高中数学 章末综合测评3 空间向量与立体几何 新人教A版选修21.doc

章末综合测评(三)空间向量与立体几何(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1与向量a(1，3,2)平行的一个向量的坐标是()ab(1，3,2)c dca(1，3,2)2.2在正方体abcda1b1c1d1中，xy()，则()ax1，ybx1，ycx，y1dx1，ya()，x1，y.应选a3已知a(2，4，1)，b(1,5,1)，c(3，4,1)，d(0,0,0)，令a，b，则ab为()a(5，9,2)b(5,9，2)c(5,9，2)d(5，9，2)ba(1,0，2)，b(4,9,0)，ab(5,9，2)4已知点a(1,2,1)，b(1,3,4)，d(1,1,1)，若2，则|的值是() 【导学号：46342190】a bcdc设p(x，y，z)，则(x1，y2，z1)，(1x,3y,4z)，由2知x，y，z3，即p.由两点间距离公式可得|.5在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，下列结论不正确的是()a b0c0 d0d如图，故a，b，c选项均正确6设abcd的对角线ac和bd交于e，p为空间任意一点，如图1所示，若x，则x()图1a2b3c4d5ce为ac，bd的中点，由中点公式得()，()4.从而x4.7已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()a b c dda，b，c三向量共面，则存在不全为零的实数x，y，使cxayb，即(7,5，)x(2，1,3)y(1,4，2)(2xy，x4y,3x2y)，所以解得3x2y.8若向量a(x,4,5)，b(1，2,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则x()a3b3c11d3或11a因为ab(x,4,5)(1，2,2)x810x2，且a与b的夹角的余弦值为，所以，解得x3或11(舍去)，故选a9若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面的法向量为，且l，则m()a2 b3 c4 d5cl，直线l的方向向量平行于平面的法向量.m4.10直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成角为()a30 b45 c60 d90c建立如图所示的空间直角坐标系，设ab1，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，a1(0,0,1)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即异面直线ba1与ac1所成角为60.11已知正四棱柱abcda1b1c1d1中，aa12ab，则cd与平面bdc1所成角的正弦值等于()【导学号：46342191】a b c da以d为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设aa12ab2，则d(0,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,2)，则(0,1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)设平面bdc1的法向量为n(x，y，z)，则n，n，所以有令y2，得平面bdc1的一个法向量为n(2，2,1)设cd与平面bdc1所成的角为，则sin |cosn，|.12在矩形abcd中，ab3，ad4，pa平面abcd，pa，那么二面角abdp的大小为()a30 b45 c60 d75a如图所示，建立空间直角坐标系，则，(3,4,0)设n(x，y，z)为平面pbd的一个法向量，则得即令x1，则n.又n1为平面abcd的一个法向量，cosn1，n，所求二面角为30.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13已知正方体abcdabcd，则下列三个式子中：；.其中正确的有_，正确；显然正确；()()0，错误14若向量m(1,2,0)，n(3,0，2)都与一个二面角的棱垂直，则m，n分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为_或cosm，n.二面角的余弦值为或.15如图2正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，o是平面a1b1c1d1的中心，则bo与平面abc1d1所成角的正弦值为_. 【导学号：46342192】图2建立坐标系如图，则b(1,1,0)，o，(1,0,1)是平面abc1d1的一个法向量又，bo与平面abc1d1所成角的正弦值为|cos，|.16设动点p在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1的对角线bd1上，记，当apc为钝角时，的取值范围是_建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则a(1,0,0)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，设p(x，y，z)，则(x，y，z1)，(1,1，1)，由，得(x，y，z1)(1,1，1)，即p(，1)，(1，1)，(，1，1)，由0得2(1)(1)20，解得1.由题意知与所成的角不可能为，故0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以.因为cos，所以，45，即dp与cc所成的角为45.(2)平面aadd的一个法向量是(0,1,0)，因为cos，所以，60，可得dp与平面aadd所成的角为30.20(本小题满分12分)如图6，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点图6(1)求证：平面pbc平面pac；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值解(1)证明：由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac因为bc平面pbc所以平面pbc平面pac(2)过c作cmap，则cm平面abc如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.又因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故(，0,0)，(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为(0,0,1)，(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1, ，0)于是cosn1，n2.由图知二面角cpba为锐角，故二面角cpba的余弦值为.21(本小题满分12分)如图7，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dpbq(02)图7(1)当1时，证明：直线bc1平面efpq；(2)是否存在，使平面efpq与平面pqmn所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【导学号：46342194】解以d为原点，射线da，dc，dd1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系由已知得b(2,2,0)，c1(0,2,2)，e(2,1,0)，f(1,0,0)，p(0,0，)，(2，0,2)，(1,0，)，(1,1,0)(1)证明：当1时，(1,0,1)，因为(2,0,2)所以2，可知bc1fp，而fp平面efpq，且bc1平面efpq，故直线bc1平面efpq.(2)设平面efpq的一个法向量为n(x，y，z)，由得于是可取n(，1)，同理可得平面pqmn的一个法向量为m(2,2，1)，若存在，使得平面efpq与平面pqmn所在的二面角为直二面角，则mn(2,2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1，故存在1，使平面efpq与平面pqmn所成的二面角为直二面角22(本小题满分12分)如图8，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形，平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.图8(1)求证：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值；(3)证明：在线段bc1上存在点d，使得ada1b，并求的值解(1)因为aa1c1c为正方形，所以aa1ac因为平面abc平面aa1c1c，且aa1垂直于这两个平面的交线ac，所以aa1平面abc(2)由(1)知aa1ac，aa1ab由题意知ab3，bc5，ac4，所以abac如图，以a为坐标原点，建立空间直角坐标系axyz，则b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)所以(0,3，4)，(4,0,0)设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以平面a1bc1的一个法向量为n(0,4,3)同理可得，平面b1bc1的一个