高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.2 抛物线的简单性质（二）训练案 北师大版选修21.doc

3.2.2 抛物线的简单性质a.基础达标1抛物线yax21与直线yx相切，则a等于()a. b. c. d1解析：选b.由消去y整理得ax2x10，由题意a0，(1)24a0.所以a.2已知抛物线c：y24x的焦点为f，直线y2x4与c交于a，b两点，则cosafb()a. b.c d解析：选d.由得或令b(1，2)，a(4，4)，又f(1，0)，所以由两点间距离公式，得|bf|2，|af|5，|ab|3，所以cosafb.3a，b是抛物线x2y上任意两点(非原点)，当最小时，所在两条直线的斜率之积koakob()a. bc. d解析：选b.由题意可设a(x1，x)，b(x2，x)，(x1，x)，(x2，x)，x1x2(x1x2)2(x1x2)2，当且仅当x1x2时取得最小值此时koakobx1x2.4设抛物线c：y22px(p0)的焦点为f，点m在c上，|mf|5.若以mf为直径的圆过点(0，2)，则c的方程为()ay24x或y28xby22x或y28xcy24x或y216xdy22x或y216x解析：选c.设m(x0，y0)，a(0，2)，mf的中点为n.由y22px，f(，0)，所以n点的坐标为(，)由抛物线的定义知，x05，所以x05.所以y0 .所以|an|，所以|an|2.所以()2(2)2.即.所以 20.整理得p210p160.解得p2或p8.所以抛物线方程为y24x或y216x.5已知抛物线c的方程为x2y，过点a(0，1)和点b(t，3)的直线与抛物线c没有公共点，则实数t的取值范围是()a(，1)(1，)b(，)(，)c(，2)(2，)d(，)(，)解析：选d.当ab的斜率不存在时，x0，其与x2y有公共点，不满足要求；当ab的斜率存在时，可设ab所在直线的方程为ykx1，代入x2y，整理得2x2kx10，(k)2420，得k28，b(t，3)在ykx1上即3kt1，()2k22得t(，)(，)6过抛物线y22px(p0)的焦点f的直线与抛物线交于a、b两点，若a、b在准线上的射影为a1、b1，则a1fb1等于_解析：如图，由抛物线定义知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1，又aa1fa1fo，所以afa1a1fo，同理bfb1b1fo，于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1.故a1fb190.答案：907已知抛物线x24y的焦点为f，经过f的直线与抛物线相交于a，b两点，则以ab为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_解析：由题意知满足题意的ab所在直线的斜率存在，故ab所在的直线方程可写为ykx1，代入x24y，整理得x24kx40，x1x24k，由ykx1可得y1y2kx11kx214k22，|ab|y1y2p4k24，故所截弦长222，当k0时弦长取最小值答案：28已知定长为3的线段ab的两个端点在抛物线y22x上移动，m为ab的中点，则m点到y轴的最短距离为_解析：如图所示，抛物线y22x的准线为l：x，过点a、b、m分别作aa、bb、mm垂直于l，垂足分别为a、b、m.由抛物线定义知|aa|fa|，|bb|fb|.又m为ab中点，由梯形中位线定理得|mm|(|aa|bb|)(|fa|fb|)|ab|3，则m到y轴的距离d1(当且仅当ab过抛物线的焦点时取“”)，所以dmin1，即m点到y轴的最短距离为1.答案：19已知抛物线y212x和点p(5，2)，直线l经过点p且与抛物线交于a、b两点，o为坐标原点(1)当点p恰好为线段ab的中点时，求l的方程；(2)当直线l的斜率为1时，求oab的面积解：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，因为a、b在抛物线上，所以y12x1，y12x2，两式相减，得(y1y2)(y1y2)12(x1x2)因为p为线段ab的中点，所以x1x2，又y1y24，所以k3，所以直线l的方程为y23(x5)，即3xy130.经验证适合题意(2)由题意知l的方程为y21(x5)即yx3.由得x218x90.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x218，x1x29.所以|ab|24.又点o到直线xy30的距离d，所以soab|ab|d2418.10如图，设抛物线c：x24y的焦点为f，p(x0，y0)为抛物线上的任一点(其中x00)，过p点的切线交y轴于q点(1)若p(2，1)，求证：|fp|fq|；(2)已知m(0，y0)，过m点且斜率为的直线与抛物线c交于a、b两点，若(1)，求的值解：(1)证明：由抛物线定义知|pf|y012，设过p点的切线方程为y1k(x2)，由得x24kx8k40，令16k24(8k4)0得k1，可得pq所在直线方程为yx1，所以得q点坐标为(0，1)，所以|qf|2，即|pf|qf|.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，又m点坐标为(0，y0)，所以ab方程为yxy0，由得x22x0x4y00.所以x1x22x0，x1x24y0x，由得：(x1，y0y1)(x2，y2y0)，所以x1x2，由知得(1)2x4x，由x00可得x20，所以(1)24，又1，解得32.b.能力提升1已知抛物线y22px(p0)与圆(xa)2y2r2(a0)有且只有一个公共点，则()arap brapcrap drap解析：选b.当r0)与抛物线y22px(p0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当ra时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有一个公共点，必须使方程(xa)22pxr2(x0)有且仅有一个解x0，可得ap.故选b.2如图，已知抛物线的方程为x22py(p0)，过点a(0，1)作直线l与抛物线相交于p，q两点，点b的坐标为(0，1)，连接bp，bq，设qb，bp的延长线与x轴分别相交于m，n两点如果qb的斜率与pb的斜率的乘积为3，则mbn的大小等于()a. b.c. d.解析：选d.由题意设p(x1，)，q(x2，)(x1x2)，设pq所在直线方程为ykx1代入x22py，整理得：x22kpx2p0，则kqb，kpb，可得kqbkpb0，又因为kqbkpb3，所以kqb，kpb，即bnm，bmn，所以mbnbnmbmn.3设抛物线y24x的焦点为f，过点m(2，0)的直线与抛物线相交于a，b两点，与抛物线的准线交于点c，|bf|，则_.解析：因为|bf|，所以b的横坐标为，不妨设b的坐标为(，)，所以ab的方程为y(x2)，代入y24x，得2x217x80，解得x或8，故点a的横坐标为8.故a到准线的距离为819.答案：4抛物线y22px(p0)的焦点为f，已知点a，b为抛物线上的两个动点，且满足afb120，过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最大值为_解析：由余弦定理，得|ab|2|af|2|bf|22|af|bf|cos 120|af|2|bf|2|af|bf|，过a，b作aa，bb垂直于准线，则|mn|(|aa|bb|)(|fa|fb|)，所以，当且仅当|af|bf|时，等号成立答案：5已知抛物线c：y22px(p0)经过点p(2，4)，直线l：yx2交c于a、b两点，与x轴相交于点f.(1)求抛物线方程及其准线方程；(2)已知点m(2，5)，直线ma、mf、mb的斜率分别为k1、k2、k3，求证：k1、k2、k3成等差数列解：(1)因为抛物线c：y22px(p0)经过点p(2，4)，所以422p2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x，所以抛物线准线方程是x2.(2)因为直线l：yx2与x轴相交于点f，所以f(2，0)因为m(2，5)，所以k2.设a(x1，y1)、b(x2，y2)，由方程组得3x220x120.法一：x1x2，x1x24.所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差数列法二：即a(6，4)、b(，)，所以k1，k3，所以k1k3，所以k1k32k2，所以k1、k2、k3成等差数列6(选做题)已知抛物线e的顶点在原点，焦点为f(2，0)，(1)求抛物线方程；(2)过点t(t，0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线e于a，b，c，d四点，且m，n分别为线段ab，cd的中点，求tmn的面积最小值解：(1)由题意知，p4，故所求抛物线方程