高考数学复习 第八章 第七节 空间角与距离课件 理.ppt

第七节空间角与距离 方法1空间角1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 0 a b cos a b 2 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则sin cos a n n1 n2 知识点二空间中的距离1 两点间的距离 即两点间连线的长度 可以建立坐标系 写出两点的坐标 由两点间的距离公式求出 也可以转化为与之相等的线段的长度 借助图形求解 2 点与线间的距离 点与面间的距离 由点向直线 平面 作垂线 点与垂足间的距离即垂线段长度 就是点到线 面 的距离 一般转化为两点间的距离来求 3 线面间的距离 一直线与一平面平行 直线上任意一点到平面的距离 就是直线到平面的距离 可以转化为 间的距离求解 4 两平面间的距离 两平面平行时 其中一个平面内的一点到另一个平面的距离就是两平面间的距离 一般都通过转化成前几种距离来求解 线与线 点与线 点与点 名师助学 1 本部分知识可以归纳为 1 三个范围 两异面直线所成角的范围 0 90 直线与平面所成角的范围是 0 90 二面角的范围 0 180 2 五种策略 求解空间距离的五种策略 两点之间的距离一般利用三角形求出或用两点的坐标计算 点到直线的距离一般用三垂线定理作出 线线的距离一般转化为点到直线的距离 点到面的距离 一般用转化法或等积法 线面距离或面面距离通常转化为点面距离 然后再进行转化处理 2 利用空间向量求空间角 避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦 使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化 简单化 主要是建系 设点 计算向量的坐标 利用数量积的夹角公式计算 方法1直线与平面所成的角利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 锐角或直角时 或其补角 钝角时 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角 取其余角就是斜线与平面所成的角 例1 2014 福州模拟 如图 四面体abcd中 ab bc bd两两垂直 ab bc bd 4 e f分别为棱bc ad的中点 1 求异面直线ab与ef所成角的余弦值 2 求点e到平面acd的距离 3 求ef与平面acd所成角的正弦值 解题指导 1 已知 四面体abcd ab bc bd两两垂直 ab bc bd 4 e f为bc ad的中点 2 分析 本题考查两条异面直线所成的角 点到平面的距离 直线与平面所成的角 解题的关键是建立适当的空间直角坐标系 确定点及向量的坐标进行计算 点评 求各种角的方法一般都是先确定两个向量 方向向量或者法向量 求这两个向量夹角的余弦值 注意确定所求夹角与向量夹角的关系 最后得到所求的角或角的三角函数值 方法2求二面角求二面角的大小关键是作出二面角的平面角 作二面角的平面角的方法 作法一 定义法 在二面角的棱上找一特殊点 过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 1 aob为二面角 a 的平面角 作法二 垂面法 过棱上一点作棱的垂直平面 该平面与二面角的两个半平面产生交线 这两条交线所成的角 即为二面角的平面角 如图 2 aob为二面角 l 的平面角 作法三 垂线法 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线 过垂足作棱的垂线 利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图 3 abo为二面角 l 的平面角 点评