量，有所以是的一维不