结构分析法在解题中的应用研究毕业论文

- I - 结构分析法在解题中的应用研究 摘 要 结构分析法是指从分析题目的结构出发，运用所学知识去改变式子的原有结构，通过对结构式的不断转化来实现解题的一种方法。本文在了解了什么是结构分析法的基础上，介绍了结构分析法的特征性、差异性、层次性。 从常用的 一些结构式分析入手，结合数学问题的基本结构，设计例题，引导学生用结构分析法解决数学问题，最终熟练应用此方法。同时本文对结构分析法进行了扩展：利用结构分析法建立数学模型以及用其教几何定理。本文在 最后对结构分析法进行了总结。 关键词 ： 结构分析法；数学问题；解答- II - 目 录 摘 要 . I 引 言 . 1 1 研究价值 . 2 1.1 研究背景 . 2 1.2 研究问题 . 2 1.3 研究目的及意义 . 2 2 什么是结构分析法 . 3 2.1 结构分析法的基本内涵及分类 . 3 2.2 结构的思想与方法 . 3 2.3 数学问题的基本结构 . 3 3 结构分析法的应用 . 5 3.1 利用结构分析法的特征性解题 . 5 3.1.1 位置特征的分析 . 5 3.1.2 结构特征的分析 . 5 3.1.3 数值特征的分析 . 6 3.2 利用结构分析法的差异性解题 . 7 3.3 利用结构分析法的层次性解题 . 8 4 结构分析法的扩展 . 11 4.1 利用结构分析法建立数学模型 . 11 4.2 利用结构分析法教几何定理 . 11 5 进一步思考 . 12 5.1 何时应用结构分析法 . 12 5.2 应用时的注意事项 . 12 结 论 . 13 参考文献 . 14 致 谢 . 15 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 1 引 言 解数学题是学生巩固和加深对数学知识的理解，通过运用知识形成熟练技巧的过程，也是培养能力的基本实践活动之一。 解 数学题需要具有一定的分析问题、解决问题的能力。目前情况下，能够独立解数学题的学生是不多的。如果我们能够把结构分析的方法交给学生，引导学生从题的结构入手去解数学题，便能广开思路，启发学生积极思考，达到开发智力、举一反三，进而培养学生发散性思维的能力。 数学题中的联系是客观的，但结构却可以是人为的，即可以根据解题的需要从不同的角度来揭示数学题的结构。这种结构的特征性、差异性和层次性使我们可以从不同的角度运用不同的方法去解决同一个数学问题。 结构是指各个组成部分的搭配和排列。结构分析法是指从分析题目的结构出发，运用所学知识去改变式子的原有结构，通过对结构式的不断转化来实现解题的一种方法。在解题过程中利用结构分析法既可以帮助学生巩固知识、培养能力、掌握解题方法，又可以减轻学生的学习负担。 结构分析法在解题中的应用研究 2 1 研究价值 1.1 研究背景 结构分析法是数学解题中的重要方法。切实减轻学生不必要的负担，提高学生数学问题解决的能力，同时培养学生发散思维，摆脱传统思维模式的束缚。 1.2 研究问题 根据数学结构的思想与方法，我们在解决数学问题时可以用结构分析的方法来解决问题，从而为数学问题的解决以及在课堂教学中如何指导、培养学生解决数学问题的能力 ，为培养学生的发散思维开辟了一条崭新的途径。 1.3 研究目的及意义 要使数学学习取得较好的效果，科学的方法对培养学生的发散思维能力，提高教学效率，有着十分积极的作用。结构分析法是数学解题中的重要方法， 用结构分析法解题的实质，就是在理解所给题目的基础上，根据解题需要，充分探寻各量及其之间的内在联系，使问题分化，规律明显。训练学生用结构分析法解题，可以培养学生从多个侧面、不同层次深入研究问题的思维品质，有益于让学生的思维模式变成发散模式。 数学中有着千变万化的问题需要解决，这使得结构分析法在数学解题具有相当普 遍的意义。本文从常用的一些结构式分析入手，对结构分析法进行探究。 通过对结构分析法的概述，让学生了解该方法在解题中的优势。再 从常用的 一些结构式分析入手，设计例题，引导学生用结构分析法解决数学问题，最终熟练应用此方法。 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 3 2 什么是结构分析法 把所要研究的问题视为元素及其关系的总和，便是一个系统，元素构成的系统，其功能既决定于元素的性质又决定于元素之间的关系。元素之间特定的联系方式叫做结构，系统的特点是由元素和结构共同决定的。从系统结构分析入手来研究解决问题的方法，叫做结构分析法 1。 2.1 结构分析法的基本内涵及分类 所谓结构分析法就是指从分析题目的结构出发，运用所学知识去改变式子的原有结构，通过对结构式的不断转化来实现解题的一种方法。根据它的性质，我们可将其归纳为三大类：结构分析法的特征性、差异性以及层次性。其中结构分析法的特征性又可划分为三部分：位置特征、结构特征以及数值特征。这使得在解题中要根据题意，选择相适应的性质去解决问题。 2.2 结构的思想与方法 任何一个数学问题都是一个有机的数学小系统，这个小系统是由问题中的元素及其结构所决定的，并且这些结构都是相互联系的。数学 结构决定着解题的方法，数学结构蕴含着解题方法，数学结构提示着解题方法：数学结构的多样性决定着解题方法的多样性；数学结构的特殊性决定着解题方法的特殊性。这就是结构的思想和方法的基本内涵。根据数学结构的思想与方法，我们在解决数学问题时可以用结构分析的方法来寻找问题解决的方法，从而为数学问题的解决以及在课堂教学中如何指导、培养学生解决数学问题的能力，培养学生的发散性思维开辟了一条崭新的途径。 2.3 数学问题的基本结构 所谓数学结构就是指组成数学问题的各个组成部分的搭配形式及其联系。根据数学的研究对象，我们可以把数 学结构分为代数结构（数的特征）、几何结构（形的特征） 以及数形结构（数形结合的特征）；另外根据在数学问题中数学结构呈现的明显与否，可分为显结构与隐结构（或抽象结构与直观结构）；根据繁简还可分为复杂结构与简单结构；又从命题的构成角度还可分为条件结构与结论结构等等 2。 把一道数学综合题看作一个复杂系统，简称大系统。在数学综合题中，一般存在着若干个数学过程，把一个过程视为一个子系统，每个数学过程中的各种都可看作系统的元素，各种以及各个数学过程之间的特定联系方式就是数学综合题的结构。对于较为复杂的数学综合题，则 需从几个层次去研究它的结构。第一个层次的结构是跟据解题需要结构分析法在解题中的应用研究 4 而确定的子系统，以及每一个子系统因需要而选取的主要元素之间特定的联系方式和作用，这个层次的结构给出了解题所需的一些量及相互关系。第二个层次的结构是根据解题需要而描述的各子系统之间的联系和作用，这个层次的结构给出了不同数学过程所遵循的法则和规律，从而打开从已知到未知、从题设到结论的通道。 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 5 3 结构分析法的应用 3.1 利用结构分析法的特征性解题 3.1.1 位置特征的分析 利用所给题目中式子中元素的 位置特征，联系其性质，从而找到解题的捷径。 例 1 已知 1a 07 b ，则 ba 的值是多少 ? 结构分析易看出此式子为加式，加数分别是绝对值、根式， a 、 b 又为加数的组成部分，且整个式子所得和为零。 利用式子位置上的特征，可知和为零，分两种情况：两加数互为相反 数两加数都为零。又根据绝对值和根式的性质，可知都是大于或等于零的，即第二种情况。因此题目中两加数都为零，即 07,01 ba 7,1 ba 6)7(1 ba 传统的思维模式大多以“去绝对值、去根号”着手解决问题，逐步计算出 a 与 b 的值，最终求得 ba 的值。而运用结构分析法，发散思维、分析题意、发现其位置的特征性，使问题简化，使所要计算的式子更为简单，不易出错。 3.1.2 结构特征的分析 利用题目中式子结构上的特征，去改变题目原有结构，从而达到简便解题的效果。 分式问题是一类常见的问题。若是化简题，一般是运用所学知识对分子分母分别作出处理，产生公因式后再约去；若是证明题一般采用对角相乘，等价转化为整式后再处理。不过证明题也可以对左、右两边进行化简处理 3。 例 2 化简 2co s2sin1 2co s2sin1 结构分析观察问题中的“ 2sin1 、 2cos1 、 2sin 2cos ” 这些重要且常用的变形格式，利用这些式子结构上的特征，去改变题目原有结构。 方法一： 原式 = c o ss in2c o s2 c o ss in2s in2 22 =cossin 结构分析法在解题中的应用研究 6 = tan 方法二： 分子分母同时乘以 )2c o s2(s in1 得 原式 = 2c o s2s in2 2c o s22c o s22 =2sin 2cos1 = tan 传统的思维模式，对于方法一的解答过程较为熟练。但此方法的运用是在熟记二倍角公式的基础上。对于方法二，则是运用结构分析法，发散思维后发现其结构特征：分母可看作“平方差”的一部分，将分母“凑”成“平方差”形式后，发现此时分子与分母的次数相同，且有相同因子。因此可直接约分，使问题简化。 3.1.3 数值特征的分析 数值特征就是通过分析题意，找出命 题中的数值的特征，运用数学手段：抽象思维和逻辑推理，从而达到问题的解决。 例 3 甲、乙两人共有 260 本书，其中甲的书有 13% 是专业书，乙的书有 12.5% 是专业书，问甲有多少本非专业书？ 结构分析：甲的书中，专业书占10013%13 乙的书中，专业书占81100 5.12%5.12 由数值的特性，甲的专业书占10013，此分数是不可约的，故甲的书的总数是 100 的倍数，即 100 或 200 。同理，乙的书的总数能够被 8 整除。 因此，如果甲有 200 本书，则乙有 60 本， 60 不能被 8 整除，不合题意。可 得甲有书应为 100 本。 所求甲的非专业书： 8713%)-(1100 本 例 4 2003!3!2!1! 的个位数是？ 结构分析易知从 !5 到 !2003 ，由数值的特征性，每个数字里面既有因子 2 ，也有因子 5 ，尾数必然为 0 。 故考虑原式的个位数，只需考虑 4!3!2!1! 的尾数即可。 易得个位数为 3 4621 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 7 传统的思维模式对于例 3 来说，所给条件不足，无法找出相应的等量关系，无从下手；而例 4 则是数值过大，用传统方法不宜求解。而运用结构分析法，发散思维，可发现其数值的特征性，简化问题。 3.2 利用结构分析法的差异性解题 差异分析法是通过分析条件与结论之间的异同点，并不断减少差异 (目标差 ) 来完成解题的方法 4。差异分析法，可以从函数名上的差异入手，可以从字母上的差异 入手，也可以从结构上的差异入手。下面着重从结构上的差异入手。从结构上入手，可以分“局部结构、整体结构和等价形式”等多种情况。 例 5 已知 000 cba ， ，求证： abba 22 bccb 22 acca 22 结构分析 1 从字母上的差异入手 观察得“左 边有 b ，右边无 b ”，并且发现消除左边的 b 比较困难。若简单地取 0b ，显然不行（左边是变大还是变小无法确定）。 2 去掉根号 从式子局部看，要去掉三个根号，必须把左边根号里的式子适当缩小后凑成完全平方的形式，右边根号里的式子适当放大后凑成完全平方的形式，但发现这样做很难解决问题。 从式子整体看， 可采用两边平方的办法去掉根号，根据题目中的等价形式来设法解决该题。作以下尝试：因两边非负，平方后不改变不等号的方向。 acbbcabbccbabba 22222 2)(2 (1) 若右式 0 ，则 （ 1） 式成立 若右式 0 ，则（ 1）式两边平方得等价形式 222222222 222333 a b ccabbcacacbba (2) （ 2） 式等价于 0)()()( 222222222 bcacacabbcabcacbba (3) （ 3） 式显然成立 此法是利用式子的等价形式，转化为新的目标差，再逐步消除新的目标差。 3 看形式能否与距离公式联系起来 abba 22 =43)2(22 bba ，设 )0,(aA ， )23,2(1 bbB 结构分析法在解题中的应用研究 8 bccb 22 =43)2(22 ccb ，设 )0,(2 bB ， )23,2( ccC acca 22 43)2(22 cca ，即 )0,(aA 、 )23,2( ccC两点间的距离 于是，原题就转化为证明： ACCBAB 21 此式容易联想到三角形两边之和大于第三边，但距目标还有差异，因为 1B 、 2B 并非同一点。如何消除这种差异 ? 1B 、 2B 中取一点作尝试。 ACCBAB 11 （或 ACCBAB 22 ） 如果能够说明 CBCB 12 或 21 ABAB 中的一种情况成立，那么问题就彻底解决。 显然， 2AB 2)( ba abba 222 122 ABabba 成立。 当然，同理可说明 CBCB 12 成立。 这种方法渗透了重要的数形结合思想。 以上例子说明了这样一个观点，从结构分析法的差异性入手时，可以从局部结构出发，也可以从整体结构出发，证明题也并非一定是从左到右进行，可以用它的等价形式，一次次转化为新的目标差，最后消除目标差，而且这个等价转化可以是代数与代数间的转化， 也可以是代数与几何之间的等价转化。 应用结构分析法的差异性时，要仔细观察、分析所给条件与结论之间的目标差。有时不易被发现，这样一来谁都无法快速解决。因此只有靠教学活动中不断探究、不断尝试、不断积累经验来加以完善 5。 3.3 利用结构分析法的层次性解题 用结构分析法解数学综合题的思想基础是观察、分析与联想。其物质基础是各种元素之间的联系，它们组合成千变万化的数学综合问题，需要我们去解决，这使得结构分析法在数学解题中具有相当普遍的意义。目标 准则 方案，运用层次分析法联系一般材料。从是什么、为什么、怎么样 （影响、作用、意义等）、怎么办（对策、措施）入手。有时也通过与几何构型相结合，利用空间想象能力解决问题。 例 66 ABC 中， 60A ，最大边和最小边的长分别是 032273 2 xx 的两根，求 ABC 的内切圆的面积。 结构分析如图 3-1，此问题的待求是 ABC 内切圆的面积 S ，由于 S 与内切圆半径 r 直接相关，而 r 又联系着 ABC 的边长，因此取下列数学过程及这些过程中作为系统要素的各个之间的关系为本题第一个层次的结构： 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 9 图 3-1 1 ABC 中， 60A ，最大边和最小边的长分别是 032273 2 xx 的两根，求ABC 的周长。 在这个过程中，需要关注 ABC 的边长与方程 032273 2 xx 的根的关系。为此选择子系统的要素为： A ， ABC 的边 AB 、 BC 及周长 P ， 方程 032273 2 xx 的两根 1x 、 2x 。 因为 60A ，所以 A 的对边 BC 不是最大边也不是最小边，由题设和余弦定理，有： 1xAB 、 2xBC （ 1） BCACABP （ 2） AABACABACBC c o s2222 （ 3） 2 已知三角形的周长，求内切圆的面积。 这个过程中，选取 ABC 的周长 P ， ABC 的面积ABCS和AOBS，AOCS，BOCS和内切圆半径 r 作为子系统的要素。其关系有： B O CA O CA O BA B C SSSS （ 4） rABS AOB 21 （ 5） rACS AOC 21 （ 6） rBCS BOC 21 （ 7） 本题第二个层次的结构是不同子系统之间纵、横联系的沟 通，由此从已知量引向待求量 ： 由（ 1）联想到韦达定理有 ： 9327 ABAC （ 8） 结构分析法在解题中的应用研究 10 332 ABAC （ 9） 将 （ 8） 、 （ 9） 代入 （ 3） ： 4932813)( 22 ACABABACBC , 即 7BC 。将 7BC 代入 （ 5） 结合（ 8）得 1679 P 由 （ 4） 、 （ 5） 、 （ 6） 、 （ 7） 得： ABCS= rBCACAB )(21 rrP 821 而ABCS 60s in21 ACAB 2133223 338 3388 r，即33r 故 ABC 内切圆的面积3)33( 2 S 一个系统的结构是由观察者的需要来确定的，因而我们有可能从不同侧面以不同观点来揭示系统的结构，从而寻求多种解 决问题的途径。 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 11 4 结构分析法的扩展 4.1 利用结构分析法建立数学模型 结构分析法的层次性，可将人的主观判断用数量形式表达和处理。它把复杂问题分解成各个组成因素，又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。并通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断，确定决策方案相对重要性的总的排序。整个过程体现了人的决策思维的基本特征 分解、判断、综合。改变了长期以来决策者与决策分析之间难于沟通的状态。因而在众多领域中得到应用。在历年的全国大学生数学建模竞赛中，有不少参赛小组 使用该方法，通过建立内部独立的递阶层次结构来解决问题 7。 例如：通过结构分析法的层次分析，在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次。同一层的诸因素从属于上层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用，而同一层的各因素之间尽量相互独立。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时（比如多于九个）应进一步分解出子准则层 8。进而建立层次结构模型。 4.2 利用结构分析法 教几何定理 教学案例：用句子结构分析法教几何定理 几何中的垂径定理及其推论非常相似，只是条件和结论的位置不同而已，往往学生难以区分和辨别。针对这种周惑，可以分析句子结构的方法进行教学，如对句子划分结构成分。 垂径定理：（垂直于弦的）直径平分弦平分（这条弦所对的）两条弧。因此定理精简到主谓宾成分为“直径平分弦和弧”，这样便于记忆条件和结论。 再如：在推论中，（平分弦的）直径垂直于这条弦且平分（这条弦所对的）两条弧，精简成：直径垂直弦且平分两条弧。 推论中的条件和结论也容易记忆了。通过这种分析句子结构的方法，学 生更容易理解和区分垂径定理和推论，从而更容易记忆和运用于解题中 9。 结构分析法在解题中的应用研究 12 5 进一步思考 5.1 何时应用结构分析法 当问题较为复杂，无法及时解答。此时观察题目结构，分析其元素之间的联系，再联想到结构分析法的三个性质，用合适的性质进行解答。 结构分析法中特征性的应用是最易判别的。它取决于给题目中元素的位置、特殊结构及数值。此性质的应用较易，可直接观察判断；结构分析法的差异性，多运用于证明题。观察、分析其所给条件和结论的目标差，从条件和结论同时入手，不断转化目标差，最终解决问题；而结构分析法的层次性，多用于解 决数学综合题。一般将系统要素的各个之间的关系作为第一个层次的结构，第二个层次的结构是不同子系统之间纵、横联系的沟通，由此从已知量引向待求量。 5.2 应用时的注意事项 数学结构决定着解题的方法，数学结构蕴含着解题方法，数学结构提示着解题方法：数学结构的多样性决定着解题方法的多样性；数学结构的特殊性决定着解题方法的特殊性。因此做题时要根据所给题目的结构来决定用哪个性质解题更为简便。 例如：应用结构分析法层次性解答数学题时，应对系统所涉及的各个因素作出详细的分析，研究它们之间的关系。同时必须注意系统的层次结构应满 足内部独立的递阶层次要求，还要注意它们之间是否是线性关系，否则不能用层次分析法。 昌吉学院 2013届本科毕业论 文（设计 ） 13 结 论 通过以上示例我们不难看出在中学数学的各个领域中到处都蕴含着结构的思想与方法。因此在数学问题的解决及课堂教学中只要我们善于抓住数学结构这一根本去进行分析、转化、联想、构造，解题途径便有规律可循，自然可做到游刃有余、轻松自如。最后需要指出的是，引领学生运用结构思想去解数学题还能培养学生善于从多个侧面、多个角度、多个层次去研究事物之间的联系。这样便容易从传统思维的模式进入发散性思维的模式。因此，还 可以达到培养发散性思维能力的目的。 结构的思想与方法它不仅是一