高考数学一轮总复习 专题23 解斜三角形检测 理.doc

专题23 解斜三角形本专题特别注意：1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）2. 边角互化的选取3. 正余弦定理的选取4.三角形中的中线问题 5.三角形中的角平分性问题6.多个三角形问题【学习目标】掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力【方法总结】1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即ababsin asin b.3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.高考模拟：一、单选题1的内角， ， 的对边分别为， ， 若的面积为，则a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：由面积公式和余弦定理进行计算可得。点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。2的内角的对边分别为，若的面积为，则a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。详解：由题可知所以由余弦定理所以故选c. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。3在中，则a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosc,再根据余弦定理求ab.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.4已知锐角的三个内角的对边分别为，若，则的值范围是( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三角形可得，于是可得所求范围详解：，由正弦定理得，是锐角三角形，解得，即的值范围是点睛：三角形中的最值问题，一般利用正、余弦定理将变化为角，转化为三角函数的最值问题求解，解题过程中要注意角的取值范围，如在本题中要通过“锐角三角形”这一条件得到角a的取值范围5在中，内角，所对的边分别为，若，则角（ ）a. b. c. 或 d. 或【答案】d【解析】分析：由正弦定理得，即，又由，得，所以或，分类讨论即可求解角的大小.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.6已知，为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：根据复数运算的平行四边形法则，画出平行四边形表示向量，利用正弦定理即可求出结果.详解：如图所示点睛：本题主要考查平面向量的运算法则及几何意义、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7设，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于、两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：先求出点m，n的坐标，再利用余弦定理求出之间的关系，即可得出双曲线的离心率详解：由题意得圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为设点m的坐标为，则点n的坐标为，由解得或，又，在中，由余弦定理得即，化简得，故选c点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求的值，根据直接求解(2)将条件中的几何关系用表示出来，得到含有的方程(或不等式)，借助于消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解8在中，角，所对的边分别为，且是和的等差中项，则周长的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：由得b角是钝角，由等差中项定义得a为60，再根据正弦定理把周长用三角函数表示后可求得范围点睛：本题考查解三角形的应用，解题时只要把三角形周长利用正弦定理用三角函数表示出来，结合三角函数的恒等变换可求得取值范围解题易错的是向量的夹角是b角的外角，而不是b角，要特别注意向量夹角的定义9在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：由正弦定理可化简得，再由余弦定理得，即可求解结果.点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到10已知锐角的内角为，点为上的一点，则的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，当时，从而可得的取值范围.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 11已知的面积为，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：由题意知的面积为，且，得，再由均值不等式，即可求解的最小值.详解：由题意知的面积为，且，所以，即，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值为，故选a.点睛：本题主要考查了均值不等式求最小值和三角形的面积公式的应用，其中解答中熟记均值不等式的使用条件，以及等号成立的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12已知的内角的对边分别是，且，则角（ ）a. 30 b. 45 c. 60 d. 90【答案】c【解析】分析：由余弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2coscsinc=sinc，结合sinc0，可求cosc=，结合范围c（0，），可求c=.点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意13中，的对边分别为.已知 ，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析:先化简 得到，再化简得解.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. （2）三角恒等变换方法：三看（角、名、式）三变（变角、变名、变式）.14的内角的对边分别为,已知 ，则为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：根据正弦定理，化简得，再由余弦定理求得，即可求解角的值详解：在中，已知，由正弦定理可得，通分整理得，又由余弦定理得，所以，故选b点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到15在中，则的值为（ ）a. b. c. 或 d. 或【答案】d【解析】分析：在中，由正弦定理，得，即可得到角，进而得到结论点睛：本题主要考查了正弦定理解三角形，着重考查了推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题16在中，点，分别是边，上的点，且，记，四边形的面积分别为，则的最大值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：设，又，所以，利用余弦定理和基本不等式求得，再利用三角形的面积公式，即可求解结果详解：设，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时等号成立，所以，故选c点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到17在中，的面积为2，则的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：点睛：本题主要考查了利用均值不等式求最值，及正弦定理和三角形面积公式的应用，其中解答中利用正弦定理，构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造思想的应用18在中，点在边上，且，则a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：由余弦定理可求的值，再由余弦定理可求，可得，从而可得，求得，进而中，由正弦定可解求得的值.详解：，可得，可得，可得，中，由正弦定理可得，；中，由正弦定理可得，解得，故选d.点睛：以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19已知的内角,的对边分别为，且，则a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析：根据题意，由余弦定理，将=变形可得+=，整理变形可得答案故选：a点睛：（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意20已知为锐角的外心， ， 若，且.记 ， ， ，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】分析：由已知结合数量积的几何意义列关于， ， 的方程组，求得，再由余弦定理求得，展开数量积，结合，且余弦函数在上为减函数即可得答案详解：分别取， 的中点为， ，连接， ，根据题设条件可得， .， .由得根据余弦定理可得在中，由大边对大角得： .，且余弦函数在上为减函数故选d. 点睛：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.(3)向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.21设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（ ）a. 2 b. 4 c. d. 1【答案】d【解析】分析：先利用余弦定理，求的，再利用正弦定理，即可求得外接圆的半径点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到22已知的面积为，三个内角，的对边分别为，若，则a. 2 b. 4 c. d. 【答案】a【解析】分析：由三角形面积公式及余弦定理代入条件可得，从而可得，进而得解.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意应用与该题相关的知识点以及题中所给的量，建立相应的等量关系式，最后求得结果.二、填空题23在中，角所对的边分别为，的平分线交于点d，且，则的最小值为_【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.24在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c若a=，b=2，a=60，则sin b=_，c=_【答案】 3【解析】分析:根据正弦定理得sinb,根据余弦定理解出c.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.25若的面积为,且c为钝角，则b=_；的取值范围是_.【答案】 【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，即，则为钝角，故.点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.26的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】【解析】分析：首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定a为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.点睛：该题考查的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟练应用，以及通过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得，利用面积公式求得结果.27已知的内角的对边分别为,且 ，则_【答案】【解析】分析：由题意结合正弦定理角化边可得，结合余弦定理求得c的长度，最后利用正弦定理即可求得最终结果.详解：因为 ,所以.由余弦定理得 ，又，所以. ，所以.由正弦定理得，即，解得.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.28已知，都在球面上，且在所在平面外，在球内任取一点,则该点落在三棱锥内的概率为_【答案】.【解析】分析：根据中的边角数值，可以求出的面积；因为，所以可以求得。根据正弦定理，求出的外接圆半径为2，利用球心到各个顶点的距离相等特征，求得外接球半径，因此可求得球的体积，所以两个体积的比值即为点c落在三棱锥内的概率。点睛：本题考查了三角形的面积公式、正弦定理、三棱锥的体积、三角形外接圆半径的求法、棱锥的外接球问题和几何概型，综合性强，对于各个知识点联系衔接紧密，对能力要求较高，属于难题。29在中，已知，则的最小值是_【答案】【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosc的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.30已知中，角的对边分别为，且满足，则_，_【答案】 . 2.【解析】分析：由已知利用三角函数恒等变换的应用可得sin（2a+）=，可求范围：2a+（，），利用正弦函数的图象和性质可求a的值，利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求a的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解详解：，可得：cos2a+sin2a=1，sin（2a+）=，0a，可得：2a+（，），2a+=，可得：a=b=1，sabc=bcsina=，c=2，由余弦定理可得：a=，故答案为：，2点睛：（1）本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角形面积公式，余弦定理，比例的性质及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想（2）解三角方程sin（2a+）=，一定要注意求出2a+（，），不能直接写出结果. 31在中，内角，的对边分别为，若，且，则的值为_【答案】【解析】分析：先根据正弦定理将条件化为角的关系，再根据，求出，代入即得结果.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.32如图，在平面四边形中，则四边形的面积为_【答案】【解析】分析：采用分割法对三角形进行分割，利用余弦定理求得可判断三角形与的形状，由三角形的面积公式可得结果.详解：点睛：本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.33如图所示，在平面四边形中，则_【答案】3【解析】分析：详解：设，在直角中，得，所以，在中，由余弦定理，由于，所以，即，整理得，解得.点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到34等边的边长为1，点在其外接圆劣弧上，则的最大值为_【答案】【解析】分析：引入一个参数，设，利用正弦定理把用表示，这样可把也用表示出来，然后由三角函数的性质可求得最大值 点睛：本题考查解三角形的应用，解题关键是建立三角函数的模型，题中点p在劣弧ab上移动，因此选为变量，把面积和表示的函数，结合三角函数知识求得最大值解决此类问题必须掌握两角和与差的正弦（余弦）公式、二倍角公式、正弦函数的性质、三角形的面积公式等知识，本题同时考查了学生的运算求解能力35设函数，其中， ，若对一切恒成立，则函数的单调递增区间是_【答案】三、解答题36在中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知.（i）求角b的大小；（ii）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】()；()，.【解析】分析：（）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则b=（）在abc中，由余弦定理可得b=结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（）在abc中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得b=点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围37在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a,b,c已知bsina=acos(b)（）求角b的大小；（）设a=2，c=3，求b和sin(2ab)的值【答案】()b=；()b=， 【解析】分析：（）由正弦定理有，结合，可得则b=（）在abc中，由余弦定理可得b=则结合两角差的正弦公式可得详解：（）在abc中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得又因为，可得b=（）在abc中，由余弦定理及a=2，c=3，b=，有，故b=由，可得因为ac，故因此，所以， 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围38在abc中，a=7，b=8，cosb= （）求a；（）求ac边上的高【答案】(1) a=(2) ac边上的高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求sinb,再根据正弦定理求sina，即得a；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得ac边上的高（）在abc中，sinc=sin（a+b）=sinacosb+sinbcosa=如图所示，在abc中，sinc=，h=，ac边上的高为点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.39在平面四边形中，.（1）求； （2）若，求.【答案】 (1) .(2).【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.（2）由题设及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.40如下图所示，在中，在上，且.求线段的长.【答案】【解析】分析：先根据余弦定理得ac，ab,再根据余弦定理求角b,由角平分线性质定理得pb，最后根据余弦定理求ap.详解：点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.41已知的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由，根据正弦定理可得 .由余弦定理得，从而可得结果；（2）由（1）知根据余弦定理可得，由正弦定理可得，从而，利用直角三角形的性质可得结果.详解：（1）因为.所以.由余弦定理得.又，所以.点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到42已知函数.（1）求的值域；（2）已知的内角，的对边分别为，若，求的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由题意知，由，即可求函数的值域；（2）由（1）和，求得，再由余弦定理，解得，利用三角形的面积公式，即可求解三角形