（电磁场与微波技术专业论文）有限元边界积分混合方法在电磁散射问题中的应用.pdf

摘要 有限元法特别适合于解决具有非均匀媒质的复杂几何结构的电磁问题。在电磁学 领域内，有限元法己广泛用于解决辐射、散射、波导传输及谐振腔等问题。由于对许 多目标的电磁现象的辐射及散射分析都涉及到无限区域，有限元方法需要在离开目标 物体一段距离的地方设置吸收边界条件，这就自然增加了计算量。而基于积分方程的 边界积分方法尽管可以直接分析目标问题，但其不利的一面是产生的矩阵是一个满 阵，因此受到计算机内存的限制，只适合于分析电小尺寸问题。为了避开这两种方法 的不利一面同时保留其优点，发展了一种混合算法：有限元一边界积分混合方法 ( f e b i ) 。该方法的基本原理是引入一个包围所研究目标的虚构边界，在虚构边界内 部用有限元方法来分析，在边界上用边界元来处理。这两个区域中的场在虚构边界上 通过场的连续性耦合起来，从而得到一个内部和边界场解的耦合方程组。 推导了基于四面体剖分的矢量基函数的有限元公式，编写了有限元程序，并用该 程序计算了波导以及传输线内的场，程序计算结果与数值结果吻合良好。根据有限元 一边界积分混合方法的原理，推导了有限元一边晃积分混合方法的公式，其中内部区 域采用基于四面体剖分的矢量基函数，边界部分采用的三角形剖分的r w g 基函数。 根据这些公式编写了程序，应用该程序计算了三维目标的电磁散射问题，程序计算结 果与传统矩量法和有限元法计算结果吻合良好。 关键词：有限元法有限元一边界积分混合法电磁散射 a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t i l o d ( f e m ) s u i t ss p e c i a l l yt os o l v et h ee l e c t r o m a g n e t i c p r o b l e m so ft h es t r u c t u r e sc o n s i s t i n go fa l li n h o m o g e n e o u sd i e l e c t r i cb o d yo fa r b i t r a r y s h a p e i nt h ee l e c t r o m a g n e t i cd o m a i n ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dh a sw i d e l yu s e di ns o l v i n g p r o b l e m ss u c h 笛r a d i a t i o n ，s c a t t e r i n g ，w a v eg u i d et r a n s m i s s i o na n dr e s o n a n tc a v i t y p r o b l e m s i n c et h ee l e c t r o m a g n e t i cr a d i a t i o na n ds c a t t e r i n ga n a l y s i so fm a n yp r o b l e m si s i no p e ns p a c e ，t h ea b s o r b i n gb o u n d a r ye l e m e n t sa tt h eo u t e rs u r f a c eo ft h em e s h e dr e g i o n m u s tb ee m p l o y e dw h e nt h ef i n i t ee l e m e mm e t h o di su s e d , t h u st h ec o m p u t a t i o nb u r d e ni s i n c r e 觞e do u to fq u e s t i o n a l t h o u g ht h eb o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o db a s e do nt h ei n t e g r a l e q u a t i o ni sv e r ye f f i c i e n ta ts o l v i n gt h eo p e nr a d i a t i o np r o b l e m s ，t h em a t r i xg a i n e db yt h i s m e t h o di sf u l la n dr e q u i r e st o om u c hm e m o r y s ot h eb o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o di so n l y s u i t a b l et os o l v et h ep r o b l e mo ft h ee l e c t r i c a l l ys m a l lo b j e c t t ot a k ea d v a n t a g et h e s t r e n g t h so f t h eb o t hm e t h o d sa n da v o i dt h e i rd i s a d v a n t a g e s ，ah y b r i dm e t h o di sp r e s e n t e d , v i z t h eh y 蜥df i n i t ee l e m e n t - b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d t h ep r i n c i p l eo ft h i s h y b r i d m e t h o di st h a tt h ef e mi s e m p l o y e dt oh a n d l et h ei n t e r i o rd o m a i no fb o d i e sa n dt h e b o u n d a r yi n t e g r a t ei su s e dt od e v e l o ps u r f a c ei n t e g r a l st h a tr e l a t et h ef i e l dq u a n t i t i e so n b o u n d a r ys u r f a c e sw i t l lt h ee q u i v a l e n ts u r f a c ec u r r e n t s t h e s ei n t e g r a le q u a t i o n sa r et h e n c o u p l e dt ot h ef i n i t ee l e m e n te q u a t i o n st h r o u g ht h ec o n t i n u i t yo ft h et a n g e n t i a lm a g n e t i c f i e l d sa c r o s st h eh y b r i db o u n d a r i e s b a s e do nt h ee d g e b a s e dv e c t o rb a s i sf u n c t i o n sd e f i n e dw i t h i nt e t r a h e d r o n s ，t h ef i n i t e e l e m e n tf o r m u l a ea r ed e d u c e da n dt h ep r o g r a mi sw r i t t e nt oc o m p u t et h ef i e l d sw i t h i nt h e w a v e g u i d ea n dt r a n s m i s s i o nl i n e t h ec o m p u t e dr e s u l t sa f ei ne x c e l l e n ta g r e e m e n tw i t h t h ee x a c ts o l u t i o n s t h e n , b a s e do nt h ep r i n c i p l eo ft h eh y b r i df i n i t ee l e m e n t - b o u n d a r y i n t e g r a lm e t h o d ，t h ef o r m u l a eo f t h i sh y b r i dm e t h o da r ed e d u c e d i nt h ei n t e r i o rr e g i o nt h e e d g e b a s e dv e c t o rf i n i t ee l e m e n t sa r eu s e da n do nt h es u r f a c et h er w g b a s i sf u n c t i o n sa r e u s e d b a s e do nt h e s ef o r m u l a e ，a n o t h e rp r o g r a mi sa l s ow r i t t e n t h ee l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n gp r o g r a m so ft h et h r e e d i m e n s i o n a lo b j e c t sa r ec o m p u t e du s i n g0 1 1 1 h y b r i d m e t h o dp r o g r a ma n dt h ec o m p u t e dr e s u l t sa g r e ew e l lw i t l lt h er e s u l t sc o m p u t e db yt h e m o m e n tm e t h o da n dt h ef m i t ee l e m e n tm e t h o d k e yw o r d s ：f i n i t e e l e m e n t m e t h o d ，f i n i t ee l e m e n t b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d ， e l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n g 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学分和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了 明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名：肇丝 日期垒堕芝 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权 保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证， 毕业后结合学位论文研究课题再攥写的文章一律署名单位为西安电子科技大 学。 本人签名： 导师签名： 日期丝墨堡 日期9 越4 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 随着计算机技术的发展，电磁场数值计算技术日益成为应用电磁学领域内的 一个研究热点。一些复杂的电磁学问题都可以应用数值方法来求解。常用的数值 方法有有限元方法( f e m ) 【l 】，时域有限差分方法( f d t d i ) 1 2 】，矩量法( 1 v i o m ) 1 3 l 等。 矩量法是一种非常成熟而且也非常可靠的计算方法，对于一般问题其计算精 度很高，也能够分析计算任意复杂结构的散射及辐射问题。由于计算量和计算机 内存的限制都使得矩量法仅限于分析电小尺寸的问题。时域有限差分法是时域方 法，所以适合于分析宽带问题。因为剖分网格不能是任意形状网格，所以该方法 在分析非规则结构的目标时会受到限制，此时因为剖分误差会引起计算结果的准 确度不高。有限元法可以用于分析任意复杂结构的电磁问题，如天线，微波电路， 散射等。有限元法研究的结构可以是复杂介质材料，因此该方法是一种非常通用 的方法。另外有限元分析过程中产生的矩阵是一个稀疏矩阵，所以在求解矩阵方 程时可以根据稀疏矩阵的特点来求解。 有限元法是基于变分理论的一种方法。微分方程的变分解，即是将微分方程 换成一个等效的变分式然后假定其近似解为已知的近似函数的组合。变分法的缺 点是对于具有任意域的问题难以建立近似函数。有限元法则是将场域划分为许多 小的区域，然后在每个子域运用变分法建立近似函数。由于有限元法提供了推导 近似因数的系统步骤，因此它克服了变分法的困难。 有限元的思想最早由c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出m 】。五十年代初期，由于工程分 析的需要，有限元在复杂的航空结构分析中最先得到应用，而有限元法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) 这个名词则由c l o u g h 于1 9 6 0 年在其著作中首先提出的。1 9 6 5 年， w i n s l o w 首先将有限元法应用于电气工程问题，其后，1 9 6 9 年s i l v e s t c r 将有限元 法推广应用于时谐电磁场问题。发展至今，对于电气工程领域，有限元法己经成 为各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的主导数值计算方法，构成 了各种先进、实用计算包的基础。 由于对许多目标的电磁现象的辐射及散射分析都涉及到无限区域，有限元方 法需要在离开目标物体一段距离的地方设置吸收边界条件，这就自然增加了计算 量。而基于积分方程的矩量法尽管可以直接分析目标问题，但其不利的一面是产 生的矩阵是一个满阵，因此受到计算机内存的限制，所以矩量法只适合于分析电 小尺寸问题。为了避开有限元法和矩量法的不利一面同时保留其优点，研究人员 2 有限元一边界积分混合方法在电磁散射问题中的麻川 在两种方法的基础上发展了一种混合算法：有限元一边界积分混合方法 ( f e b i ) i l “培l 。该方法的基本原理是引入一个包围所研究目标的虚构边界，在虚构 边界内部用有限元方法来分析，在边界上用边界元来处理。这两个区域中的场在 虚构边界上通过场的连续性耦合起来，从而得到一个内部和边界场解的耦合方程 组。f e b i 法以其高效和精确的优势在各种电磁问题中得到了广泛的应用，像背腔 式贴片天线及共形微带天线分析，腔体散射，三维复杂非均匀介质及各向异性介 质电磁分析，等等。对于腔体结构，该方法的优越性更为突出。只需要首先在腔 体的口面引入一个虚构边界，把在腔体口面及腔体外部的电磁问题用积分方程来 描述，并把它作为边界条件，以腔体内部的问题为基础并结合边界条件建立变分 方程，然后根据有限元的分析步骤求解变分方程。有限元一边界积分混合方法分 析复杂结构极具潜力，得到了越来越多的重视。将该方法应用于复杂介质分布目 标的辐射和散射分析是近些年的一个热点，其应用前景被广泛看好。然而，在面 向实际工程应用中还有种种缺陷，有许多问题尚未解决，因此在此领域的研究和 探讨工作有着重要的意义。 1 2 1 国外研究状况 1 2 有限元方法国内外研究现状 有限单元法最初是在二十世纪五十年代作为处理固体力学问题的方法出现 的，“有限单元法”这一名称是克拉夫( c l o u g h ) 在1 9 6 0 年首先引用的，第一个成功 的尝试是对于飞机结构的分析。1 9 5 6 年t u r n e r 、c l o u g h 把刚架位移法( 直接刚度 法) 应用到弹性力学平面应力问题中去，他们把结构划分成一个个三角形和矩形 的“单元”。与矩阵法相同，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示；所不同的是， 矩阵法分析中每一结构构件的力与位移之间的关系是精确推导出来的，而有限单 元法的解则是利用每一单元中近似的位移函数。 1 9 6 3 1 9 6 4 年b e s s e l i n g 、m e l o s h 和j o n e s 等人证明了有限元法是基于变分原 理的里兹( r i t z ) 法的另一种形式，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍 方法，扩大了有限元法的应用范围。 从2 0 世纪6 0 年代后期开始，进一步利用加权余量法，主要是伽辽金( g a l e r k i n ) 法，来确定单元特性和建立有限元求解方程，使之应用于已知问题的微分方程和 边界条件。有些方程的变分形式难以找到，在这种情况下，可以用加权余量法及 有限元法来分析问题。 有限元分析固体力学、流体力学基于不同的力学方程计算节点的位移及应力， 分析电磁场的有限元是基于旋度方程分析研究区域的电磁场，研究问题的具体方 第一章绪论3 程不同，分析的物理量不同，分析计算的具体过程和处理细节也不同，但有限元 方法的主要分析步骤是一样的。即针对具体研究的物理模型写出变分式或残差方 程，划分子区域，选择基函数，计算矩阵元素，建立矩阵方程，求解矩阵方程， 后续数据处理。 在分析三维电磁场问题时，常采用小四面体，小立方体以及小三棱柱来离散 所研究的区域，这其中四面体最适合离散任意形状的几何体。即当采用四面体离 散所研究的区域时离散误差最小，而采用长方体离散时产生的离散误差最大。离 散误差直接影响最终的计算精度。目前国外最常用的剖分方式是采用四面体剖分， 这是因为具体计算表明四面体不但可以灵活剖分研究的目标，其计算结果精度也 比较高。最近发表的高阶有限元的文章1 1 3 , 1 5 】采用曲边三棱柱以及四面体与曲边三 棱柱同时都存在的离散格式，这样做的主要目的是可以减少未知数的个数，计算 精度相差不大。 有限元分析问题时选取基函数首先是以剖分的小几何单元( 四面体或立方体) 为基础来定义的。随着有限元方法的不断发展，用结点基单元来表示矢量电场或 磁场已经越来越表现出其在实际应用中的缺点和不足。首先是由于未强加散度条 件引起的非物理的或伪解【6 】的出现，虽然这个问题可以通过引入罚项【7 】的方法来解 决，但是，它在介质边界面上的连续性条件很难得到满足；其次是在处理导体和介 质边缘及角上的困难【3 】。在这两个问题中，后个问题更为严重，因为它缺少通用 的处理方法。 面对这些问题，人们作了其它的可能性或其它方法的探讨，发现了一种崭新 的方法：矢量基或矢量元( 棱边元) 法。棱边元方法不是将自由度赋予单元结点， 而是赋予棱边。从而将电磁场有限元分析引入一个新地时代。棱边元是对传统结 点元的革新，对描述场的变化和连续性提供了有效的物理框架。w h i t n e y 早在1 9 5 7 年就描述了这些类型的单元，但它们在电磁学中的应用及其重要性直到最近才被 认识到。在上世纪8 0 年代初期，n e d e l e c 讨论了四面体和矩形块棱边元的构造。 b o s s a v i t 和v e r i t e 将四面体棱边元应用于三维涡流问题【期。h a n o 独立地导出了矩 形棱边元，并用于介质加载波导的分析。m u r 和d eh o o p 考虑了非均匀媒质中的电 磁场问题。v a nw e l i j 和k a m e a r i 应用六面体棱边元进一步考虑了棱边元在涡流计 算中的应用。更近，b a r t o n 和c e n d e s 将四面体棱边元用于三维磁场计算【川，同时， c r o w l e y 提出了一种更复杂的单元类型，即所谓的协变( c o v a r i a n t ) 投影单元，它允 许单元带有弯曲的棱边1 3 5 1 在所有以上的工作中，棱边元没有结点元的所有缺点( 9 1 ， 棱边元的重要性很快被认识到了。有趣的是，应该指出：一个具有相似性质的矢 量基函数分别独立地被g l i s s o n 和w i l t o n 、r a o 等以及s c h a u b e r t 等f 3 8 】应用于电磁 散射中电场积分方程地解中。在几乎同一时间，它们第一次被用在有限元解中。 虽然棱边元的引入将带来更多的未知量，但是这被更为稀疏的有限元矩阵所平衡， 4 有限元一边界积分混合方法在电磁散射问题中的席川 因此它与结点元法相比，在给定精度条件下，其计算时白j 将小的多。为了提高计 算精度并减少内存需求，近年来人们开始研究高阶有限元的应用。高阶有限元从 两方面考虑，一是上边提到的曲边剖分几何单元，二是基函数是高阶函数形式l l ”。 近些年来，有限元算法和应用两方面都在不断地发展中。这其中包括( 1 ) 新的 吸收边界条件的研究；f 2 1f e m 在处理特殊结构方面的研究( 如旋转体结构周期 结构等) ；( 3 ) f e m 与高频方法混合技术的研究；( 4 ) f e m 与f d t d 混合技术的研 究；( 5 ) 区域分解技术( d d m ) 的研究；( 6 ) f e m 与边界元的混合算法的研究及应用； ( 7 ) 高阶f e m 的研究及应用等方面。 有限元分析特殊结构问题的研究以及混合算法的研究都是为了解决较大尺寸 目标的计算问题。高阶有限元的研究是为了提高计算精度，降低内存需求。整体 趋势是利用更多的技术提高计算效率和降低计算机内存需求。近些年来针对腔体 散射的计算问题，主要集中在一方面利用高阶有限元对散射的计算【1 5 , 1 9 | ，另一方 面是迭代物理光学法( 口o ) 的应用1 2 0 。 1 2 2 国内研究状况 利用有限元分析电磁问题在国内已经开展多年，也有许多研究论文发表，研 究内容涉及散射、天线、材料、电磁兼容等领域。分别用边界积分法及连接算法 以及有限元法一边晃积分法【2 1 - 2 3 分析导体平面上任意腔体的散射，模型限于腔体 中填充各向同性介质。用边界元法和广义网络原理1 2 4 1 分析无限大导体平面上二维 开口腔体中填充均匀分布的各向异性介质横电波( ，r e ) 波散射特性。文献【2 5 】对传统 的迭代物理光学法( i p o ) 进行了改进，并与矢量有限元法相结合，对内壁涂敷介质 的具有复杂终端结构的电大尺寸腔体的电磁散射特性进彳亍分析。在这种混合方法 中，将整个计算区域划分为两部分：介质涂敷或几何结构复杂的部分，使用低频 方法进行处理；几何结构简单的光滑区域采用i p o 方法进行分析。文献【2 6 】提出了 一种新的混合方法f e m p 0 2 p t d 法，应用这个方法分析计算带有腔体或槽缝的 电大尺寸复杂目标电磁散射问题。 目前国内在有限元方法研究方面有许多新的进展： ( 1 ) 对偶棱边元改进有限元结点基 文献【2 8 】和文献【2 9 】提出一种新的对偶棱边元，解决某些问题，与常规棱边元 相比在某些方面具有一定的优势。从电磁场对偶变量变分原理出发，结合对偶元 基，详细论述了电磁场的子区域分析方法。在子区域的层次区分内部及出口变量 并首先将内部变量消去，子区域提供分界面出口变量的动力剐度阵，最后通过子 区域的拼装得到整个问题的求解方案。 f 2 1 有限元数值方法分析和设计医用微波辐射天线 第一章绪论 5 文献【3 0 】采用有限元数值分析方法针对人体肌肉组织微波热疗模型，对单极辐 射天线和改进的挽袖圆顶辐射天线在肌肉组织中产生的电磁场分布及单位质量电 磁能量吸收率( s a r ) 进行了模拟计算。 ( 3 ) 三维目标电磁散射矢量有限元边界元法的公式研究 文献f 3 l 】研究应用于三维目标电磁散射分析的矢量有限元一边界元混合方法 不同公式。混合公式系统矩阵的条件数随边界元采用不同公式有很大差异，从而 导致混合公式的稳定性有很大不同。讨论了混合方法中边界元部分的单一检验基 函数方法和组合检验基函数方法。认为组合检验基函数方法仍可被视为单一检验 基函数方法；通过比较边界元部分使用单一检验基函数法和组合检验基函数法时 所得计算结果，纠正了只有使用组合检验基函数，有限元边界元混合方法才能得 到精确结果的结论。综合考虑计算结果可靠性、精度及对内部谐振的免疫力等因 素，给出了所推荐使用的有限元边乔元混合方法公式。 ( 4 ) 混合阶矢量基有限元完全匹配层方法研究 文献【3 2 】提出了一种用于三维目标电磁辐射特性分析的快速有限元方法。该方 法将混合阶矢量基函数与有限元完全匹配层方法相结合，将场矢量分布稀疏的完 全匹配层区域采用混合阶矢量基函数的低阶部分，将场矢量变化剧烈的天线体附 近区域采用混合阶矢量基函数的高阶部分，从而在保证计算精度的前提下，实现 大量减少单纯使用高阶矢量有限元完全匹配层方法的矩阵方程维数和计算时间， 提高计算效率的目的。 1 3 本文的工作与内容安排 本文研究的内容主要是有限元一边界积分混合方法在电磁散射问题中的应 用。文章首先介绍了有限元法的基本原理，然后介绍了有限元一边界积分混合方 法的原理，最后分别给出了有限元法和有限元一边界积分混合方法这两种方法编 程计算的数值结果。 本文结构安排： 第一章是绪论，简要介绍了有限元方法的研究背景及意义，并讨论了有限元 方法的国内外研究现状。 第二章首先介绍了有限元法的基础一变分原理，并讨论了其在时谐场中的应 用。然后推导了四面体剖分情况下的有限元公式，并给出了四面体矢量基函数被 用于一个矢量波动方程的三维有限元离散时，得到的单元矩阵中积分的解析表达 式，为后面程序编写打下基础。 第三章介绍了矢量有限元一边界积分混合方法。首先推导了有限元和边界积 分方程公式。内部区域采用基于四面体剖分的矢量基函数，边界部分采用三角形 6 有限元一边界积分混合方法在电磁散射问题中的应用 剖分的r w g 基函数。并通过分界面上场的连续性把两部分联系起来。最后推导了 一种求解矩阵方程的方法一共轭梯度法，为后面程序编写打下基础。 第四章给出了程序计算的数值结果。根据第二章推导的有限元的公式编写了 有限元程序，用这个程序计算了矩形波导和同轴传输线内的电场。根据第三章推 导的有限元一边界元的公式编写了有限元一边界积分程序，用这个程序计算了三 维目标的电磁散射。通过程序计算结果和传统矩量法和有限元方法计算结果的比 较，验证了程序的正确性。 第五章是全文总结，总结了本文所做的工作以及下一步要完成的工作。 第二章二维久斌有限元简介 7 第二章三维矢量有限元简介 2 1 电磁学的变分原理 变分方法和伽辽金方法是通常用于建立有限元解公式的两种方法。变分方法 具有几个优点。主要的优点在于它有牢固的数理基础，其公式也有明确的物理解 释。另一个优点在于：通过变分过程，能够清楚的说明必要边界条件和自然边界 条件之间的区别，还包括描述方便和公式优雅的优点【j7 】。 2 1 1 标准变分原理 对f 式微分方程定义的边值问题 妒= 厂 ( 2 1 ) 如果算符是自伴的，即 ( 中，妒) = 中，g ) ( 2 2 ) 并且是正定的，即 ( 西，西) = ： ( 2 s ， 那么，通过求下式泛函的极小值 ，p ) = 丢( 中，中) 一圭( 中，) 一三( ，毋) ( 2 - 4 ) 即可求p d ( 2 一1 ) 式的解。 在上面的几个式子中，j | l ，表示与庐满足相同边界条件的任意函数。尖括号表 示如下定义的内积 ( 痧，) = 西妒d o ( 2 - 5 ) 式中，口表示问题的区域，它可以是一维的、二维和三维的；星号表示复共轭。 为了证明这个变分原理，首先需要证明：微分方程( 2 一1 ) 式是当泛函，驻定时( 即 当8 f = 0 时) 的必然结果。然后需要证明驻点是泛函f 的极小值点，这等价证明 艿，) 0 。 首先考虑第一条的证明。取( 2 - 4 ) 式的第一变分得到 8 f = j 1 ( 8 0 ，驴) + i i ( 中，占咖) 一丢( 溉力一圭( 厂，砌) ( 2 _ 6 ) 8 有限元一边界积分混合方法在电磁散射问题中的廊川 既然是自伴的，那么，上式右边第一项可写成 寺( j 西，驴) = p 庐，中) ( 2 - 7 ) 因此， 8 f = 寺p 痧，中一力+ 寺( 口一，占口) ( 2 8 ) 由内积的定义得到 8 f = 去p 咖，t h 一) + 去p 驴，口一， = r e ( 占驴，痧一，) ( 2 - 9 ) 式中，r e ( x ) 表示取( z ) 的实部。强加驻点条件，得到 r e ( 8 咖，中一f ) = 0 ( 2 1 0 ) 因为j 痧是任意变分，所以，可以立即从上式得出西必须满足( 2 1 ) 式的结论。因此， 第一点得到了证明。 现在，考虑第二条的证明。再取8 f 的第一变分，得到 烈占，) = 艿f p + 万中) 一j f p ) = r e ( 8 中，j 驴) ( 2 1 1 ) 既然是正定的，那么对非零的万毋，可从( 2 3 ) 式得到艿p ，) 0 。因此，驻点确 实是，的极小值点。 从上面的证明显然可以看出，为了用标准变分原理来建立极小值对应于原边 值问题的泛函f ，微分算符必须是自伴的、正定的。更仔细的检查上面的证明， 我们发现：虽然第一条性质( 自伴) 是必要的，但第二条性质( 正定) 则是不必 要的。尽管许多物理问题的解确实对应于泛函的极小值，但是，因为我们的最终 目标是求解( 2 1 ) 式，所以，其解对应于泛函的极小值、或极大值、或拐点是不重 要的。因此，如果这种变分原理存在某种不足，则它必定是由自伴条件引起的， 即是f l ：1 ( 2 - 2 ) 式引起的。 。 2 1 2 修正变分原理 为了应用标准变分原理，微分方程的算符必须是自伴的。对一个自伴算符， 算符本身以及边界算符必须是实数或实函数，另外，边界条件必须是奇次的。然 而，在许多电磁学问题中，算符通常是复数或复函数，且边界条件也常常是非齐 次的。因此，去掉这两个条件十分重要，否则，他们将严重限制变分方法的应用。 在此只考虑第二个条件，将变分原理修正为能处理非齐次边晃条件的变分方法。 考虑( 2 1 ) 式定义的边值问题以及一组非齐次边界条件。这个问题是非自伴的， 然而，只要引进新的未知函数庐= 口一“后，非自伴问题即可转化成自伴问题。这 里的u 是满足给定非齐次边界条件的任意函数。结果，新的函数口满足齐次边界 第一二章二维久量有限元简介 9 条件，因而问题司以变成自伴的a 因此，可以用标准变分原理来建立问题的泛函。 将驴= 庐一“代a ( 2 1 ) 式，驴7 的微分方程可以写成 函= ，( 2 - 1 2 ) 式中f 7 = f 一“，因此，( 2 - 6 ) 的泛函为 ，p 忙互1 ( 西，) 一圭( 厂，) - 丢( 厂r 咖7 ) ( 2 - 1 3 ) 即 f p ) ：丢( p 一“) ，p 一“) ) 一昙( p 一“) ，( 厂一“) ) 一去( 驴一甜，p 一“) )( 2 1 4 ) 既然只对未知函数西取变分，那么，可以丢掉不含庐的项。因此，泛函可写成 ，p ) = 圭( 中，唧一圭( 驴，毋+ 圭( 中，“) 一丢( 毋，) 妻( 厂，中) ( 2 - 1 5 ) 上式右边的第二项和第_ - - 项通常可转化成边界积分或边界项，其中”在应用边 界条件后消失。我们称上面描述的结果的为修正变分原理，在此重述如下：给定 边值问题( 2 一1 ) 式，如果算符在齐次边界条件下是自伴的，那么，其解可通过求 泛函( 2 9 ) 式的驻点而得到，其中“是满足给定非齐次边界条件的任意函数。 2 i 3 广义变分原理 上节给出的修正变分原理能够用来列出几乎所有无耗媒质的电磁学问题的计 算公式。但是，它不能用于有耗媒质，因为这些问题的有关算符是复数或复函数， 这些算符是非自伴的。 将自伴算符限制在实算符范围内的条件直接来自于有关内积的定义( 2 1 ) 式。 如果不用( 2 - 5 ) 式，而将内积重新定义为 p ，) = 上印扣 ( 2 1 6 ) 那么，限制条件立即被取消了。因此，内积定义的选择在某些情况下决定了一个 算符是否自佯。( 2 5 ) 式定义的内积通常称为希尔伯特( h i l b e r t ) 空间中的内积：而 f 2 - 1 6 ) 式定义的内积通常叫做对称积。 如果用( 2 1 6 ) 定义内积，标准变分原理还是成立的。为了证明，取( 2 4 ) 式给出 的泛函f 的第一变分，得到 t j f = 吉( 万驴，中) + 吉( 驴，每西) 一寺( 6 西，) 一寺( 厂，j 毋) ( 2 1 7 ) 有限元一边界积分混合方法在电磁散射问题中的应用 因为在内积的新定义下是自伴的，所以，上式可写成 6 f = ( 6 口，西一，) ( 2 - 1 8 ) 强加驻点条件8 f 圭0 ，得到 ( 万多，西一，) = 0 ( 2 - 1 9 ) 因为6 f 是任意变分，可以从上式得出结论：驴满足( 2 一1 ) 式。在( 2 1 6 ) 式的定义下， ( 2 4 ) 式可写成 f p ) = 去( 口，卿一p ，) ( 2 2 0 ) 对于包含非齐次边界条件的问题，修正变分原理仍保持正确，因而( 2 一1 5 ) 式中给出 的泛函可写成 ，( 驴) = 寻( 西，驴) 一i 1 ( 中，“) + 寻( 口，“) 一( 函，) ( 2 - 2 1 ) 我们称上式为广义变分原理。我们可用( 2 2 1 ) 式列出多数电磁学边值问题的计算公 式。定义( 2 - 1 6 ) 式的直接结果是：对于复数问题，用广义原理推导出的泛函是复数 量；而用前面变分原理推导出的泛函始终是实数，并且，它们通常对应于一个物 理量( 例如功率、功和能量) 。 2 2 1 问题的描述 2 2 变分原理在时谐场中的应用 在时谐情形下，即可以处理电场 ， v 陆v 豆 一如雷= 砒印 又可以处理磁场 v ( 古v 寸如阳 毒歹 经常出现的边界条件是应用于导电面上的边界条件 商雷= 0 h v x 疗= 0 以及应用于导磁面上的对偶条件 h v 盂：0 r 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 笙三兰三丝筌量查堡歪堡坌 一一旦 疗曰= 0 ( 2 - 2 7 ) 其它可能会出现的边界条件( 尽管不经常出现) 是第三类边界条件，可表示成 上螽。( v 。豆) + 儿h 仁雷) ：0 ( 2 - 2 8 ) ， 土而( v 曰) + “南仁疗) = 矿( 2 - 2 9 ) 占 式中，以和n 是已知参数，疗和矿是已知矢量。显然，这两个方程可用来表达阻 抗边界条件和索末菲辐射条件。两种不同媒质分界面上的连续性条件为 最重+ = 商豆一( 2 - 3 0 ) 也可以将它们写成 2 2 2 变分公式 矗j 雷+ = 南j 睁一 ( 2 - 3 1 ) 专最x 勺詹) 5 专南x 勺詹) ( 2 。2 ) 专卉勺厨) 2 专触勺艚) ( 2 ) 根据变分原理，通过求下式泛函在( 2 - 2 4 ) 式和( 2 3 0 ) 式条件f 的驻点，能够祆 得满足方程( 2 2 2 ) 式、( 2 2 4 ) 式、( 2 2 6 ) 5 戈、( 2 - 2 8 ) 式、( 2 - 3 0 ) 式署1 1 ( 2 3 2 ) 式的电场解： f = 主i 咖。五) 删碲叫 亿，钔 + l ：l 每g 豆) 仁豆) + 雷疗p + j k o z o f j e 力矿 同样，通过求下式泛函在( 2 - 2 7 ) 式和( 2 3 1 ) 式条件下的驻点，能够得到满足方 程( 2 2 3 ) 式、( 2 - 2 5 ) 式、( 2 2 7 ) 式、( 2 2 9 ) 式、( 2 3 1 ) 式和( 2 3 3 ) 式的磁场解： f ) = 导f f l 勺疗) ( v 曰) 一瑶肼詹厅i d 矿 + f c 悟仁曰) o 露) m 矿p f f f m i 乳吉了户 上面给出的泛函对，、p ，、，。和n 为实数或复数时均成立如果这些参数是 实数，那么，可以选用下列形式的泛函 坚有限元一边界积分混台方法在电磁散射问题中的应用 ，( 豆) = 圭毗 勺雷) 勺雷h 啦口卜 + 吾f ，陟。仁豆) d 硝珂口+ 豆盯k ( 2 - 3 6 ) + j k o z 。铷1 妒) 一”w 和 ，f ) 2 互1 l 。1 ( , z 曰) ( v 膏) 一簖以曰- 疗+ d 矿 + 三2 f l _ g 豆) g 曰) + - 2 矿+ 豆矿b ( 2 3 7 ) 一驯卟抖卟州卜 这两个泛函与前面两个泛函的显著区别在于：这两个泛函均是实值的。因此， 它们的驻点对应于它们的极大值或极小值；而对前两个泛函，由于它们是复数， 所以，不存在这样的极大值或极小值。这个事实有时是相当重要的，因为它可用 于误差分析，因此，( 2 3 6 ) 式和( 2 - 3 7 ) 式通常用于波导和腔体分析。然而，为了通 用性，还是选择前两个泛函，因为在许多应用中经- g 出项复和复“的有耗物质。 2 3 四面体单元剖分的有限元公式 有限元分析的第一步是将感兴趣的区域离散。因为所有物理问题都是三维的， 所以在这种情况下，必须将体积v 分成许多小体积单元。目前，四面体和六面体 是三维矢量有限元方法中广泛使用的矢量单元。四面体单元具有更强的模拟目标 边界的能力。与六面体单元相比，虽然使用四面体单元会离散出更多的未知数， 但研究结果显示1 4 3 j ，在相同的网格尺寸下，使用四面体单元得到的结果精度要高 于使用六面体单元。从矢量基函数的性质来考察，四面体单元的矢量基函数是无 散的，而六面体单元的矢量基函数不具备此性质。考虑到上述因素，本文选择了 四面体矢量单元。 2 3 1 四面体插值函数 一旦将区域离散后，就需要近似表达每一单元内的未知函数。为此，考虑图 2 1 所示的四面体单元。 一墨三童三丝筌塞壹型垄堕坌竺 z f ，_ + v 4 2 3 4 翻2 1 四面体单元 在此单元内，未知函数口能够近似为 毋。g ，y ，z ) = 4 + 6 x + c y + d 。z ( 2 3 8 ) 在单元的四个结点上强加( 2 3 8 ) 式，则可以确定上式中的四个系数矿、b 。、，和d c 。 将第_ ，个结点上的m 值记为，我们得到 西i = + 6 群+ c 。圻+ d 。彳 ( 2 3 9 ) 中j = a + 6 + c y ；+ d z ；( 2 - 4 0 ) 职= 矿+ b t x ；+ c y ；+ d t z ；( 2 4 d 廖；= 口+ 6 。x 4 + c k + d 。z ：( 2 - 4 2 ) 从上面的式子，我们可得到 口。= 矿：上 6 v 。 。t ：上 6 v 。 嘭 x ； 成 ：； 戳 y ； 群 x ： y ： z ： = 嘉g ；研+ 口；晖+ + 口：) ( 2 - 4 3 ) = 击瞬吖+ 鹾+ 6 ；孵+ k ) ( 2 - 4 4 ) = 嘉k 祥+ c ；蟛+ 蟛+ c ；) ( 2 - 4 5 ) ，蟛。巧蟛，嘭片。嘭巧 ，艿。彰阱kk孵k 丝塑堡垂二望墨塑坌塑鱼查堡垒皇壁墼盟塑嬖! 堕壁旦 一 d r ：上 6 v 。 其中v 。为单元体积 x ； 蝴 噬 x ； y ； 硝 y = i 1 x ： y ： 谚 = 嘉吖+ 哕+ 谚+ 科) 11 l x ： 鹾硝y ： z ；z ；z ： ( 2 4 6 ) ( 2 - 4 7 ) h = 黾( ) ，；z 4 一h 毛) + 屯c y 4 2 2 - - y 2 2 4 ) + x 4 仗毛一弘z 2 ) 摩怨- - 啮y 4 客2 芝臣：篇麓监：端y ， 1 口3 = x l ( ) ，2 z 2 ) + x 2 ( ) 4 z l m z 4 ) + x 4 ( ) 1 2 2 2 z i ) ”7 【口4 = x 1 ( y 3 2 2 一y 2 乃) + 而“乃- - y 3 z i ) + x 4 0 ，2 毛一y l z 2 ) 一z ) + x 3 ( z 4 一z 1 ) + x 4 ( z 2 一z 3 ) 一z 3 + x 3 ( g i z 4 ) + x 4z 3z 1 ) 一9 4 ) + ：( z 。一z 。) + x 。瓴一z ：) 一9 2 ) + x ：0 。一z ，) + x ，g ：- - z 1 ) ( ，。一乃) + b ( ) ，：一几) + - ( y ，- y ：) d ，一y 4 ) + 砖c y 。一m ) + 工。( y 。- y ，) ( y 一y 2 ) + x ：。一几) + - ：- y 。) ( ) j 2 一y s ) + x ：( y ，一y 1 ) + 屯( y ，- y ：) 将矿、b e 、c e 和d 。的表达式代i n n ( 2 3 8 ) 式，得到 2 3 2 四面体有限元公式 我们考察矢量函数 4 驴。b ，j ，z ) - - e l ；( x ，弘z 澎 ；1 ( 2 - 4 9 ) ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) 之气龟 一 一 一 0 g g g几h 儿乃 + + + + 以玉“西 一 一 一 一 盹炖此胞 十 + + + 毛钆龟毛 一 一 一 一 k 也阮伍 如m m m = j j = 岛k 以以 亿亿k 亿磁毛 = j i = = q 岛岛q ，、 砭毛黾而 = = = 吐如以矗 ，l，、-ill【 、纠 彤 + yc +x 町 + 上酽 = 力 y仁 为巧 力yg t 数函僮插中式 第一二章三维矢量有限元简介 1