高考数学二轮复习 第一部分 专题五 解析几何 第一讲 直线与圆教案.doc

第一讲 直线与圆考情分析直线与圆的方程系为高考命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多在选择题或填空题呈现.年份卷别考查角度及命题位置2017卷探索性问题与圆的弦长问题t202016卷直线与圆的位置关系及圆的面积问题t152015卷直线与圆相交问题t20卷圆的方程问题t7真题自检1(2016高考全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()abc. d2解析：因为圆x2y22x8y130的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线axy10的距离d1，解得a.答案：a2(2016高考全国卷)设直线yx2a与圆c：x2y22ay20相交于a，b两点，若|ab|2，则圆c的面积为_解析：圆c：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心c(0，a)，半径r，因为|ab|2，点c到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆c的面积为224.答案：4直线与直线方程方法结论1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2求直线方程要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3两个距离公式(1)两平行直线l1：axbyc10，l2：axbyc20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离公式d.4与已知直线l：axbyc0(a0，b0)平行的直线可改为axbym0(mc)，垂直的直线可设为bxaym0.5直线l1：a1xb1yc10，直线l2：a2xb2yc20，当l1l2时，有a1a2b1b20，当l1l2时，a1b2a2b10且a1c2a2c10.题组突破1(2017重庆一中检测)若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()a.b.c. d.解析：由已知得3(a1)a0，解得a，故选d.答案：d2“ab4”是“直线2xay10与直线bx2y20平行”的()a充分必要条件b充分而不必要条件c必要而不充分条件d既不充分也不必要条件解析：因为两条直线平行，所以斜率相等，即，可得ab4，又当a1，b4时，满足ab4，但是两直线重合，故选c.答案：c3经过直线l1：2x3y20与l2：3x4y20的交点，且平行于直线4x2y70的直线方程是()ax2y90 b4x2y90c2xy180 dx2y180解析：联立两条直线的方程得，解得x14，y10.所以l1，l2的交点坐标是(14,10)设与直线4x2y70平行的直线方程为4x2yc0(c7)，因为4x2yc0过l1与l2的交点(14,10)，所以c36，所以所求直线方程为4x2y360，即2xy180.故选c.答案：c误区警示1求直线方程时易忽视斜率k不存在情形2利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形3有关截距问题易忽视截距为零这一情形圆的方程方法结论1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2dxeyf0，其中d2e24f0，表示以为圆心、为半径的圆题组突破1当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定点c，则以c为圆心，为半径的圆的方程为()ax2y22x4y0bx2y22x4y0cx2y22x4y0dx2y22x4y0解析：由(a1)xya10得(x1)a(xy1)0，由x10且xy10，解得x1，y2，即该直线恒过点(1,2)，所求圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.答案：c2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是()a(，2)b.c(2,0)d.解析：方程为2(ya)21a表示圆，则1a0，解得2a.答案：d3(2017北京西城模拟)与直线xy20和曲线x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是()a(x2)2(y2)22b(x2)2(y2)22c(x2)2(y2)22d(x2)2(y2)22解析：由题意知，曲线为(x6)2(y6)218，过圆心(6,6)作直线xy20的垂线，垂线方程为yx，则所求的最小圆的圆心必在直线yx上，又(6,6)到直线xy20的距离d5，故最小圆的半径为，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x2)2(y2)22.答案：d4一束光线从圆c的圆心c(1,1)出发，经x轴反射到圆c1：(x2)2(y3)21上的最短路程刚好是圆c的直径，则圆c的方程为()a(x1)2(y1)24b(x1)2(y1)25c(x1)2(y1)216d(x1)2(y1)225解析：圆c1的圆心c1的坐标为(2,3)，半径为r11.点c(1,1)关于x轴的对称点c的坐标为(1，1)因为c在反射线上，所以最短路程为|cc1|r1，即14.故圆c的半径为r42，所以圆c的方程为(x1)2(y1)24，故选a.答案：a误区警示方程x2y2dxeyf0表示圆的条件是d2e24f0，易忽视这一点直线与圆的位置关系方法结论1直线和圆的位置关系的判断方法直线l：axbyc0(a2b20)与圆：(xa)2(yb)2r2(r0)的位置关系如表.方法几何法：根据d与r的大小关系代数法：消元得一元二次方程，根据判别式的符号判断相交dr0相切dr0相离dr02.弦长与切线长的计算方法(1)弦长的计算：直线l与圆c相交于a，b两点，则|ab|2(其中d为弦心距)(2)切线长的计算：过点p向圆引切线pa，则|pa|(其中c为圆心)典例(2017常州模拟)如图，已知圆心坐标为m(，1)的圆m与x轴及直线yx均相切，切点分别为a，b，另一圆n与圆m相切，且与x轴及直线yx均相切，切点分别为c，d.(1)求圆m与圆n的方程；(2)过点b作mn的平行线l，求直线l被圆n截得的弦长解析：(1)由于圆m与boa的两边相切，故m到oa，ob的距离相等，则m在boa的平分线上，同理，n也在boa的平分线上，即o，m，n三点共线，且直线on为boa的平分线，因为m(，1)，所以m到x轴的距离为1，即圆m的半径为1，所以圆m的方程为(x)2(y1)21.设圆n的半径为r，连接am，cn，则rtoamrtocn，得，即，解得r3，oc3，所以圆n的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求弦长为过点a的mn的平行线被圆n截得的弦长，此弦所在直线的方程为y(x)，即xy0，圆心n到该直线的距离d，故弦长为2.类题通法1圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解(3)直接设点，利用方程思想解决2数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点演练冲关1(2016惠州调研)圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()a内切b相交c外切 d相离解析：两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而15，所以两圆相交答案：b2圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是()a30 b18c6 d5解析：由圆x2y24x4y100知圆心坐标为(2,2)，半径为3，则圆上的点到直线xy140的最大距离为38，最小距离为32，故最大距离与最小距离的差为6.答案：c3已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.解析：由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线c是以m，n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2,0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|ab|2.若l的倾斜角不为90，由r1r知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆m相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|ab|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|ab|.综上，|ab|2或|ab|.直线、圆与其他知识的交汇问题高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线与圆和函数、不等式、平面向量、三角、数列及圆锥曲线等知识交汇，体现命题创新典例(2014高考福建卷)已知圆c：(xa)2(yb)21，平面区域：若圆心c，且圆c与x轴相切，则a2b2的最大值为()a5 b29c37 d49解析：平面区域为如图所示的阴影部分的abd，因圆心c(a，b)，且圆c与x轴相切，所以点c在如图所示的线段mn上，线段mn的方程为y1(2x6)，由图形得，当点c在点n(6,1)处时，a2b2取得最大值621237，故选c.答案：c类题通法对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法演练冲关1在平面直角坐标系xoy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于a，b两点，o为坐标原点若圆上一点c满足，则r()a2 b.c2 d.解析：已知，两边平方化简得r2，所以cos aob，所以cos，圆心o(0,0)到直线的距离为，所以，解得r.答案：b2已知圆o：x2y24，若不过原点o的直线l与圆o交于p，q两点，且满足直线op，pq，oq的斜率依次成等比数列，则直线l的斜率为()a1或1 b0或c1 d1解析：设直线l：ykxb(b0)，代入圆的方程，化简得(1k2)x22kbxb240，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，