高三数学一轮复习 6.2一元二次不等式及其解法课件 .ppt

第二节一元二次不等式及其解法 知识梳理 1 一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项 最高次项 系数 0 不等于 2 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 在不等式ax2 bx c 0 a 0 中 如果二次项系数a 0 则可先根据不等式的性质 将其转化为正数 再对照上表求解 x xx2 r x x1 x x2 3 x a x b 0或 x a x b 0型不等式解法口诀 大于取两边 小于取中间 x x a x x b 或x a x a x b 4 一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解过程用程序框图表示为 x x x2或x x1 r 考点自测 1 思考 给出下列命题 若不等式ax2 bx c0 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为r 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 若二次函数y ax2 bx c的图象开口向下 则不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 其中正确的是 a b c d 解析 选c 正确 由不等式ax2 bx c0 正确 由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的 错误 只有当a 0时才成立 当a0的解集为空集 错误 还要考虑a 0的情况 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的条件是a 0 b 0 c 0或a 0且 b2 4ac 0 正确 当抛物线开口向下时 在x轴下方一定存在图象 因此ax2 bx c 0的解集一定不是空集 另外此类题也可边选边排除 通过判断 正确排除d 正确排除b 错排除a 从而选c 2 不等式x 2 x 0的解集是 a 0 b 0 2 c 0 2 d 2 解析 选b 由x 2 x 0 x x 2 0 0 x 2 3 x2 ax b 0的解集为 x x3 则a b的值是 a 1b 1c 11d 12 解析 选c 由题意可知x2 ax b 0的两根为2 3 故a 2 3 5 b 2 3 6 故a b 11 4 若关于x的方程x2 mx 1 0有两个不相等的实数根 则实数m的取值范围是 a 1 1 b 2 2 c 2 2 d 1 1 解析 选c 由题意可得 m2 4 0 即 m 2 m 2 0 得m2 5 2013 广东高考 不等式x2 x 2 0的解集为 解析 x2 x 2 x 1 x 2 0 解得 2 x 1 解集为 x 2 x 1 答案 x 2 x 1 6 已知集合a x 5 x 1 集合b x r x m x 2 0 且a b 1 n 则m n 解析 因为a x 5 x 1 a b 1 n 所以m 1 故b x m x 2 得m 1 n 1 答案 11 考点1一元二次不等式的解法 典例1 1 2013 重庆高考 关于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集为 x1 x2 且x2 x1 15 则a 2 2013 武汉模拟 不等式2x 3 x2 0的解集是 3 2014 丽水模拟 解关于x的不等式x2 a 1 x a 0 解题视点 1 利用不等式的解集及x2 x1 15可解得a 2 化为标准形式 求根 写解集 3 将不等式左边因式分解后比较1与a的大小可得解集 规范解答 1 选a 由题意知 不等式x2 2ax 8a20 的解集为 2a 4a 因为x2 x1 15 所以4a 2a 15 解得a 2 原不等式可化为x2 2x 3 0 即 x 3 x 1 0 所以 1 x 3 答案 x 1 x 3 3 原不等式可化为 x a x 1 1时 不等式等价于11时解集为 x 1 x a 规律方法 1 解一元二次不等式的一般步骤一化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 二判 计算对应方程的判别式 三求 求出对应的一元二次方程的根 或根据判别式说明方程有没有实根 四写 利用 大于取两边 小于取中间 写出不等式的解集 2 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 1 二次项中若含有参数应讨论是等于0 小于0 还是大于0 然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式 2 当不等式对应方程的根的个数不确定时 讨论判别式 与0的关系 3 确定无根时可直接写出解集 确定方程有两个根时 要讨论两根的大小关系 从而确定解集形式 提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时 不要忘记讨论其等于0的情况 变式训练 1 2013 大连模拟 已知函数f x ax 1 x b 如果不等式f x 0的解集是 1 3 则不等式f 2x 0的解集是 a b c d 解析 选a 不等式f x 0 即 ax 1 x b 0 其解集是 1 3 所以解得于是f x x 1 x 3 所以不等式f 2x 或x 2 2014 嘉兴模拟 已知关于x的不等式ax2 bx c0的解集为 解析 由题意知 2 是方程ax2 bx c 0的两个根 且a0即为2x2 5x 2 0 故解集为答案 加固训练 1 已知函数f x x2 bx 1是r上的偶函数 不等式f x 1 x的解集为 解析 由于函数是偶函数 可得b 0 此时f x x2 1 于是不等式f x 1 x可化为x2 3x 2 0 解得1 x 2 答案 x 1 x 2 2 解关于x的不等式 1 ax 20时 由ax ax 2 0时 不等式解集为当a 0时 不等式解集为 考点2一元二次不等式恒成立问题 典例2 1 若关于x的不等式ax2 2x 2 0在r上恒成立 则实数a的取值范围为 2 已知函数f x x2 ax 3 当x r时 f x a恒成立 求a的取值范围 当x 2 2 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解题视点 1 由于二次项含有字母要分类讨论 结合函数图象求解 2 可直接利用判别式 0求解 可转化为求f x a在 2 2 上的最小值 令其最小值大于或等于0即可 规范解答 1 当a 0时 原不等式可化为2x 2 0 其解集不为r 故a 0不满足题意 舍去 当a 0时 要使原不等式的解集为r 只需解得a 答案 2 f x a即x2 ax 3 a 0 要使x r时 x2 ax 3 a 0恒成立 应有 a2 4 3 a 0 即a2 4a 12 0 解得 6 a 2 当x 2 2 时 设g x x2 ax 3 a 分以下三种情况讨论 当 2 即a 4时 g x 在 2 2 上单调递增 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 3a 因此a无解 当 2 即a 4时 g x 在 2 2 上单调递减 g x 在 2 2 上的最小值为g 2 7 a 因此解得 7 a 4 2 2 即 4 a 4时 g x 在 2 2 上的最小值为因此解得 4 a 2 综上所述 实数a的取值范围是 7 a 2 互动探究 将例题 1 中条件改为 在 1 2 上恒成立 则a的取值范围为 解析 令f x ax2 2x 2 当a 0时 f x 2x 2在 1 2 上为增函数 因f 1 0 所以不等式ax2 2x 2 0在 1 2 上恒成立 当a0 与a0时 4 8a时恒成立 f x 的对称轴为 若 0 即a 2 2 0 所以02不成立 综上 a 0 答案 a 0 易错警示 关注含参不等式的解法 1 情况分类要全面 否则易漏解 2 综合解集要准确 否则易出错 规律方法 一元二次不等式恒成立的条件 1 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac0在区间 m n 上恒成立 一般考虑f x 在该区间上的最小值大于0 提醒 对于含参数的恒成立问题 有时需要分类讨论 变式训练 1 在r上定义运算 x y x 2 y 若不等式 x m x0对任意x r恒成立 因此 m 2 2 4 1 2m 0 即m2 4m 0 解得 4 m 0 答案 4 0 2 不等式x2 3 ax a对一切3 x 4恒成立 则实数a的取值范围是 解析 因为x2 3 ax a对一切3 x 4恒成立 所以a 在x 3 4 恒成立 令g x x 3 4 即a g x min 而g x 在x 3 4 单调递增 故g x 在x 3时取得最小值3 则a 3 答案 a 3 加固训练 1 2013 重庆高考 设0 不等式8x2 8sin x cos2 0对x r恒成立 则 的取值范围为 解析 因为不等式8x2 8sin x cos2 0对x r恒成立 所以 64sin2 32cos2 0 即64sin2 32 64sin2 0 解得0 sin 0 因为0 所以答案 2 若函数f x log2 mx2 4mx 3 1 若函数的定义域为r 求m的取值范围 2 若函数的值域为r 求m的取值范围 解析 1 依题意 f x 的定义域为r 则mx2 4mx 3 0恒成立 当m 0时显然成立 当m 0时 则应有等价于即由 得m的取值范围是 2 若函数的值域为r 则mx2 4mx 3的范围必包含 0 故故m的取值范围是 考点3一元二次不等式的综合应用 考情 一元二次不等式是高考考查的热点 几乎每年高考均有与其有关的题目 常以选择题 填空题的形式出现 通常以不等式为载体综合考查函数 方程 三角 立体几何 解析几何等问题 高频考点通关 典例3 1 2013 陕西高考 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园 阴影部分 则其边长x 单位 m 的取值范围是 a 15 20 b 12 25 c 10 30 d 20 30 2 2013 新课标全国卷 改编 已知函数f x 若 f x ax 则a的取值范围是 a 0 b 1 c 2 1 d 2 0 解题视点 1 利用三角形关系得出矩形的长 宽 利用面积公式构造不等式求解 2 先结合函数画出函数y f x 的图象 利用 f x 在 0 0 处的切线为制定参数的标准 规范解答 1 选c 设矩形高为y 由三角形相似得 且x 0 y 0 x 40 y 40 xy 300 整理得y x 40 将y 40 x代入xy 300 整理得x2 40 x 300 0 解之得10 x 30 2 选d 画出函数y f x 的大致图象如图所示 当x 0时 g x f x x2 2x g x 2x 2 g 0 2 故a 2 当x 0时 g x f x ln x 1 g x 由于g x 上任意点处切线的斜率都要大于a 所以a 0 综上 2 a 0 通关锦囊 通关题组 1 2014 杭州模拟 若方程ax2 bx c 0的两实根为x1 x2 集合s x x x1 t x x x2 p x x0 a 0 的解集为 a s t p q b s t p q c s t p q d s t p q 解析 选d 不妨设x1 x2 因为不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集在两根之外 所以不等式ax2 bx c 0 a 0 的解集为 x xx1 而s t x x x1 p q x xx1 s t p q 2 2013 金华模拟 某公司按现有能力 每月收入为70万元 公司分析部门测算 若不进行改革 因竞争加剧收入将逐月减少 分析测算得从2014年开始第一个月收入将减少3万元 以后逐月多减少2万元 如果进行改革 即投入技术改造300万元 且2014年后每月再投入1万元进行员工培训 则测算得自2014年后第一个月起累计收入tn与时间n 以月为单位 的关系为tn an b 且2014年第一个月时收入将为90万元 第二个月时累计收入为170万元 问2014年后经过几个月 该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 解析 2014年改革后经过n个月的纯收入为 tn 300 n 万元 公司若不进行改革 由题设知2014年后因竞争加剧收入将逐月减少 分析测算得2014年第一个月收入将减少3万元 以后逐月多减少2万元 所以不改革 第一个月 70 3 2 1 1 第二个月 70 3 2 2 1 第三个月 70 3 2 3 1 第n个月 70 3 2 n 1 所以不改革时的纯收入为 万元 由题设知所以由题意建立不等式 80n 10 300 n 70n 3n n 1 n 整理 得n2 11n 290 0 得n 12 4 因为n n 故取n 13 答 经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入 3 2014 临海模拟 已知函数f x ax2 bx 1 a b为实数 x r f x 1 若不等式f x 4的解集为 x x1 求f x 的表达式 2 在 1 的条件下 当x 1 1 时 g x f x kx是单调函数 求实数k的取值范围 3 设m n0 a 0且f x 为偶函数 判断f m f n 能否大于零 解析 1 由已知 不等式ax2 bx 3 0的解集为 x x1 故a 0 且方程ax2 bx 3 0的两根为 3 1 由根与系数的关系 得所以f x x2 2x 1 x 1 2 所以f x 2 由 1 有g x f x kx x2 2x 1 kx x2 2 k x 1 当 1或 1时 即k 4或k 0时 g x 具有单调性 3 因为f x 是偶函数 所以f x ax2 1 所以f x 因为m n0 设m n 则n0 m n 0 所以 m n 所以f m f n f m f n am2 1 an2 1 a m2 n2 0 所以f m f n 能大于零 加固训练 1 2013 太原模拟 设二次不等式ax2 bx 1 0的解集为则ab的值为 a 6b 5c 6d 5 解析 选c 由题意得 1 是方程ax2 bx 1 0的两根 且a 0 所以所以又所以a 3 b 2 所以ab 6 2 2013 张家界模拟 已知f x ax2 x c 不等式f x 0的解集为 x 2 x 1 则函数y f x 的图象为 解析 选b 由根与系数的关系知 2 1 2 得a 1 c 2 f x x2 x 2的图象开口向下 顶点坐标为 易错误区13 分段函数解不等式问题的易错点 典例 2013 江苏高考 已知f x 是定义在r上的奇函数 当x