高考数学总复习（整合考点+典例精析+深化理解）第五章 第三节等比数列及其前n项和精讲课件 文.ppt

第三节等比数列及其前n项和 第五章 例1 2013 湖北卷 已知sn是等比数列 an 的前n项和 s4 s2 s3成等差数列 且a2 a3 a4 18 1 求数列 an 的通项公式 2 是否存在正整数n 使得sn 2013 若存在 求出符合条件的所有n的集合 若不存在 说明理由 等比数列基本量的计算 思考点拨 1 利用等比数列的通项公式和基本量法求解 2 利用求和公式求出 讨论不等式得结论 解析 1 设数列 an 的公比为q 则a1 0 q 0 由题意得 自主解答 故数列 an 的通项公式为an 3 2 n 1 2 由 1 有sn 1 2 n 若存在n 使得sn 2013 则1 2 n 2013 即 2 n 2012 当n为偶数时 2 n 0 上式不成立 当n为奇数时 2 n 2n 2012 即2n 2012 则n 11 综上 存在符合条件的正整数n 且所有这样的n的集合为 n n 2k 1 k n k 5 点评 在等比数列涉及到的5个基本量 a1 q an sn n 这五个基本量中已知其中的3个就一定能求出另外的2个 简称 知三求二 其中a1与q是确定等比数列的两个最基本的量 在很多问题中要用这两个基本量表示其他的量来解决问题 解决这类问题基本方法就是根据等比数列的通项公式 求和公式列出方程 组 解方程 组 即得未知的量 1 1 2012 南宁适应性测试 已知数列 an 是正项等比数列 若a2 2 2a3 a4 16 则数列 an 的通项公式an a 2n 2b 22 nc 2n 1d 2n 变式探究 2 2012 泉州四校联考 数列 an 满足a1 1 log2an 1 log2an 1 n n 它的前n项和为sn 则满足sn 1025的最小n值是 a 9b 10c 11d 12 解析 1 设数列的首项和公比分别为a1 q 则有解得q 4 舍去 或q 2 an 2n 1 故选c 2 a1 1 log2an 1 log2an 1 n n an 1 2an an 是等比数列 通项公式为an 2n 1 前n项和为sn 则满足sn 1025的最小n值是11 故选c 2n 1 答案 1 c 2 c 等比数列的证明 或判断 例2 2012 赣州期末改编 设sn为数列 an 的前n项和 对任意的n n 都有sn m 1 man m为常数 且m 0 1 求证 数列 an 是等比数列 2 设数列 an 的公比q f m 数列 bn 满足b1 2a1 bn f bn 1 n 2 n n 求数列 bn 的通项公式 自主解答 1 证明 当n 1时 a1 s1 m 1 ma1 解得a1 1 当n 2时 an sn sn 1 man 1 man 即 1 m an man 1 m为常数 且m 0 n 2 数列 an 是首项为1 公比为的等比数列 2 解析 由 1 知 q f m b1 2a1 2 bn f bn 1 是首项为 公差为1的等差数列 点评 等比数列的判定方法主要有 1 定义法 q q是不为0的常数 n n an 是等比数列 2 通项公式法 an cqn c q均是不为0的常数 n n an 是等比数列 3 等比中项公式法 a2n 1 an an 2 an an 1 an 2不为0 n n an 是等比数列 变式探究 2 2013 汕尾二模改编 已知数列 an 的首项a1 0 an 1 1 若a1 请直接写出a2 a3的值 2 若a1 求证是等比数列并求出 an 的通项公式 2 证明 由题意知an 0 所以数列是首项为 公比为的等比数列 例3 数列 an 的前n项和为sn a1 1 sn 1 4an 2 n n 1 设bn an 1 2an 求证 bn 是等比数列 2 设cn 求证 cn 是等比数列 证明 an 2 sn 2 sn 1 4an 1 2 4an 2 4an 1 4an 数列 bn 是公比为2的等比数列 首项为a2 2a1 s2 a1 a2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 2 由 1 知bn 3 2n 1 an 1 2an 数列是等差数列 公差为3 首项为2 2 n 1 3 3n 1 an 3n 1 2n 2 cn 2n 2 数列 cn 为等比数列 公比为2 变式探究 3 2012 西安一中期中 已知数列 an 满足a1 1 a2 2 an 2 n n 1 令bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 1 证明 b1 a2 a1 1 当n 2时 bn an 1 an 所以 bn 是以1为首项 为公比的等比数列 2 解析 由 1 知bn an 1 an n 1 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 等比数列性质的应用 例4 1 在等比数列 an 中 a5 a6 a a 0 a15 a16 b 则a25 a26的值是 2 已知等比数列 an a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 则an a 22 n或2n 1b 23 n或2n 1c 23 n或2n 1d 22 n或2n 1 2 a1a2a3 a 8 a2 2 当a1 1 a2 2 a3 4时 q 2 an 2n 1 当a1 4 a2 2 a3 1时 答案 1 c 2 b 点评 1 等比数列的性质可以分为三类 一是通项公式的变形 二是等比中项的变形 三是前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 2 巧用性质 减少运算量 在解题中非常重要 变式探究 4 1 2012 德阳诊断 在等比数列 an 中 a5a11 3 a3 a13 4 则 2 2012 北京西城区期末 已知 an 是公比为2的等比数列 若a3 a1 6 则a1 解析 1 由等比中项的性质知a3a13 a5a11 3 又a3 a13 4 a3 a13是方程x2 4x 3 0的两根 解得a3 3 a13 1或a3 1 a13 3 2 由已知得q 2 a1q2 a1 6 解得a1 2 an 2 2n 1 2n 是等比数列 首项和公比都为 其前n项和为 答案 1 c 2 2 等差数列与等比数列的综合 例5 已知等差数列 an 的首项a1 1 公差d 0 且第2项 第5项 第14项分别是等比数列 bn 的第2项 第3项 第4项 1 求数列 an 与 bn 的通项公式 2 设数列 cn 对n n 均有 an 1成立 求c1 c2 c3 c2013 解析 1 由已知有a2 1 d a5 1 4d a14 1 13d 1 4d 2 1 d 1 13d 解得d 2 d 0 an 1 n 1 2 2n 1 又b2 a2 3 b3 a5 9 数列 bn 的公比为3 bn 3 3n 2 3n 1 n n 2 由 an 1得 当n 2时 两式相减得 n 2时 an 1 an 2 cn 2bn 2 3n 1 n 2 又当n 1时 a2 c1 3 cn c1 c2 c3 c2013 3 3 3 32013 32013 点评 在解决等差 等比数列的综合题时 重点在于读懂题意 灵活利用等差 等比数列的定义 通项公式及前n项和公式 本题第 1 问就是用基本量公差 公比求解 第 2 问在作差an 1 an时要注意n 2 5 2013 新课标全国卷 已知等差数列 an 的公差不为零 a1 25 且a1 a11 a13成等比数列 1 求 an 的通项公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 变式探究 解析 1 设 an 的公差为d 由题意 a a1a13