高中数学 412 圆的一般方程课件 新人教A版必修2.ppt

4 1 2圆的一般方程 1 方程x2 y2 dx ey f 0当且仅当时表示圆 其圆心为 半径为 此方程称为圆的一般方程 若二元二次方程ax2 bxy cx2 dx ey f 0表示圆则应满足 2 已知圆的方程为x2 y2 6x 4y 12 0 则圆心为 半径为 3 方程 x 1 2 y 1 2 0表示 d2 e2 4f 0 b 0 a c 0 d2 e2 4af 0 3 2 r 1 一个点 1 1 4 如果x2 y2 2x y k 0是圆的方程 则实数k的取值范围是 答案 b 解析 方程表示圆 本节学习重点 由圆的一般方程求圆心和半径及一般二元二次方程表示圆的条件 本节学习难点 据所给条件 求圆的方程 圆的方程两种形式的选择 与圆心 半径有直接关系时用标准形式 无直接关系 如圆经过若干定点 选用一般式 点p x0 y0 与圆x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 的位置关系是 例1 将下列圆的方程化为标准方程 并求出圆心和半径 1 x2 y2 2x 4y 4 0 2 2x2 2y2 8x 12y 23 0 解析 1 配方化为 x 1 2 y 2 2 1 圆心 1 2 半径r 1 已知方程x2 y2 2 m 1 x 4my 6m2 4m 1 0表示圆 1 m的取值范围为 2 圆心的轨迹方程为 答案 1 0 2 2 2x y 2 0 10 0 m 2 例2 1 已知圆经过a 2 3 和b 2 5 若圆心在直线x 2y 3 0上 求圆的方程 2 求过点a 1 0 b 3 0 和c 0 1 的圆的方程 分析 由题设三个条件 可利用待定系数法求方程 也可利用弦的中垂线过圆心 先确定圆心 再求圆的半径 解析 1 解法1 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 则 解法3 线段ab中垂线的方程为2x y 4 0 它与直线x 2y 3 0的交点 1 2 为圆心 由两点间距离得r2 10 圆的方程为 x 1 2 y 2 2 10 2 解法1 设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 把a b c三点坐标代入方程 得 解法2 线段ab的中垂线方程为x 1 线段ac的中垂线方程为x y 0 总结评述 1 第 1 题中 容易发现 利用圆的性质的解法3比用待定系数法的解法1和解法2计算量小 充分利用圆的性质可简化解题过程 2 用待定系数法求圆的方程时 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题 一般采用圆的标准方程 求出a b r即可 如果给出圆上三个点坐标或已知条件与圆心或半径都无直接关系 一般采用一般方程 求出d e f即可 过三点a 0 5 b 1 2 c 3 4 的圆的方程为 答案 x2 y2 6x 2y 15 0 解析 设所求圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 三点a b c在圆上 例3 自圆x2 y2 4上的点a 2 0 引此圆的弦ab 求弦ab的中点轨迹方程 2x 2 2 2y 2 4 即 x 1 2 y2 1 当a b重合时 p与a点重合 不合题意 所求轨迹方程为 x 1 2 y2 1 x 2 点评 如果动点p与q满足某种关系 p在已知曲线c上运动 求q点的轨迹方程 可设q x y 结合所给条件 将p点坐标 x y 用x y表示出来 利用p在c上 将p点坐标代入c的方程 即得x y满足的关系式 如图所示 经过圆x2 y2 4上任一点p作x轴的垂线 垂足为q 线段pq中点的轨迹方程为 答案 x2 4y2 4 解析 设m x y pq x轴 且m为pq的中点 p x 2y 点p在圆x2 y2 4上 x2 4y2 4为所求的轨迹方程 例4 自点a 1 4 作圆 x 2 2 y 3 2 1的切线 则切线长等于 点p x0 y0 在圆c外 圆c方程 x a 2 y b 2 r2 则由p引圆c的切线长为 点p x0 y0 在 c外 圆c方程为x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则由p点引圆c的切线长为 一 选择题1 经过圆x2 2x y2 0的圆心c 且与直线x y 0垂直的直线方程是 a x y 1 0b x y 1 0c x y 1 0d x y 1 0 答案 c 解析 所求直线过圆x2 2x y2 0的圆心c 1 0 且斜率为1 所求直线方程为x y 1 0 2 若方程x2 y2 1 x 2 y 0表示圆 则 的取值范围是 答案 c 3 过三点a 1 5 b 5 5 c 6 2 的圆的方程是 a x2 y2 4x 2y 20 0b x2 y2 4x 2y 20 0c x2 y2 4x 2y 20 0d x2 y2 4x 4