高考数学一轮总复习 专题3.2 导数的应用练习（含解析）文.doc

专题3.2 导数的应用真题回放1. 【2017课标1，文21】已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围【答案】（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；（2）【解析】（2）若，则，所以若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时，若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为从而当且仅当，即时综上，的取值范围为【考点】导数应用【考点解读】本题主要考查导数的两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值2. 【2017课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+(2a+1)x（1）讨论的单调性；（2）当a0时，证明【答案】（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；（2）详见解析试题解析：（1），当时，则在单调递增，当时，则在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当时，令 （），则，解得，在单调递增，在单调递减，即，.【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式【考点解读】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.3. 【2017高考课标2 文21】设函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求的取值范围.【答案】（）在 和单调递减，在单调递增（） 【解析】试题解析：（1） 令得 当时，；当时，；当时，所以在 和单调递减，在单调递增【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【考点解读】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.4.【2017江苏，20】 已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求关于 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：; （3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】解：（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，故在r上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.因为，于是，故.因此a的取值范围为.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【考点解读】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 5.【2017高考山东 文20】已知函数.,(i)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(ii)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【答案】(i),（2）(ii)无极值；极大值为,极小值为；极大值为,极小值为.【解析】 【考点】导数的几何意义及导数的应用【考点解读】（1）求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0,求出函数定义域内的所有根；检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a,b)内有极值,那么yf(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值6.【2017天津，文19】设，.已知函数，.（）求的单调区间；（）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：在处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.【答案】（）递增区间为，递减区间为.（2）（）在处的导数等于0.（）的取值范围是.【解析】 （ii）（i）因为，由题意知，所以，解得.所以，在处的导数等于0.【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用. 【考点解读】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出 ，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.7.【2017北京，文20】已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值1；最小值.【解析】【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【考点解读】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值.考点分析考点了解a掌握b灵活运用c利用导数研究函数的单调性与极值b导数在实际问题中的应用b 导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题预测2018年的高考，不但出现考查求导法则、导数的几何意义等问题的小题，还必有考查导数的综合应用大题融会贯通题型一导数与函数的单调性典例1(1)函数yx2ln x的单调递减区间为()a(1,1) b(0,1)c(1，) d(0，)(2)已知定义在区间(，)上的函数f(x)xsin xcos x，则f(x)的单调递增区间是_【答案】(1)b(2)和【方法总结】确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，即a0，解得x1；令f(x)0，解得1 x1，所以f(x)的单调递增区间为(， 1)和(1，)；f(x)的单调递减区间为(1，1)综上所述：当a1时，f(x)在r上单调递增；当a0，故f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递减；当0a1时，令f(x)0，解得x ，则当x(0, )时，f(x)0，故f(x)在(0, )上单调递减，在( ，)上单调递增典例3(2017西安模拟)已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x(a0)(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)f(x)g(x)在上单调递减，求a的取值范围解题技巧与方法总结根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题【变式训练】已知函数f(x)exln xaex(ar)(1)若f(x)在点(1，f(1)处的切线与直线yx1垂直，求a的值；(2)若f(x)在(0，)上是单调函数，求实数a的取值范围【知识链接】函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减题型二 导数与函数的极值、最值典例1(1)(2017青岛模拟)设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是()(2)设函数f(x)在r上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()a函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)b函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)c函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)d函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】(1)c(2)d典例2(2017泉州质检)已知函数f(x)x1(ar，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值典例3(1)(2016广州模拟)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)(2017福州质检)若函数f(x)x2x1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是()a(2，) b上的最小值【解析】若ae，则当x(0，e时，f(x)0，函数f(x)在区间(0，e上单调递减，所以当xe时，函数f(x)取得最小值.综上可知，当a0时，函数f(x)在区间(0，e上无最小值；当0aa，则实数a的取值范围是_【答案】(，)典例5已知函数f(x)(a0)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在上的最大值和最小值的步骤如下：求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值知识交汇题型一导数与不等式有关的问题例1设f(x)是定义在r上的奇函数，f(2)0，当x0时，有 0的解集是()a(2,0)(2，) b(2,0)(0,2)c(，2)(2，) d(，2)(0,2)【答案】d例2设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x(1，)时，1x.【解析】(1)解由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即10，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)g(1)2，故k2.所以实数k的取值范围是(，2引申探究本例(2)中若改为：存在x0，使不等式f(x)成立，求实数k的取值范围【交汇技巧】(1)利用导数解不等式的思路已知一个含f(x)的不等式，可得到和f(x)有关的函数的单调性，然后可利用函数单调性解不等式(2)利用导数证明不等式的方法证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数f(x)f(x)g(x)，如果f(x)0，则f(x)在(a，b)上是减函数，同时若f(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有f(x)0，即证明了f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x0，h(x)2ln x，x0，则f(x)m(x)h(x)，【交汇技巧】利用导数研究方程的根(函数的零点)的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数的零点个数问题可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数题型三利用导数研究生活中的优化问题例5某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【解析】(1)因为当x5时，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)1030(x4)(x6)于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，当x4时，函数f(x)取得极大值，也是最大值所以，当x4时，函数f(x)取得最大值且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大【交汇技巧】利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；若函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最值点(4)回归实际问题作答练习检测1.（2017大庆实验中学高三仿真模拟，11）. 函数,则（ ）a. b. c. d. 的大小关系不能确定【答案】c考点：利用导数研究函数的单调性及其应用.2.（2017辽宁沈阳东北育才学校高三八模，12）. 已知函数f（x）的定义域为r，f（2）=2021，对任意x（，+），都有f（x）2x成立，则不等式f（x）x2+2017的解集为a. （2，+） b. （2，2） c. （，2） d. （，+）【答案】c【解析】令 ，则，因此不等式 ，选c.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等3.（2017江西省宜春六校联考，12）. 已知函数（为自然对数的底数）有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】a点晴：本题考查函数导数与函数的极值点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.4.（2017惠州市2017届第二次调研，21）已知函数（）求函数的单调区间；（）当时，证明：对任意的，【答案】() 当时，区间单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； ()证明见解析【解析】当时，由得，由得所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。分（）当时，要证明，只需证明，设，则问题转化为证明对任意的，分令得，容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足当变化时，和变化情况如下表递减递增分因为，且，所以，因此不等式得证。分考点：导数与函数的单调性，导数与最值导数的综合应用【名师点睛】用导数证明不等式的过程如下：（1）构造函数，转化为证明（或）；（2）利用导数求函数的单调区间，求出最值（如有）；（3）判断定义域内与0的大小关系，证明不等式难点在于构造函数，一般要对给出的不等式进行必要的等价变形，如采用两边取对数（指数）法，移项通分等等，要注意变形的方向，因此要利用函数的性质，力求变形后不等式一边出现需要的函数式5.（2017吉安一中月考，21）设函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）增区间（2）【解析】试题解析：（1），令，则，则当时，单调递减，当时，单调递增所以有，所以在上递增6分（2）当时，令，则，则单调递增，当，即时，在上递增，成立；当时，存在，使，则在上递减，则当时，不合题意，综上12分考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.6.（2017重庆市巴蜀中学月考，16）定义在上的函数的导函数为，且满足，当时有恒成立，若非负实数、满足，则的取值范围为 【答案】考点：线性规划，导数应用【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.7.（2017重庆市巴蜀中学月考，21）已知函数（）（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若函数在上为减函数，求实数的最小值；（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围【答案】（1）在递增，在递减（2）（3）【解析】试题解析：（1）时，令，解得，令，解得，在递增，在递减（2）由已知得，函数的定义域为，函数在上为减函数，在恒成立，即在恒成立令，则，得到在恒成立，得，即的最小值为（3）若存在，使得成立，问题等价于：存在，使得成立，问题等价于：“当时，有”，且，结合（2）知：当时，当时，在上恒成立，即在上单调递减，则，得到成立当时，不满足题意，综上考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式有解问题【思路点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题。8.（2017黄冈市2017年元月高三年级调研，22）已知，函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若函数有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，求证：【答案】(1)在(0,1a)单调递增，在(1a,+)单调递减；(2)(0,1)；（3）证明略【解析】f（x）在（0，）是增函数，在（，+）是减函数4分（）由（）知，当a0时，函数f（x）在（0，+）上是增函数，不可能有两个零点，（）由（）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+）是减函数分析：0，只要证明：f（）0就可以得出结论下面给出证明：构造函数：g（x）=f（x）f（x）=ln（x）a（x）（lnxax）（0x），则g（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，上为减函数0x1，则g（x1）g（）=0，又f（x1）=0，于是f（）=ln（）a（）+1f（x1）=g（x1）0又f（x2）=0，由（1）可知，即12分 考点：1导数在研究函数中的应用；2.导数在研究不等式中的应用9.（2017大庆实验中学高三仿真模拟，21）设函数f（x）=alnxbx2（x0）（1）若函数f（x）在x=1处于直线相切，求函数f（x）在上的最大值；（2）当b=0时，若不等式f（x）m+x对所有的a，x都成立，求实数m的取值范围【答案】（）；（）（，2e2试题解析：（）f（x）=2bx，.又函数f（x）在x=1处与直线y=相切，解得 f（x）=lnxx2，f（x）=x=，当x，f（x）0，f（x）递减即有f（x）的最大值为f（1）=；（）当b=0时，f（x）=alnx，若不等式f（x）m+x对所有的a，x都成立，即malnxx对所有的a，x都成立，令h（a）=alnxx，则h（a）为一次函数，mh（a）minx，lnx0，h（a）在上单调递增，h（a）min=h（1）=lnxx，mlnxx对所有的x（1，e2都成立由y=lnxx（1xe2）的导数为y=10，则函数y=lnxx（1xe2）递减，1xe2，lnxx2e2，则m2e2则实数m的取值范围为（，2e210.（2017黄冈中学高三三模，21）. 已知函数有两个不同的零点 求的最值；证明：【答案】（1），无最小值 （2）见解析试题解析： ，有两个不同的零点，在内必不单调，故，此时在上单增，上单减，无最小值 由题知，两式相减得，即故要证，即证，即证不妨设，令，则只需证.设，则设，则 在上单减，在上单增，即在时恒成立，原不等式得证【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合