高中数学 第二章 平面向量章末复习课导学案 新人教A版必修4.doc

第二章 平面向量学习目标1.回顾梳理向量的有关概念，进一步体会向量的有关概念的特征.2.系统整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性质.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方法.4.进一步理解向量的“工具”性作用.1.向量的运算：设a(x1，y1)，b(x2，y2).向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法ab(x1x2，y1y2)减法ab(x1x2，y1y2)数乘(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0a(x1，y1)向量的数量积运算ab|a|b|cos (为a与b的夹角)规定0a0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积abx1x2y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)向量共线定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.3.向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab有唯一实数使得ba(a0)x1y2x2y10abab0x1x2y1y20类型一向量的线性运算例1如图所示，在abc中，p是bn上的一点，若m，则实数m的值为_.答案解析设，则m(m1).与共线，(m1)0，m.反思与感悟向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题.跟踪训练1在abc中，e为线段ac的中点，试问在线段ac上是否存在一点d，使得，若存在，说明d点位置；若不存在，说明理由. 解假设存在d点，使得.().所以当点d为ac的三等分点时，.类型二向量的数量积运算例2已知a(cos ，sin )，b(cos ，sin )，且|kab|akb|(k0).(1)用k表示数量积ab；(2)求ab的最小值，并求出此时a与b的夹角的大小.解(1)由|kab|akb|，得(kab)23(akb)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.(k23)a28kab(13k2)b20.|a|1，|b|1，k238kab13k20，ab.(2)ab(k).由函数的单调性可知，f(k)(k)在(0，1上单调递减，在1，)上单调递增，当k1时，f(k)minf(1)(11)，此时a与b的夹角的余弦值cos ，60.反思与感悟数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10，abx1x2y1y20.(2)求向量的夹角和模的问题设a(x1，y1)，则|a|.两向量夹角的余弦(0)cos .跟踪训练2已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，(3m).(1)若点a，b，c能构成三角形，求实数m应满足的条件；(2)若abc为直角三角形，且a为直角，求实数m的值.解(1)若点a，b，c能构成三角形，则这三点不共线，(3，4)，(6，3)，(5m，(3m)，(3，1)，(m1，m)，与不平行，3mm1，解得m，当实数m时满足条件.(2)若abc为直角三角形，且a为直角，则，而(3，1)，(2m，1m)，3(2m)(1m)0，解得m.类型三向量坐标法在平面几何中的应用例3已知在等腰abc中，bb，cc是两腰上的中线，且bbcc，求顶角a的余弦值的大小.解建立如图所示的平面直角坐标系，设a(0，a)，c(c，0)，则b(c，0)，(0，a)，(c，a)，(c，0)，(2c，0).因为bb，cc为ac，ab边上的中线，所以()，同理.因为，所以0，即0，化简得a29c2，又因为cos a.即顶角a的余弦值为.反思与感悟把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题.这样的解题方法具有普遍性.跟踪训练3如图，半径为的扇形aob的圆心角为120，点c在上，且cob30，若，则等于() a. b. c. d.2答案a解析由题意，得aoc90，故以o为坐标原点，oc，oa所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则o(0，0)，a(0，)，c(，0)，b(cos 30，sin 30)，因为，所以(，0)(0，)(，)，即则所以.1.在菱形abcd中，若ac2，则等于()a.2 b.2c.|cos a d.与菱形的边长有关答案b解析如图，设对角线ac与bd交于点o，.()202.2.设四边形abcd为平行四边形，|6，|4.若点m，n满足3，2，则等于()a.20 b.15 c.9 d.6答案c解析abcd的图象如图所示，由题设知，|2|236169.3.已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b与a2b共线，则m的值为()a. b.2 c. d.2答案d解析ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1).ma4b与a2b共线，(2m4)(1)(3m8)40，解得m2.4.若向量(1，3)，|，0，则|_.答案2解析由题意可知，aob是以o为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|，由勾股定理得|2.5.平面向量a(，1)，b，若存在不同时为0的实数k和t，使xa(t23)b，ykatb，且xy，试求函数关系式kf(t).解由a(，1)，b，得ab0，|a|2，|b|1，由xy，得a(t23)b(katb)0，ka2tabk(t23)abt(t23)b20，即4kt33t0，所以k(t33t)，令f(t)(t33t)，所以函数关系式为kf(t)(t33t).1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，它的运算也因为这两种不同的表示方法而有两种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题.2.向量是一个有“形”的几何量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.课时作业一、选择题1.下列命题中正确的是()a.b.0c.00d.答案d解析；，ba是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即0；00.2.在平面直角坐标系xoy中，已知四边形abcd是平行四边形，(1，2)，(2，1)，则等于()a.5 b.4 c.3 d.2答案a解析四边形abcd为平行四边形，(1，2)(2，1)(3，1)，23(1)15.3.设向量a(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x等于()a.2 b.3 c.4 d.6答案b解析ab，264x0，x3.4.若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于()a.(3，6) b.(3，6)c.(6，3) d.(6，3)答案a解析设bka(k，2k)，k0，而|b|3，则3，k3，b(3，6).5.已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则等于()a.4 b.3 c.2 d.1答案b6.在abc中，若2，则abc是()a.等边三角形 b.锐角三角形c.直角三角形 d.钝角三角形答案c解析由已知，得()()0，0，()0，即0，bcac，abc为直角三角形.故选c.7.若a，b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角的大小为()a. b.c. d.答案b解析a22ab0，b22ab0， a2b2，|a|b|，又cos ，0，.8.如图所示，在abc中，addb，aeec，cd与be交于点f.设a，b，xayb，则(x，y)为()a. b.c. d.答案c解析令.由题可知，(1).令，则(1).由解得所以，故选c.二、填空题9.若|a|1，|b|2，a与b的夹角为60，若(3a5b)(mab)，则m的值为_.答案解析由题意知(3a5b)(mab)3ma2(5m3)ab5b20，即3m(5m3)2cos 60540，解得m.10.已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.答案711.在abc中，点o在线段bc的延长线上，且|3|，当xy时，xy_.答案2解析由|3|，得3，则，所以().所以x，y，所以xy2.12.已知向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为60，则b在a方向上的投影是_.答案1解析|a|b|2，a与b的夹角为60，b在a方向上的投影是|b|cos 601.13.已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_.答案解析，()()2(1)29(1)32()40，.三、解答题14.若(sin ，1)，(2sin ，2cos )，其中0，求|的最大值.解(sin ，2