高考数学总复习 第十章 第九节离散型随机变量的分布列、均值与方差课件 理.ppt

第九节离散型随机变量的分布列 均值与方差 第十章计数原理 概率 随机变量及其分布 考纲要求 1 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 了解分布列对于刻画随机现象的重要性 2 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 能计算简单离散型随机变量的均值 方差 并能解决一些实际问题 课前自修 知识梳理 一 随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示 那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母 或大写拉丁字母x y 等表示 二 离散型随机变量对于随机变量可能取的值 可以按一定次序一一列出 这样的随机变量叫做离散型随机变量 若 是随机变量 a b 其中a b是常数 则 也是随机变量 三 离散型随机变量的分布列设离散型随机变量 可能取的值为x1 x2 xi xn 取每一个值xi i 1 2 n 的概率p xi pi 则称表 为随机变量 的概率分布 简称 的分布列 四 离散型随机变量分布列的两个性质 1 pi 0 i 1 2 n 2 1 五 数学期望一般地 若离散型随机变量 的概率分布为 则称e x1p1 x2p2 xnpn为 的 或均值 简称期望 数学期望是离散型随机变量的一个特征数 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 数学期望 平均数 均值 在有限取值离散型随机变量 的概率分布中 令p1 p2 pn 则有p1 p2 pn e x1 x2 xn 所以 的数学期望又称为平均数 均值 六 方差d x1 e 2 p1 x2 e 2 p2 xn e 2 pn 叫做离散型随机变量 的 方差是衡量数据波动大小的量 方差越大数据波动越大 方差 七 标准差d 的算术平方根叫做随机变量 的标准差 记作 八 均值 方差的性质e a b d a b d e 2 e 2 ae b a2d 基础自测 1 袋中有大小相同的5只钢球 分别标有1 2 3 4 5五个号码 任意抽取2个球 设2个球号码之和为x 则x的所有可能取值个数为 a 25b 10c 7d 6 解析 x的可能取值为1 2 3 1 3 4 1 4 2 3 5 1 5 4 2 6 2 5 3 4 7 3 5 8 4 5 9 共7种 故选c 答案 c 2 2012 泰安模拟 若p x2 1 p x1 1 其中x1 x2 则p x1 x2 等于 a 1 1 b 1 c 1 1 d 1 1 解析 由分布列性质可有 p x1 x2 p x2 p x1 1 1 1 1 1 故选b 答案 b 3 某射手射击所得环数 的分布列如下 已知 的期望e 8 9 则y的值为 解析 由表格可知 x 0 1 0 3 y 1 7x 8 0 1 9 0 3 10 y 8 9 解得y 0 4 答案 0 4 4 设在15个同类型的零件中有2个次品 每次任取一个 共取3次 并且每次取出后不再放回 若以x表示取出次品的个数 则x的期望ex和方差dx分别是 和 考点探究 考点一 离散型随机变量分布列 期望 方差性质的运用 2 设 是一个离散型随机变量 其分布列如下表 试求e d 思路点拨 1 根据分布列的性质 先求出c的值 2 应先按分布列的性质 求出q的值后 再计算出e d 点评 解答本题时 应防止机械地套用期望和方差的计算公式 出现以下误解 e 1 0 1 2q 1 q2 q2 变式探究 1 1 设离散型随机变量 可能取的值为1 2 3 4 p k ak b k 1 2 3 4 又 的数学期望e 3 则a b 2 2012 郑州检测 马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布列如下表 请小牛同学计算 的数学期望 尽管 处完全无法看清 且两个 处字迹模糊 但能断定这两个 处的数值相同 据此 小牛给出了正确答案e 解析 1 因离散型随机变量 可能取的值为1 2 3 4 p ak b 所以 a b 2a b 3a b 4a b 1 即10a 4b 1 又 的数学期望e 3 则 a b 2 2a b 3 3a b 4 4a b 3 即30a 10b 3 解得a b 0 所以a b 2 设 处数值为t 则 处的数值为1 2t 所以e t 2 1 2t 3t 2 答案 1 2 2 考点二 求离散型随机变量的分布列 例2 一袋中装有5只球 编号为1 2 3 4 5 在袋中同时取3只 以 表示取出的三只球中的最小号码 写出随机变量 的分布列 思路点拨 因为在编号为1 2 3 4 5的球中 同时取3只 所以小号码可能是1或2或3 即 可以取1 2 3 解析 随机变量 的可能取值为1 2 3 当 1时 即取出的三只球中最小号码为1 则其他两只球只能在编号为2 3 4 5的四只球中任取两只 故有p 1 当 2时 即取出的三只球中最小号码为2 则其他两只球只能在编号为3 4 5的三只球中任取两只 故有p 2 当 3时 即取出的三只球中最小号码为3 则其他两只球只能在编号为4 5的两只球中任取两只 故有p 3 因此 的分布列为 点评 求离散型随机变量的分布列 应按下述三个步骤进行 1 明确随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 2 利用概率的有关知识 求出随机变量每个取值的概率 3 按规范形式写出分布列 并用分布列的性质验证 变式探究 2 某企业准备招聘一批大学生到本单位就业 但在签约前要对他们的某项专业技能进行测试 在待测试的某一个小组中有男 女生共10人 其中女生人数多于男生人数 如果从中随机选2人参加测试 其中恰为一男一女的概率为 1 求该小组中女生的人数 2 假设此项专业技能测试对该小组的学生而言 每个女生通过的概率均为 每个男生通过的概率为 现对该小组中男生甲 男生乙和女生丙3个人进行测试 记这3人中通过测试的人数为随机变量x 求x的分布列 故x的分布列为 考点三 求离散型随机变量的数学期望 例3 2012 广州一模 如图所示的茎叶图记录了甲 乙两个小组 每小组4人 在期末考试中的数学成绩 乙组记录中有一个数据模糊 无法确认 在图中以a表示 已知甲 乙两个小组的数学成绩的平均分相同 1 求a的值 2 求乙组四名同学数学成绩的方差 3 分别从甲 乙两组同学中各随机选取一名同学 记这两名同学数学成绩之差的绝对值为x 求随机变量x的分布列和均值 数学期望 解析 1 依题意 得 87 89 96 96 87 90 a 93 95 解得a 3 2 根据已知条件 可以求得两组同学数学成绩的平均分都为 92 所以乙组四名同学数学成绩的方差为s2 87 92 2 93 92 2 93 92 2 95 92 2 9 3 分别从甲 乙两组同学中各随机选取一名同学 共有4 4 16种可能的结果 这两名同学成绩之差的绝对值x的所有情况如下表 变式探究 3 2012 福建卷 受轿车在保修期内维修费等因素的影响 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关 某轿车制造厂生产甲 乙两种品牌轿车 保修期均为2年 现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆 统计数据如下 将频率视为概率 解答下列问题 1 从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆 求其首次出现故障发生在保修期内的概率 2 若该厂生产的轿车均能售出 记生产一辆甲品牌轿车的利润为x1 生产一辆乙品牌轿车的利润为x2 分别求x1 x2的分布列 3 该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当 由于资金限制 只能生产其中一种品牌的轿车 若从经济效益的角度考虑 你认为应生产哪种品牌的轿车 说明理由 考点四 不放回抽样中的概率分布 例4 袋中装有黑球和白球共7个 从中任取2个球都是白球的概率为 现有甲 乙两人从袋中轮流摸取1个球 甲先取 乙后取 然后甲再取 取后不放回 直到两人中有一人取到白球时终止 每个球在每一次被取出的机会是等可能的 用 表示取球终止所需要的取球次数 1 求袋中所有的白球的个数 2 求随机变量 的概率分布 3 求甲取到白球的概率 变式探究 4 2012 浙江卷 已知箱中装有4个白球和5个黑球 且规定 取出一个白球得2分 取出一个黑球得1分 现从该箱中任取 无放回 且每球取到的机会均等 3个球 记随机变量x为取出此3球所得分数之和 1 求x的分布列 2 求x的数学期望ex 考点五 求离散型随机变量的方差 例5 2011 青岛市模拟 a b两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2 根据市场分析 x1和x2的分布列分别为 1 在a b两个项目上各投资100万元 y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润 求方差dy1 dy2 2 将x 0 x 100 万元投资a项目 100 x万元投资b项目 f x 表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和 求f x 的最小值 并指出x为何值时 f x 取到最小值 注 d ax b a2dx 解析 1 由题设可知 y1和y2的分布列分别为 所以ey1 5 0 8 10 0 2 6 dy1 5 6 2 0 8 10 6 2 0 2 4 ey2 2 0 2 8 0 5 12 0 3 8 dy2 2 8 2 0 2 8 8 2 0 5 12 8 2 0 3 12 变式探究 考点六 与离散型随机变量的均值 方差有关的最值问题 例6 2011 惠州市一模 某校组织的一次篮球定点投篮比赛 其中甲 乙 丙三人投篮命中率分别是 a a 0 a 1 三人各投一次 用 表示三人投篮命中的个数 1 求 的分布列及数学期望 2 在概率p i i 0 1 2 3 中 若p 1 的值最大 求实数a的取值范围 变式探究 6 2012 罗定市罗定中学二模 一次考试共有12道选择题 每道选择题都有4个选项 其中有且只有一个是正确的 评分标准规定 每题只选一个选项 答对得5分 不答或答错得零分 某考生已确定有8道题的答案是正确的 其余题中 有两道题都可判断两个选项是错误的 有一道题可以判断一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只好乱猜 请求出该考生 1 得60分的概率 2 得多少分的可能性最大 3 所得分数 的数学期望 用小数表示 精确到0 01 1 离散型随机变量 1 事件的组成 对于随机变量x x k表示一个基本事件 x k x k x k k1 x k2均表示有一些基本事件组成的事件 2 自定义随机变量 根据需要我们可以定义随机变量 如 在掷一枚均匀硬币的随机试验中 令x 2 离散型随机变量的概率分布的两个本质特征 pi 0 i 1 2 n 与 1是确定分布列中参数值的依据 3 求离散型随机变量的分布列 首先要根据具体情况确定 的取值情况 然后利用排列 组合与概率知识求出 取各个值的概率 即必须解决好两个问题 一是求出 的所有取值 二是求出 取每一个值时的概率 因此 应按下述三个步骤进行 1 明确随机变量的所有可能取值 以及取每个值所表示的意义 2 利用概率的有关知识 求出随机变量每个取值的概率 3 按规范形式写出分布列 并用分布列的性质验证 4 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和 5 处理有关离散型随机变量的应用问题 关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量 6 求一些离散型随机变量的分布列 在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数 即相应的排列组合数 所以学好排列 组合知识是学好分布列的基础与前提 7 数学期望 均值 ex是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 ex由x的分布列唯一确定 均值是离散型随机变量的一个重要参数 是对随机变量的一种简明的描述 它是表示均值的统计概念 但要通过大量的现象才能表现出来 在实际生产生活中有着广泛的应用 8 求均值的一般方法步骤是 首先写出随机变量所有可能的取值 然后求出随机变量取每个值对应事件的概率 列出分布列 最后利用期望的定义计算 9 方差dx表示x对ex的平均偏离程度 dx越大表示平均偏离程度越大 说明x的取值越分散 感悟高考 品味高考 2 2012 湖北卷 根据以往的经验 某工程施工期间的降水量x 单位 mm 对工期的影响如下表 历年气象资料表明 该工程施工期间降水量x小于300 700 900的概率分别为0 3 0 7 0 9 求 1 工期延误天数y的均值与方差 2 在降水量x至少是300的条件下 工期延误不超过6天的概率 解析 1 由已知条件和概率的加法公式有 p x 300 0 3 p 300 x 700 p x 700 p x 300 0 7 0 3 0 4 p 700 x 900 p x 900 p x 700 0 9 0 7 0 2 p x 900 1 p x 900 1 0 9 0 1 所以y的分布列为 于是 ey 0 0 3 2 0 4 6 0 2 10 0 1 3 dy 0 3 2 0 3 2 3 2 0 4 6 3 2 0 2 10 3 2 0 1 9 8 故工期延误天数y的均值为3 方差为9 8 2 由概率的加法公式 得p x 300 1 p x 300 0 7 又p 300 x 900 p x 900 p x 300 0 9 0 3 0 6 由条件概率 得p y 6 x 300 p x 900 x 300 故在降水量x至少是300的条件下 工期延误不超过6天的概率是 高考预测 1 某企业生产的一批产品中有一 二 三等品及