高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程（1）学案 新人教A版选修21.doc

2.2.1椭圆及其标准方程(一)学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆.思考2在上述画椭圆过程中，笔尖移动需满足哪些条件？如果改变这些条件，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？答案笔尖到两图钉的距离之和不变，等于绳长.绳长大于两图钉间的距离.若在移动过程中绳长发生变化，即到两定点的距离不是定值，则轨迹就不是椭圆.若绳长不大于两图钉间的距离，轨迹也不是椭圆.梳理(1)我们把平面内与两个定点f1，f2的距离的和等于常数(大于|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：pm|mf1|mf2|2a，2a|f1f2|.(3)2a与|f1f2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|f1f2|动点的轨迹是椭圆2a|f1f2|动点的轨迹是线段f1f22abc一定成立吗？答案不一定，只需ab，ac即可，b，c的大小关系不确定.思考2若两定点a、b间的距离为6，动点p到两定点的距离之和为10，如何求出点p的轨迹方程？答案以两定点的中点为坐标原点，以ab所在直线为x轴建立直角坐标系，则a(3，0)，b(3，0).设p(x，y)，依题意得|pa|pb|10，所以10，即点p的轨迹方程为1.梳理(1)椭圆标准方程的两种形式焦点位置标准方程焦点焦距焦点在x轴上1(ab0)f1(c，0)，f2(c，0)2c焦点在y轴上1(ab0)f1(0，c)，f2(0，c)2c(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标f1(c，0)，f2(c，0)f1(0，c)，f2(0，c)a，b，c的关系b2a2c2(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标.判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”.如方程为1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标f1(0，1)，f2(0，1)，焦距|f1f2|2.类型一椭圆的定义解读例1点p(3，0)是圆c：x2y26x550内一定点，动圆m与已知圆相内切且过p点，判断圆心m的轨迹.解方程x2y26x550化标准形式为：(x3)2y264，圆心为(3，0)，半径r8.因为动圆m与已知圆相内切且过p点，所以|mc|mp|r8，根据椭圆的定义，动点m到两定点c，p的距离之和为定值86|cp|，所以动点m的轨迹是椭圆.引申探究若将本例中圆c的方程改为：x2y26x0且点p(3，0)为其外一定点，动圆m与已知圆c相外切且过p点，求动圆圆心m的轨迹方程.解设m(x，y)，据题，圆c：(x3)2y29，圆心c(3，0)，半径r3.由|mc|mp|r，故|mc|mp|r3，即3，整理得1(x0).反思与感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视.定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量.常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件.跟踪训练1下列命题是真命题的是_.(将所有真命题的序号都填上)已知定点f1(1，0)，f2(1，0)，则满足|pf1|pf2|的点p的轨迹为椭圆；已知定点f1(2，0)，f2(2，0)，则满足|pf1|pf2|4的点p的轨迹为线段；到定点f1(3，0)，f2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.答案解析b0).依题意有解得由ab0知不合题意，故舍去.当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0).依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn).则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.引申探究求与椭圆1有相同焦点，且过点(3，)的椭圆方程.解据题可设其方程为1(9)，又椭圆过点(3，)，将此点代入椭圆方程，得11(21舍去)，故所求的椭圆方程为1.反思与感悟(1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0).(2)与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2)，与椭圆1(ab0)有公共焦点的椭圆方程为1(ab0，b2).跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆的两个焦点坐标分别为f1(4，0)，f2(4，0)，椭圆上一点p到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3，2)，(5，1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).解(1)设其标准方程为1(ab0).据题2a10，c4，故b2a2c29，所求椭圆的标准方程为1.(2)设椭圆的一般方程为ax2by21(a0，b0，ab)，则解得故所求椭圆的标准方程为1.(3)设椭圆的标准方程为1(ab0).由解得所求椭圆的标准方程为y21.命题角度2用定义法求椭圆的标准方程例3已知一动圆m与圆c1：(x3)2y21外切，与圆c2：(x3)2y281内切，试求动圆圆心m的轨迹方程.解据题c1(3，0)，r11，c2(3，0)，r29，设m(x，y)，半径为r，则|mc1|1r，|mc2|9r，故|mc1|mc2|10，据椭圆定义知，点m的轨迹是一个以c1，c2为焦点的椭圆，且a5，c3，故b2a2c216.故所求动圆圆心m的轨迹方程为1.反思与感悟用定义法求椭圆标准方程的思路：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.跟踪训练3已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p到两焦点的距离分别为和，过点p作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.解设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，不妨取|pf1|，|pf2|，由椭圆的定义，知2a|pf1|pf2|2.即a.由|pf1|pf2|知，pf2垂直于长轴.在rtpf2f1中，4c2|pf1|2|pf2|2，c2，b2a2c2.又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为1或1.类型三椭圆中焦点三角形问题例4(1)已知p是椭圆1上的一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，且f1pf230，求f1pf2的面积.(2)已知椭圆1的焦点为f1，f2，点p在椭圆上.若|pf1|4，求f1pf2的大小.解(1)由椭圆的标准方程，知a，b2，c1，|f1f2|2.又由椭圆的定义，知|pf1|pf2|2a2.在f1pf2中，由余弦定理得|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cosf1pf2，即4(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|2|pf1|pf2|cos 30，即420(2)|pf1|pf2|，|pf1|pf2|16(2).|pf1|pf2|sinf1pf216(2)84.(2)由1，知a3，b，c，|pf2|2a|pf1|2，cosf1pf2，f1pf2120.反思与感悟在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数.在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|mf1|mf2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解.跟踪训练4(1)在椭圆c：1(ab0)的焦点三角形pf1f2中，f1pf2，点p的坐标为(x0，y0)，求证：pf1f2的面积c|y0|b2tan.证明|f1f2|y0|c|y0|.在pf1f2中，根据椭圆定义，得|pf1|pf2|2a.两边平方，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4a2.根据余弦定理，得|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos 4c2.，得(1cos )|pf1|pf2|2b2，所以|pf1|pf2|.根据三角形的面积公式，得|pf1|pf2|sin sin b2.又因为tan，所以b2tan.(2)已知椭圆的方程为1，椭圆上有一点p满足pf1f290(如图).求pf1f2的面积.解由已知得a2，b，所以c1.从而|f1f2|2c2.在pf1f2中，由勾股定理可得|pf2|2|pf1|2|f1f2|2，即|pf2|2|pf1|24.又由椭圆定义知|pf1|pf2|224，所以|pf2|4|pf1|.从而有(4|pf1|)2|pf1|24.解得|pf1|.所以pf1f2的面积s|pf1|f1f2|2，即pf1f2的面积是.1.已知a(5，0)，b(5，0).动点c满足|ac|bc|10，则点c的轨迹是()a.椭圆 b.直线 c.线段 d.点答案c解析因为|ac|bc|10|ab|，所以点c的轨迹是线段ab，故选c.2.若方程3x2ky21表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为()a.1 b.3 c.0 d.2答案a解析当k1时，原方程可化为1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意.3.已知椭圆c：1内有一点m(2，3)，f1，f2分别为椭圆的左，右焦点，p为椭圆c上一点，则|pm|pf1|的最大值为_，最小值为_.答案1010解析由椭圆的定义，得|pf1|2a|pf2|，即|pf1|10|pf2|，所以|pf1|pm|10|pm|pf2|.由三角形中“两边之差小于第三边”可知，当p，m，f2三点共线时，|pm|pf2|取得最大值|mf2|，最小值|mf2|.由椭圆的标准方程1可得点f2(3，0).又|mf2|，所以|pf1|pm|取得最大值10，最小值10.4.椭圆8x23y224的焦点坐标为_.答案(0，)，(0，)解析据题知1，它的焦点位于y轴上，且c，故两焦点分别为(0，)，(0，).5.求经过两点(2，)，(1，)的椭圆的标准方程.解方法一若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).同理得a24，b28，此时a20，b0，ab).将两点(2，)，(1，)的坐标分别代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.1.椭圆的定义式：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|).在解题过程中将|pf1|pf2|看成一个整体，可简化运算.2.椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决.3.凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|mf1|mf2|2a(m为椭圆上的点，f1，f2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标m(x0，y0)适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.40分钟课时作业一、选择题1.已知椭圆1上一点p到一个焦点的距离为2，则p到另一个焦点的距离为()a.1 b.4 c.3 d.22答案b解析由椭圆的定义知p到两焦点的距离之和等于2a6，故所求距离为624，故选b.2.已知椭圆5x2ky25的一个焦点坐标是(0，2)，那么k的值为()a.1 b.1 c. d.答案b解析原方程可化简为x21，由c214，得k1.3.已知椭圆1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是()a.1 b.1 c.x21 d.1答案d解析由题意