高考数学二轮复习 专题19 排列、组合、二项式定理教学案 理.doc

专题19 排列、组合、二项式定理 1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想. 1两个重要公式(1)排列数公式an(n1)(n2)(nm1)(n，mn*，且mn)(2)组合数公式c(n，mn*，且mn)2三个重要性质和定理(1)组合数性质c(n，mn*，且mn)；c(n，mn*，且mn)；c1.(2)二项式定理(ab)ncancan1b1can2b2cankbkcbn，其中通项tr1canrbr.(3)二项式系数的性质cc，cc，cc；cccc2n；cccccc2n1. 考点一 排列与组合例1【2017课标ii，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）a12种 b18种 c24种 d36种【答案】d 【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（a）24 （b）48 （c）60 （d）72【答案】d【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选d.【变式探究】(2015四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )a144个 b120个c96个 d72个解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3a72个；若万位是4，则有2a个48个，故40 000大的偶数共有7248120个选b.答案 b考点二 排列组合中的创新问题例2用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1a)(1b)的展开式1abab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )a(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5b(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5c(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)d(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)解析 分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，5个，则有(1aa2a3a4a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，5个，有(1c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5，故选a. 答案 a【变式探究】设集合a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合a中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为( )a60 b90 c120 d130 答案 d考点三 二项展开式中项的系数例3【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。 【变式探究】(2015新课标全国，10)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为( )a10 b20c30 d60解析 tk1c(x2x)5kyk，k2.c(x2x)3y2的第r1项为ccx2(3r)xry2，2(3r)r5，解得r1，x5y2的系数为cc30.答案 c考点四 二项展开式中的常数项例4【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（a）15x4 （b）15x4 （c）20i x4 （d）20i x4【答案】a【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选a. 【变式探究】(2015湖南，6)已知的展开式中含x的项的系数为30，则a( )a. b c6 d6解析 的展开式通项tr1cx(1)rarx(1)rarcxr，令r，则r1，t2acx，ac30，a6，故选d.答案 d考点五 二项式定理的综合应用例5【2017课标1，理6】展开式中的系数为a15b20c30d35【答案】c 【变式探究】【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是80，则实数a=_.【答案】2【解析】因为，所以由，因此 【变式探究】(2015陕西，4)二项式(x1)n(nn)的展开式中x2的系数为15，则n( )a4 b5c6 d7解析 由题意易得：c15，cc15，即15，解得n6.答案 c 1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为a15b20c30d35【答案】c【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选c.2.【2017课标ii，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）a12种 b18种 c24种 d36种【答案】d 3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个.（用数字作答）【答案】 1080【解析】 4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的e处出发，先到f处与小红会合，再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） （a）24 （b）18 （c）12 （d）9【答案】b【解析】由题意，小明从街道的e处出发到f处最短路径的条数为6，再从f处到g处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选b.2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（a）15x4 （b）15x4 （c）20i x4 （d）20i x4【答案】a【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选a.3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（a）24 （b）48 （c）60 （d）72【答案】d 4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有（ ）（a）18个 （b）16个 （c）14个 （d）12个【答案】c【解析】由题意，得必有，则具体的排法列表如下：000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为_.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】10 7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为_.(用数字作答)【答案】56【解析】展开式通项为，令，所以的故答案为56 8.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是80，则实数a=_.【答案】2【解析】因为，所以由，因此9.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）（1）求 的值；（2）设m，nn*，nm，求证： （m+1）+（m+2）+（m+3）+n+（n+1）=（m+1）.【答案】（1）0（2）详见解析 1(2015广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)解析 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了a40391 560条毕业留言答案 1 5602(2015北京，9)在(2x)5的展开式中，x3的系数为_(用数字作答)解析 展开式通项为：tr1c25rxr，当r3时，系数为c25340.答案 403(2015天津，12)在的展开式中，x2的系数为_解析 的展开式的通项tr1cx6rcx62r；当62r2时，r2，所以x2的系数为c.答案 1. 【2014高考广东卷理第8题】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ） a. b. c. d.【答案】d 【考点定位】计数原理 2. 【2014高考湖北卷理第2题】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）a.2 b. c. 1 d. 【答案】c【解析】因为，令，得，所以，解得，故选c.【考点定位】二项式定理的通项公式3. 【2014高考湖南卷第4题】的展开式中的系数是（ ）a. b. c.5 d.20【答案】a【解析】根据二项式定理可得第项展开式为,则时, ,所以的系数为,故选a.【考点定位】二项式定理4. 【2014大纲高考理第5题】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）a60种 b70种 c75种 d150种 【答案】c【解析】由已知可得不同的选法共有，故选c【考点定位】排列组合 5.【2014大纲高考理第13题】 的展开式中的系数为 .【答案】70.【解析】设的展开式中含的项为第项，则由通项知令，解得，的展开式中的系数为【考点定位】二项式定理 6. 【2014高考北京卷理第13题】把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有 种.【答案】36 【考点定位】排列组合 7. 【2014高考安徽卷理第13题】设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则. 【答案】3【解析】由图易知，则，即，解得.【考点定位】1.二项展开式的应用. 8. 【2014辽宁高考理第6题】6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）a144 b120 c72 d24【答案】c【解析】如图，将6把椅子依次编号为1,2,3,4,5,6，故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5”；“1,3,6”；“1,4,6”；“2,4,6”号位置做热坐人，故总数由4=24，故选d.【考点定位】排列组合. 9. 【2014全国1高考理第13题】的展开式中的系数为_.（用数字填写答案）【答案】-20 【考点定位】二项式定理 10. 【2014全国2高考理第13题】的展开式中，的系数为15，则a=_.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点定位】二项式定理 11. 【2014山东高考理第14题】 若的展开式中项的系数为20，则的最小值 .【答案】2 【考点定位】二项式定理12. 【2014四川高考理第2题】在的展开式中，含项的系数为（ ）a b c d【答案】c【解析】，所以含项的系数为15.选c【考点定位】二项式定理. 13. 【2014四川高考理第6题】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） a种 b种 c种 d种【答案】b【解析】最左端排甲，有种排法；最左端排乙，有种排法，共有种排法.选b.【考点定位】排列组合. 14.【2014浙江高考理第5题】在的展开式中，记项的系数为，则 （ ）a.45 b.60 c.120 d. 210【答案】c【解析】由题意可得，故选c【考点定位】二项式系数. 15. 【2014浙江高考理第14题】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种（用数字作答） 【答案】60【解析】不同的获奖分两种，一是有一人获两张将卷，一人获一张，共有，二是有三人各获得一张，共有，因此不同的获奖情况有60种。【考点定位】排列组合. 16. 【2014重庆高考理第9题】某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )a.72 b.120 c.144 d.168【答案】b 【考点定位】分类加法计数原理17.（2013新课标i理）9、设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m ( )a、5 b、6 c、7d、8【答案】b；【解析】，因为，解得m=6.【考点定位】本题考查二项式定理的应用以及组合数的计算，考查学生的基本运算能力.18.（2013新课标理）（5）已知（1+x）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则=（a）-4（b）-3（c）-2（d）-1【答案】d【解析】由题意知：，解得，故选d.【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 19.（2013浙江理）14、将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有_种（用数字作答）【答案】 【考点定位】此题考查排列组合知识点和排列数的计算公式，此题采用特殊元素首先考虑的方法解决，注意相邻问题的捆绑法、不相邻问题的插空法等常见方法的应用；20.（2013浙江理）11、设二项式的展开式中常数项为，则_。【答案】-10【解析】此题利用公式进行化简后，让的指数为零，即可求出，然后利用组合数的公式即可求出答案；此题注意对的指数的合并；即由，由已知得到：，所以，所以填-10；【考点定位】此题二项式定理的通项即和组合数的运算公式；21.（2013天津理）10. 的二项展开式中的常数项为 .【答案】15【解析】由二项展开式可得，=，令解得：，所以二项展开式中的常数项为=15.【考点定位】本小题主要考查二项展开式，求二项展开式中特定项是二项展开式中重点内容之一，要熟练掌握.22.（2013上海理）5设常数，若的二项展开式中项的系数为，则【答案】-2【解析】，故【考点定位】考查二项式展开式的通项及系数，属容易题。23.（2013陕西理）8. 设