江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第2讲 平面的基本性质与异面直线课件.ppt

第2讲平面的基本性质与异面直线 知识梳理1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其他公共点 这些公共点的集合是经过这个公共点的 两点 一条直线 3 公理3 经过的三点 有且只有一个平面 4 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条直线有且只有一个平面 推论3 经过两条直线有且只有一个平面 不在同一条直线上 相交 平行 平行 相交 任何 锐角 或直角 3 平行公理和等角定理 平行公理 平行于的两条直线互相平行 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 同一条直线 相等或互补 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 相交 平行 在平面内 平行 相交 辨析感悟1 对平面基本性质的认识 1 两个不重合的平面只能把空间分成四个部分 2 两个平面 有一个公共点a 就说 相交于a点 记作 a 3 教材练习改编 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 4 教材练习改编 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 2 对空间直线关系的认识 5 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b不可能是平行直线 6 没有公共点的两条直线是异面直线 感悟 提升 1 一点提醒做有关平面基本性质的判断题时 要抓住关键词 如 有且只有 只能 最多 等 如 1 中两个不重合的平面还可把空间分成三部分 2 两个防范一是两个不重合的平面只要有一个公共点 那么两个平面一定相交得到的是一条直线 如 2 二是搞清 三个公共点 是共线还是不共线 如 4 3 一个理解异面直线是指不同在任何一个平面内 没有公共点 不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线 如 6 考点一平面的基本性质及其应用 例1 1 以下四个命题中 正确的命题是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 p q r分别是ab ad b1c1的中点 那么正方体的过p q r的截面图形是 边形 解析 1 正确 可以用反证法证明 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 不正确 共面不具有传递性 不正确 因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上 2 如图所示 作rg pq交c1d1于g 连接qp并延长与cb延长线交于m 连接mr交bb1于e 连接pe 则pe re为截面的部分外形 同理连pq并延长交cd于n 连接ng交dd1于f 连接qf fg 截面为六边形pqfgre 答案 1 2 六 规律方法 1 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理3是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 2 画几何体的截面 关键是画截面与几何体各面的交线 此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件 可以更快地确定交线的位置 训练1 如图所示是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形的序号是 解析可证 中的四边形pqrs为梯形 中 如图所示 取a1a和bc的中点分别为m n 可证明pmqnrs为平面图形 且pmqnrs为正六边形 中 可证四边形pqrs为平行四边形 中 可证q点所在棱与面prs平行 因此 p q r s四点不共面 答案 考点二空间两条直线的位置关系 例2 如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 答案 规律方法空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 训练2 在图中 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以在图 中gh与mn异面 答案 考点三异面直线所成的角 例3 在四棱锥p abcd中 底面是边长为2的菱形 dab 60 对角线ac与bd交于点o po 平面abcd pb与平面abcd所成角为60 1 求四棱锥的体积 2 若e是pb的中点 求异面直线de与pa所成角的余弦值 审题路线 1 找出pb与平面abcd所成角 计算出po的长 求出四棱锥的体积 2 取ab的中点f 作 pab的中位线 找到异面直线de与pa所成的角 计算其余弦值 训练3 2014 成都模拟 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱a1b1 a1d1的中点 则a1b与ef所成角的大小为 1 证明线共点问题 常用的方法是 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直线上 2 证明点或线共面问题 一般有以下两种途径 1 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余线 或点 均在这个平面内 2 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证平面重合 3 异面直线的判定方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 思想方法7 构造模型判断空间线面的位置关系 典例 2012 上海卷改编 已知空间三条直线l m n 若l与m异面 且l与n异面 则m与n的位置关系是 m与n异面 m与n相交 m与n平行 m与n异面 相交 平行均有可能 解析 在如图所示的长方体中 m n1与l都异面 但是m n1 所以 错误 m n2与l都异面 且m n2也异面 所以 错误 答案 反思感悟 这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题 解决的方法是 推理论证加反例推断 即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明 错误的结论需要通过举出反例说明其错误 在解题中可以以常见的空间几何体 如正方体 正四面体等 为模型进行推理或者反驳 自主体验 1 2013 浙江卷改编 设m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 则 若m n 则m n 若m m 则 若m n m 则n 若m 则m 四个结论正确的是 解析本题可借助特殊图形求解 画一个正方体作为模型 如图 设底面abcd为 侧面a1add1为 当a1b1 m b1c1 n时 显然 不正确 当b1c1 m时 显然 不正确 当b1c1 m时 显然 不正确 答案 2 对于不同的直线m n和不同的平面 有如下四个命题 若m m n 则n 若m m n 则n 若 则 若m