高考数学 黄金考点精析精训 考点15 平面向量的数量积 理.doc

考点15 平面向量的数量积【考点剖析】1.最新考试说明：（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系2.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查3.课本结论总结：（1）两个向量的夹角定义：已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角范围：向量夹角的范围是0180,a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.向量垂直：如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.（2）平面向量数量积已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.向量的投影：|叫向量在向量方向上的投影当ab时，90，这时ab0.ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积（3）向量数量积的性质如果e是单位向量，则aeea.abab0.aa|a|2，.cos .(为a与b的夹角)|ab|a|b|.（4）数量积的运算律交换律：abba.分配律：(ab)cacbc.对r，(ab)(a)ba(b)（5）数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：aba1b1a2b2.aba1b1a2b20.|a|.cos .(为a与b的夹角)4.名师二级结论：(1)向量 b在a的方向上的投影为|b|cos =.（2）若向量ab，且b=，则可设a=.5.课本经典习题：(1)新课标a版第108 页，习题2.4a组第3题已知|=2，|=5，=-3，求|+|,|-|.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题.(2) 新课标a版第108 页，习题2.4a组第7题已知|=4，|=3，(2-3)(2+)=61，求与的夹角.【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题.6.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇【2017天津，文14】在abc中，ab=3，ac=2.若，（），且，则的值为 .【答案】 【解析】试题分析： ,则. (2)与不等式交汇1.对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）a bc d【答案】b2.【2016高考浙江】已知向量a、b, a =1，b =2，若对任意单位向量e，均有 ae+be ,则ab的最大值是 【答案】【解析】，即最大值为.（3）与三角函数交汇【2016高考浙江】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，ab=1若e为平面单位向量，则|ae|+|be|的最大值是_【答案】【解析】由已知得，不妨取，设，则，取等号时与同号所以，（其中，取为锐角）显然易知当时，取最大值1，此时为锐角，同为正，因此上述不等式中等号能同时取到故所求最大值为【考点分类】热点1 平面向量数量积及其几何意义1.【2017天津，理13】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 2. 【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . 【答案】【解析】因为,因此，【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解；已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解；用平面向量数量积的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【解题技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量在向量方向上的投影有两种思路：思路1，用|计算;思路2，利用计算.3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数，可以为正，也可以为负，还可以为0.3.若ab=0,则a=0或b=0或ab,与实数乘积不同.例 已知平面向量a,b,c，下列说法中：若ab=ac,则a=c； a(bc)=(ab)c;若ab=0,则a=0或b=0; ab|a|b|，正确的序号为 .【错解】【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故，因若ab=0,则a=0或b=0或ab，故错，根据平面向量的数量积的性质知正确，故正确的说法序号为热点2 平面向量垂直、平面向量夹角1.【2017课标1，文13】已知向量a=（1，2），b=（m，1）若向量a+b与a垂直，则m=_【答案】7【解析】2.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45.若, 则 .【答案】3 3.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】【解析】试题分析：， ，解得：【方法规律】1.对平面向量夹角问题(1)当，是非坐标形式时，需要先求出及|、|或它们的关系.(2)若已知向量，的坐标，直接利用公式求解.2. 利用向量垂直的充要条件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.【解题技巧】1.非零向量垂直a,b的充要条件：abab0|ab|ab|x1x2y1y20.2abab0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题【易错点睛】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.若两个向量夹角为锐角，则0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则小于0，反之，不一定3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角4.abab0是对非零向量而言的，若a0时，ab0，但不能说ab.例 已知向量，且向量与夹角为锐角，求的范围；【错解】因为向量与夹角为锐角，所以=+20，解得-2.【错因分析】从出发解出的值，忽视剔除同向的情况【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.【正解】因为向量与夹角为锐角，所以=+20，解得-2.当=时，与同向，故的范围为.热点3 平面向量模1.【2017课标ii，文4】设非零向量，满足则a. b. c. d. 【答案】a【解析】由平方得，即，则，故选a.2.【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】试题分析：所以.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为.【方法规律】对平面向量的模问题，若向量是非坐标形式，用求模长；若给出向量的坐标，则用|=来求解.【解题技巧】1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式转化为平面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.2对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误：ab|a|b|和|ab|a|b|.例 已知|=1，|=2，向量与夹角为120o,求|.【错解】|=5.【错因分析】错用ab|a|b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误：ab|a|b|和|ab|a|b|.【正解】|=.【热点预测】1.【2016高考新课标3理数】已知向量 ， ，则（ ）(a) (b) (c) (d)【答案】a【解析】由题意，得，所以，故选a2【2018届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三9月月考】已知单位向量a,b满足a+b=a-b，则a与b-a的夹角是( )a. 6 b. 3 c. 4 d. 34【答案】d【解析】|a+b|=|a-b| a+b2=a-b2， ab=0 即ab如图oa =a=1,0,ob=b=0,1,oc=b-a=-1,1即是第二象限的角平分线，所以由图可见a 与b-a 的夹角是34，故选d.3【2018届河南省林州市第一中学高三10月调研】已知向量满足，则（）a. b. c. d. 【答案】c4【2018届河南省洛阳市高三期中】向量均为非零向量， ，则的夹角为（ ）a. b. c. d. 【答案】a5【2018届江西省赣州市崇义中学高三上第二次月考】半圆的直径ab4, o为圆心，c是半圆上不同于a、b的任意一点，若p为半径oc上的动点，则的最小值是（ ）a. 2 b. 0 c. d. 【答案】d【解析】为的中点， ，从而则 ，又， ， 当且仅当，即为的中点时， 取得最小值是，故选d.6【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】若a=b=c=2，且ab=0，a-cb-c0，则a+b-c的取值范围是（ ）a. 0,22+2 b. 0,2c. 22-2,22+2 d. 22-2,2【答案】d【解析】如图所示：oa=a，ob=b，oc=c，od=a+ba-cb-c0，点c在劣弧ab上运动，a+b-c表示c、d两点间的距离cd。cd的最大值是bd，cd最小值为od-2=22-2.故选：d.7【2017课标ii，理12】已知是边长为2的等边三角形，p为平面abc内一点，则的最小值是（ ）a. b. c. d.【答案】b【解析】8【2018届辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学高三上学期第一次联考】已知直线pa,pb分别于半径为1的圆o相切于点a,b,po=2,pm=2pa+(1-)pb.，若点m在圆o的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )a. (-1,1) b. (0,23) c. (13,1) d. (0,1)【答案】b点睛：本题首先要学会问题转化，一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径，因此写出向量om=op+pm=op+2pa+(1-)pb=ob+2pa-pb，再根据向量的平方运算，求出|om|2=92-6+1，令其小于半径即可求出9【2018届河北省邢台市高三上学期第一次月考】在中， 为边上一点，且，向量与向量共线，若， ， ，则（ ）a. 3 b. c. 2 d. 【答案】b【解析】取bc的中点e，则与向量共线，所以a、d、e三点共线，即中边上的中线与高线重合，则.因为，所以g为的重心，则所以本题选择b选项.10【2018届四川省双流中学高三上9月月考】已知平面向量满足，若，则的最大值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】因为，所以，即，由余弦定理可得，如图，建立平面直角坐标系，则，由题设点在以为圆心，半径为的圆上运动，结合图形可知：点运动到点时， ，应选答案d.11【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知平面向量满足，则最大值为( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】设， 与所成夹角为，则：，则向量的夹角为60，设，则，故：，设o到bc的距离为，则，由可知点a落在以o位圆心，4为半径的圆上，a到bc的距离的最大值为，则abc的面积的最大值为： 故最大值为本题选择d选项.12【2017届浙江省zdb联盟高三一模】如图，半径为1的扇形中， ， 是弧上的一点，且满足， 分别是线段上的动点，则的最大值为（ ）a. b. c. 1 d. 【答案】c【解析】 ，选c.13. 【2018届安徽省六安市第一中学高三上