高三数学一轮复习 8.9直线与圆锥曲线的位置关系课件 .ppt

第九节直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 1 代数法 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y 整理得到关于x的方程ax2 bx c 0 无公共点 一个交点 不等 两个交点 一个交点 无交点 2 几何法 在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线 利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系 2 直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线c相交于a b两点 a x1 y1 b x2 y2 则 ab y1 y2 考点自测 1 思考 给出下列命题 直线l与椭圆c相切的充要条件是 直线l与椭圆c只有一个公共点 直线l与双曲线c相切的充要条件是 直线l与双曲线c只有一个公共点 直线l与抛物线c相切的充要条件是 直线l与抛物线c只有一个公共点 如果直线x ty a与圆锥曲线相交于a x1 y1 b x2 y2 两点 则弦长 ab y1 y2 若抛物线c上存在关于直线l对称的两点 则需满足直线l与抛物线c的方程联立消元得到的一元二次方程的判别式 0 其中正确的是 a b c d 解析 选c 正确 直线l与椭圆c只有一个公共点 则直线l与椭圆c相切 反之亦成立 错误 因为直线l与双曲线c的渐近线平行时 也只有一个公共点 是相交 但并不相切 错误 因为直线l与抛物线c的对称轴平行时 也只有一个公共点 是相交 但不相切 正确 ab 又x1 ty1 a x2 ty2 a 所以 ab 错误 应是以l为垂直平分线的线段ab所在的直线l 与抛物线方程联立 消元后所得一元二次方程的判别式 0 2 过点 0 1 作直线 使它与抛物线y2 4x仅有一个公共点 这样的直线有 a 1条b 2条c 3条d 4条 解析 选c 与抛物线相切有2条 与对称轴平行有1条 共3条 3 已知抛物线c的方程为x2 y 过a 0 1 b t 3 两点的直线与抛物线c没有公共点 则实数t的取值范围是 a 1 1 c 2 2 d 解析 选d 当t 0时 直线ab的方程为y x 1 与抛物线方程x2 y联立得由于直线ab与抛物线c没有公共点 所以 2 0 解得当t 0时 ab的方程为x 0 该直线ab与抛物线x2 y有一个交点 0 0 不合题意 综合可知 4 若不论k为何值 直线y k x 2 b与曲线x2 y2 1总有公共点 则b的取值范围是 c 2 2 d 2 2 解析 选b 把y k x 2 b代入x2 y2 1得x2 k x 2 b 2 1 4k2 2k b 2 4 1 k2 2k b 2 1 4 1 k2 4 2k b 2 4 3k2 4bk b2 1 不论k取何值 0 则1 0 所以 1 所以b2 3 则 5 已知斜率为1的直线过椭圆 y2 1的右焦点交椭圆于a b两点 则弦ab的长为 解析 右焦点 0 直线ab的方程为y x 由得5x2 8x 8 0 设a x1 y1 b x2 y2 则答案 6 椭圆 m 0 与直线x 2y 2 0有两个不同的交点 则m的取值范围是 解析 由消去x并整理得 3 4m y2 8my m 0 根据条件得解得3 答案 3 考点1直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用 典例1 1 过抛物线y2 2x的焦点作一条直线与抛物线交于a b两点 它们的横坐标之和等于2 则这样的直线 a 有且只有一条b 有且只有两条c 有且只有三条d 有且只有四条 2 2013 浙江高考 如图 点p 0 1 是椭圆c1 a b 0 的一个顶点 c1的长轴是圆c2 x2 y2 4的直径 l1 l2是过点p且互相垂直的两条直线 其中l1交圆c2于a b两点 l2交椭圆于另一点d 求椭圆c1的方程 求 abd面积取最大值时直线l1的方程 解题视点 1 由于过焦点垂直于轴的弦只有一条 且此时弦长最小 因此只需看该弦与弦ab的关系即可 2 由长轴可求a值 由点p可求b值 先确定 abd的底与高 再得出面积的解析式 利用基本不等式求最值 规范解答 1 选b 设该抛物线焦点为f a xa ya b xb yb 则 ab af fb xa xb xa xb 1 3 2p 2 所以符合条件的直线有且只有两条 2 由题意得 a 2 b 1 所以椭圆c1的方程为 y2 1 设a x1 y1 b x2 y2 d x0 y0 由题意知 直线l1的斜率存在 不妨设其为k 则直线l1的方程为 y kx 1 又圆c2 x2 y2 4 故点o到直线l1的距离所以 ab 又l2 l1 故直线l2的方程为 x ky k 0 由消去y 整理得 4 k2 x2 8kx 0 故x0 所以 pd 设 abd的面积为s 则s ab pd 所以s 当且仅当k 时取等号 所以所求l1的方程为y x 1 互动探究 本例 1 中的 横坐标之和等于2 改为 横坐标之和等于1 结果如何 若改为 横坐标之和等于0 5 结果如何 解析 若改为 横坐标之和等于1 设该抛物线焦点为f a xa ya b xb yb 则 ab af fb xa xb xa xb 1 2 2p 2 所以符合条件的直线有且只有一条 若改为 横坐标之和等于0 5 设该抛物线焦点为f a xa ya b xb yb 则 ab af fb xa xb xa xb 1 1 5 2p 2 所以没有符合条件的直线 易错警示 注意k的取值解答本例第 2 题求k的值时 容易漏掉一个值导致错解 在解关于斜率k的问题时 要注意k的取值及是否存在等情况 规律方法 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点 1 判定方法 直线与圆锥曲线方程联立 消去x 或y 判定该方程组解的个数 方程组有几组解 直线与圆锥曲线就有几个交点 2 关注点 联立直线与圆锥曲线的方程消元后 应注意讨论二次项系数是否为零的情况 判断直线与圆锥曲线位置关系时 判别式 起着关键性的作用 第一 可以限定所给参数的范围 第二 可以取舍某些解以免产生增根 变式训练 1 2014 遵义模拟 已知以f1 2 0 f2 2 0 为焦点的椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个交点 则椭圆的长轴长为 解析 选c 根据题意设椭圆方程为 b 0 则将x y 4代入椭圆方程 得4 b2 1 y2 8b2y b4 12b2 0 因为椭圆与直线x y 4 0有且仅有一个交点 所以 8b2 2 4 4 b2 1 b4 12b2 0 即 b2 4 b2 3 0 所以b2 3 长轴长为 2 已知曲线 a b 0 且a b 与直线x y 1 0相交于p q两点 且 o为原点 则的值为 解析 将y 1 x代入得 b a x2 2ax a ab 0 设p x1 y1 q x2 y2 则 x1x2 y1y2 x1x2 1 x1 1 x2 2x1x2 x1 x2 1 所以即2a 2ab 2a a b 0 即b a 2ab 所以答案 2 加固训练 1 2013 嘉定模拟 过点p 1 1 作直线与双曲线交于a b两点 使点p为ab中点 则这样的直线 a 存在一条 且方程为2x y 1 0b 存在无数条c 存在两条 方程为2x y 1 0d 不存在 解析 选d 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 2 y1 y2 2 则两式相减得 x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 所以x1 x2 y1 y2 即kab 2 故所求直线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 联立可得2x2 4x 3 0 但此方程没有实数解 故这样的直线不存在 2 2013 焦作模拟 已知椭圆c1 00 的焦点是椭圆的顶点 1 求抛物线c2的方程 2 过点m 1 0 的直线l与抛物线c2交于e f两点 过e f作抛物线c2的切线l1 l2 当l1 l2时 求直线l的方程 解析 1 因为椭圆c1的长半轴长a 2 半焦距由得b2 1 所以椭圆c1的上顶点为 0 1 所以抛物线c2的焦点为 0 1 所以抛物线c2的方程为x2 4y 2 由已知可得直线l的斜率必存在 设直线l的方程为y k x 1 e x1 y1 f x2 y2 由x2 4y 得y x2 所以y x 所以切线l1 l2的斜率分别为x1 x2 当l1 l2时 x1 x2 1 即x1x2 4 由得x2 4kx 4k 0 所以 4k 2 4 4k 0 解得k0 x1x2 4k 4 即k 1 满足 式 所以直线l的方程为x y 1 0 考点2与弦长 弦中点及弦端点相关的问题 典例2 1 2014 舟山模拟 直线4kx 4y k 0与抛物线y2 x交于a b两点 若 ab 4 则弦ab的中点到直线x 0的距离等于 a b 2c d 4 2 2013 天津高考 设椭圆 a b 0 的左焦点为f 离心率为过点f且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 求椭圆的方程 设a b分别为椭圆的左 右顶点 过点f且斜率为k的直线与椭圆交于c d两点 若 8 求k的值 解题视点 1 首先判断出直线过抛物线的焦点 再根据 ab 4求解 2 由离心率可求得a c之间的关系式 再利用线段的长即可求出椭圆方程 可将直线方程与椭圆方程联立 得出c d两点坐标之间的关系 再利用题设中向量等式即可求出k值 规范解答 1 选c 直线4kx 4y k 0 即y k即直线4kx 4y k 0过抛物线y2 x的焦点设a x1 y1 b x2 y2 则 ab x1 x2 4 故x1 x2 则弦ab的中点的横坐标是 弦ab的中点到直线x 0的距离是 2 设f c 0 由过点f且与x轴垂直的直线为x c 代入椭圆的方程有于是又a2 c2 b2 从而a c 1 所以所求椭圆的方程为 设点c x1 y1 d x2 y2 由f 1 0 得直线cd的方程为y k x 1 由方程组消去y 整理得 2 3k2 x2 6k2x 3k2 6 0 可得因为a 0 b 0 所以 6 2x1x2 2y1y2 6 2x1x2 2k2 x1 1 x2 1 6 2 2k2 x1x2 2k2 x1 x2 2k2 6 由已知得6 8 解得k 规律方法 1 弦长的计算方法与技巧求弦长时可利用弦长公式 根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程 利用根与系数的关系得到两根之和 两根之积的代数式 然后进行整体代入弦长公式求解 提醒 注意两种特殊情况 1 直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直 2 直线过圆锥曲线的焦点 2 弦中点问题的解法点差法在解决有关弦中点 弦所在直线的斜率 弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算 但要注意直线斜率是否存在 3 与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系 位置关系等问题的一般方法 就是将其转化为端点的坐标关系 再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系 构建方程 组 求解 变式训练 已知椭圆c a b 0 直线y x 与以原点为圆心 以椭圆c的短半轴长为半径的圆相切 f1 f2为其左 右焦点 p为椭圆c上任意一点 f1pf2的重心为g 内心为i 且ig f1f2 1 求椭圆c的方程 2 若直线l y kx m k 0 与椭圆c交于不同的两点a b 且线段ab的垂直平分线过定点求实数k的取值范围 解析 1 设p x0 y0 x0 a 则又设i xi yi 因为ig f1f2 所以yi 因为 f1f2 2c 所以 f1f2 y0 pf1 pf2 f1f2 所以2c 3 2a 2c 所以又由题意知所以b 所以a 2 所以椭圆c的方程为 2 设a x1 y1 b x2 y2 由消去y 得 3 4k2 x2 8kmx 4m2 12 0 由题意知 8km 2 4 3 4k2 4m2 12 0 即m2 4k2 3 又x1 x2 则y1 y2 所以线段ab的中点p的坐标为又线段ab的垂直平分线l 的方程为点p在直线l 上 所以 所以4k2 6km 3 0 所以m 4k2 3 所以解得所以k的取值范围是 加固训练 1 过抛物线y2 2px p 0 焦点的直线与抛物线交于a b两点 ab 3 且ab中点的纵坐标为 则p的值为 解析 设直线方程为x my 代入抛物线方程得y2 2mpy p2 0 设a xa ya b xb yb 则又 ab 即解得答案 2 椭圆ax2 by2 1与直线x y 1 0相交于a b两点 c是线段ab的中点 若 ab 2 直线oc的斜率为求椭圆的方程 解析 设a x1 y1 b x2 y2 代入椭圆的方程并作差 得a x1 x2 x1 x2 b y1 y2 y1 y2 0 而代入上式可得b a 联立得 a b x2 2bx b 1 0 所以又 ab x2 x1 2 即 x2 x1 2 则 x2 x1 2 将b a代入 得此时 2b 2 4 a b b 1 4 a b ab 4 0 所以所求椭圆的方程是 考点3探究性 存在性问题 考情 探究性 存在性问题是高考在解析几何中命题的一大亮点 主要是以解答题的形式出现 考查直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线的几何性质 考查学生的运算能力以及分析问题 解决问题的能力 高频考点通关 典例3 1 2014 金华模拟 已知椭圆的两个焦点f1 0 f2 0 过f1且与坐标轴不平行的直线l1与椭圆相交于m n两点 mnf2的周长等于8 若过点 1 0 的直线l与椭圆交于不同两点p q x轴上存在定点e m 0 使恒为定值 则e的坐标为 2 2013 湖北高考 如图 已知椭圆c1与c2的中心为坐标原点o 长轴均为mn且在x轴上 短轴长分别为2m 2n m n 过原点且不与x轴重合的直线l与c1 c2的四个交点按纵坐标从大到小依次为a b c d 记 bdm和 abn的面积分别为s1和s2 当直线l与y轴重合时 若s1 s2 求 的值 当 变化时 是否存在与坐标轴不重合的直线l 使得s1 s2 并说明理由 解题视点 1 先确定椭圆的方程 再取两个特殊位置 求出 利用x轴上存在定点e m 0 使恒为定值 即可求得e的坐标 2 由s1 s2列出方程解出 的值 验证 1得 的值 先假设存在 看是否能求出符合条件的 如果推出矛盾就是不存在 规范解答 1 选c 由题意 设椭圆的方程为 a b 0 则c 4a 8 所以a 2 b 1 所以椭圆的方程为 y2 1 取直线l x轴 则可得所以取直线l为x轴 则可得p 2 0 q 2 0 所以 m 2 0 m 2 0 m2 4 由题意可得 m 1 2 m2 4 所以m 所以e的坐标为 2 依题意可设椭圆c1和c2的方程分别为其中a m n 0 1 方法一 如图1 若直线l与y轴重合 即直线l的方程为x 0 则s1 bd om a bd s2 ab on a ab 所以 在c1和c2的方程中分别令x 0 可得ya m yb n yd m 于是若化简得 2 2 1 0 由 1 可解得 1 故当直线l与y轴重合时 若s1 s2 则 1 方法二 如图1 若直线l与y轴重合 则 bd ob od m n ab oa ob m n s1 bd om a bd s2 ab on a ab 所以若化简得 2 2 1 0 由 1 可解得 1 故当直线l与y轴重合时 若s1 s2 则 1 方法一 若存在与坐标轴不重合的直线l 使得s1 s2 根据对称性 不妨设直线l y kx k 0 点m a 0 n a 0 到直线l的距离分别为d1 d2 则因为所以d1 d2 又s1 bd d1 s2 ab d2 所以 即 bd ab 由对称性可知 ab cd 所以 bc bd ab 1 ab ad bd ab 1 ab 于是 将l的方程分别与c1 c2的方程联立 可求得根据对称性可知xc xb xd xa 于是从而由 和 式可得 令t 则由m n 可得t 1 于是由 可解得k2 因为k 0 所以k2 0 于是 式关于k有解 当且仅当等价于 t2 1 1 可解得1 解得 1 所以当11 时 存在与坐标轴不重合的直线l 使得s1 s2 方法二 若存在与坐标轴不重合的直线l 使得s1 s2 根据对称性 不妨设直线l y kx k 0 点m a 0 n a 0 到直线l的距离分别为d1 d2 则因为所以d1 d2 又s1 bd d1 s2 ab d2 所以因为由点a xa kxa b xb kxb 分别在c1 c2上 可得两式相减可得依题意xa xb 0 所以 所以由上式解得k2 因为k2 0 所以有 0 可解得11 所以当11 时 存在与坐标轴不重合的直线l 使得s1 s2 通关锦囊 特别提醒 解决探究性 存在性问题时 一定要注意验证特殊情况下是否适合 关注题型 通关题组 1 2013 江西高考 如图 椭圆c a b 0 经过点p 1 离心率e 直线l的方程为x 4 1 求椭圆c的方程 2 ab是经过右焦点f的任一弦 不经过点p 设直线ab与直线l相交于点m 记pa pb pm的斜率分别为k1 k2 k3 问 是否存在常数 使得k1 k2 k3 若存在 求 的值 若不存在 说明理由 解析 1 由在椭圆上得 依题设知a 2c 则a2 4c2 b2 3c2 将 代入 得c2 1 a2 4 b2 3 故椭圆c的方程为 2 方法一 由题意可设ab的斜率为k 则直线ab的方程为y k x 1 代入椭圆方程并整理得 4k2 3 x2 8k2x 4 k2 3 0 设a x1 y1 b x2 y2 则有x1 x2 x1x2 在方程 中令x 4 得m 4 3k 注意到a f b三点共线 则有k kaf kbf 即所以 将 代入 得k1 k2 2k 2k 1 又k3 k 所以k1 k2 2k3 故存在常数 2符合题意 方法二 设b x0 y0 x0 1 则直线fb的方程为 令x 4 求得从而直线pm的斜率为联立 则直线pa的斜率为直线pb的斜率为所以故存在常数 2符合题意 2 2014 绍兴模拟 在平面直角坐标系xoy中 过定点c 0 p 作直线与抛物线x2 2py p 0 相交于a b两点 1 若点n是点c关于坐标原点o的对称点 求 anb面积的最小值 2 是否存在垂直于y轴的直线l 使得l被以ac为直径的圆截得的弦长恒为定值 若存在 求出l的方程 若不存在 说明理由 解析 方法一 1 依题意 点n的坐标为n 0 p 可设a x1 y1 b x2 y2 直线ab的方程为y kx p 与x2 2py联立得消去y得x2 2pkx 2p2 0 由根与系数的关系得x1 x2 2pk x1x2 2p2 于是s anb s bcn s acn 2p x1 x2 p x1 x2 所以当k 0时 s abn min 2p2 2 假设满足条件的直线l存在 其方程为y a 设ac的中点为o l与ac为直径的圆相交于点p q pq的中点为h 则o h pq o 点的坐标为因为 o p ac o h 所以 ph 2 o p 2 o h 2 y12 p2 2a y1 p 2 y1 a p a 所以 pq 2 2 ph 2 令a 0 得a 此时 pq p为定值 故满足条件的直线l存在 其方程为y 即抛物线的通径所在的直线 方法二 1 前同方法一 再由弦长公式得又由点n到直线的距离公式得从而s abn d ab 2p所以当k 0时 s abn min 2p2 2 假设满足条件的直线l存在 其方程为y a 则以ac为直径的圆的方程为 x 0 x x1 y p y y1 0 将直线方程y a代入得x2 x1x a p a y1 0 则 x12 4 a p a y1 4 0 设直线l与以ac为直径的圆的交点为p x3 y3 q x4 y4 则有 pq x3 x4 令a 0 得a 此时 pq p为定值 故满足条件的直线l存在 其方程为y 即抛物线的通径所在的直线 加固训练 1 2014 杭州模拟 已知抛物线c x2 2py p 0 的顶点在原点 焦点为f 0 1 1 求p的值 2 在抛物线c上是否存在点p 使得过点p的直线交c于另一点q 满足pf qf 且pq与c在点p处的切线垂直 若存在 求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 由抛物线的方程为x2 2py p 0 则 1 即p 2 2 设p x1 y1 q x2 y2 则抛物线c在点p处的切线方程是 x1x2 y1 1 y2 1 x1x2 y1y2 y1 y2 1 4 2 y1 y1 y1 4 2y1 4 1 y12 2y1 7 y12 2y1 1 4 y1 2 故y1 4 此时 点p的坐标是 4 4 经检验 符合题意 所以 满足条件的点p存在 其坐标为p 4 4 2 2014 长春模拟 在平面直角坐标系xoy中 抛物线y x2上异于坐标原点o的两不同动点a b满足ao bo 如图所示 1 求 aob的重心g 即三角形三条中线的交点 的轨迹方程 2 aob的面积是否存在最小值 若存在 请求出最小值 若不存在 请说明理由 解析 1 设 aob的重心为g x y a x1 y1 b x2 y2 则因为oa ob 所以koa kob 1 即x1x2 y1y2 0 又点a b在抛物线上 有y1 x12 y2 x22 2 s aob oa ob 当且仅当x12 x22 即x1 x2 1时 等号成立 所以 aob的面积存在最小值 且最小值为1 3 2013 淄博模拟 已知椭圆c a 的右焦点f在圆d x 2 2 y2 1上 直线l x my 3 m 0 交椭圆于m n两点 1 求椭圆c的方程 2 若 o为坐标原点 求m的值 3 若点p的坐标是 4 0 试问 pmn的面积是否存在最大值 若存在 求出这个最大值 若不存在 请说明理由 解析 1 由圆d x 2 2 y2 1可得 圆心 2 0 半径r 1 令y 0得 x 2 2 1 解得x 3或1 所以椭圆的半焦距c 3或1 但是当c 1时 故舍去 所以c 3 a2 b2 c2 3 32 12 故椭圆的方程为 2 设m x1 y1 n x2 y2 联立化为 m2 4 y2 6my 3 0 3 因为直线l过椭圆的右焦点f 3 0 所以s pmn fp y1 y2 因为 fp 4 3 1 当且仅当m2 1 3 即m 时等号成立 故 pmn的面积存在最大值1 规范解答14 直线与圆锥曲线的综合问题 典例 14分 2013 山东高考 椭圆c a b 0 的左 右焦点分别是f1 f2 离心率为过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1 1 求椭圆c的方程 2 点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点 连接pf1 pf2 设 f1pf2的平分线pm交c的长轴于点m m 0 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点p作斜率为k的直线l 使得l与椭圆c有且只有一个公共点 设直线pf1 pf2的斜率分别为k1 k2 若k 0 试证明为定值 并求出这个定值 审题 分析信息 形成思路 解题 规范步骤 水到渠成 1 由于c2 a2 b2 将x c代入椭圆方程 2分 2 设p x0 y0 y0 0 由题意知 m到直线pf1 pf2的距离相等 所以 4分由