高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第49讲 直线与圆、圆与圆的位置关系学案.doc

第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2016全国卷，42016全国卷，162015重庆卷，82015江苏卷，10圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考，一般单独命题但有时也与圆锥曲线等知识综合，重点考查函数与方程，数形结合及转化与化归思想的应用.分值：5分1直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：_相交_、_相切_、_相离_(2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论过圆x2y2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.过圆(xa)2(yb)2r2上一点p(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.过圆x2y2r2外一点m(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_dr1r2_无解_外切_dr1r2_一组实数解_相交|r1r2|dr1r2_两组不同的实数解_内切d|r1r2|(r1r2)_一组实数解_内含_0d|r1r2|(r1r2)_无解_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程()(5)过圆o：x2y2r2外一点p(x0，y0)作圆的两条切线，切点为a，b，则o，p，a，b四点共圆且直线ab的方程是x0xy0yr2.()解析 (1)正确直线与圆组成的方程组有一组解时，直线与圆相切，有两组解时，直线与圆相交(2)错误因为除外切外，还可能内切(3)错误因为除小于两半径和还需大于两半径差的绝对值，否则可能内切或内含(4)错误只有当两圆相交时，方程才是公共弦所在的直线方程(5)正确由已知可得o，p，a，b四点共圆，其方程为2222，即x2y2x0xy0y0，又圆o方程为x2y2r2，得x0xy0yr2，而两圆相交于a，b两点，故直线ab的方程是x0xy0yr2.2圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是(b)a相切b相交但直线不过圆心c相交且直线过圆心d相离解析 由题意知圆心(1，2)到直线2xy50的距离d，且21(2)50，因此该直线与圆相交但不过圆心3圆o1：x2y22x0和圆o2：x2y24y0的位置关系是 (b)a相离b相交c外切d内切解析 圆o1的圆心为(1,0)，半径r11，圆o2的圆心为(0,2)，半径r22，故两圆的圆心距|o1o2|，而r2r11，r1r23，则有r2r1|o1o2|r1r2，故两圆相交4圆x2y24x0在点p(1，)处的切线方程为(d)axy20bxy40cxy40dxy20解析 圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点p在圆上，设切线方程为yk(x1)，即kxyk0，2，解得k.切线方程为y(x1)，即xy20.5直线x2y50与圆x2y2 8相交于a，b两点，则2.解析 如图，取ab中点c，连接oc，oa，则ocab，|oa|2，|oc|，|ac|，|ab|2|ac|2.一直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时，通常利用圆心到直线的距离，注意求距离时直线方程必须化成一般式【例1】 (1)直线l：mxy1m0与圆c：x2(y1)25的位置关系是(a)a相交b相切c相离d不确定(2)若直线yxb与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是 (d)ab(1,1bbcbdb(1,1或b解析 (1)由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d1，故直线l与圆相交(2)由x知，曲线表示半圆(如图所示)，当1b1时，直线yxb与半圆有一个公共点；当直线与半圆相切时，也与半圆只有一个公共点，此时1(b1)，解得b.二弦长问题求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑弦心距、垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题【例2】 已知过点a(0,1)且斜率为k的直线l与圆c：(x2)2(y3)21交于m，n两点(1)求k的取值范围；(2)若12，其中o为坐标原点，求.解析 (1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆c交于两点，所以1，解得k4，点m在圆c外部当过点m的直线斜率不存在时，直线方程为x3，即x30.又点c(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆心c到切线的距离dr2，解得k.切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点m的圆c的切线方程为x30或3x4y50.|mc|，过点m的圆c的切线长为1.四圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到【例4】 已知圆c1：(xa)2(y2)24与圆c2：(xb)2(y2)21.(1)若圆c1与圆c2外切，求ab的最大值；(2)若圆c1与圆c2内切，求ab的最大值；(3)若圆c1与圆c2相交，求公共弦所在的直线方程；(4)若圆c1与圆c2有四条公切线，试判断直线xy10与圆(xa)2(yb)21的位置关系解析 (1)由圆c1与圆c2相外切，可得213，即(ab)29，根据基本不等式可知ab2，当且仅当ab时等号成立，ab的最大值为.(2)由c1与c2内切得1，即(ab)21，又ab2，当且仅当ab时等号成立，可知ab的最大值为.(3)由题意得，把圆c1，圆c2的方程都化为一般方程圆c1：x2y22ax4ya20，圆c2：x2y22bx4yb230，由，得(2a2b)x3b2a20，即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在的直线方程(4)由两圆存在四条切线，可知两圆外离，故3.(ab)29，即ab3或ab1，直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离1(2018广东揭阳一模)已知直线xyk0(k0)与x2y24交于不同的两点a，b，o为坐标原点，且|，则k的取值范围是(b)a(，)b，2)c，)d，2)解析 由已知得圆心到直线的距离小于半径，即，又k0，故0k2.如图，取ab的中点为m，则由|得2|o|2m|，即|，即mbo，因为|ob|2，sinmbosin，所以|om|1，即1，所以k.综合得，k0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形，可知1a1.4点p在圆x2y28x4y110上，点q在圆x2y24x2y10上，则的最小值为33.解析 圆x2y28x4y110的标准方程为(x4)2(y2)29，圆x2y24x2y10的标准方程为(x2)2(y1)26.|pq|min两圆圆心距rr(r，r分别为两圆半径)，圆心距d3，|pq|min33.易错点缺乏转化思想致误错因分析：不能将问题等价转化为两圆的位置关系，而是根据题意设出直线方程，利用点到直线的距离公式建立等式，但因运算太复杂而无法求解【例1】 在平面直角坐标系xoy中，若与点a(2,2)的距离为1且与点b(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围为_解析 因为与点a(2,2)的距离为1的直线都是以点a(2,2)为圆心，半径为1的圆的切线，与点b(m,0)的距离为3的直线都是以点b(m,0)为圆心，半径为3的圆的切线，所以与点a(2,2)的距离为1且与点b(m,0)的距离为3的直线恰有两条，即圆a与b有两条公切线，也即两圆相交，所以24，解得22m2或2m22.答案 (22，2)(2,22)【跟踪训练1】 在平面直角坐标系xoy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mr)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(x1)2y22_.解析 由mxy2m10可得m(x2)y1，易知该直线过定点(2，1)，当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2(12)2(01)22，故所求圆的标准方程为(x1)2y22.课时达标第49讲解密考纲直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现一、选择题1(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a(a)abcd2解析 由圆x2y22x8y130，得圆心坐标为(1,4)，故圆心到直线axy10的距离d1，解得a.2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为(b)a内切b相交c外切d相离解析 两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为r2，r3，两圆的圆心距为，则rr0)，圆心(2，1)到直线xy10的距离d，r2d224，故圆c的方程为(x2)2(y1)24.由解得弦的两端点为(2,1)和(0，1)过弦的两端点的圆的切线方程为y1和x0.12如图所示，在平面直角坐标系xoy中，平行于x轴且过点a(3，2)的入射光线l1被直线l：yx反射，反射光线l2交y轴于b点，圆c过点a且与l1，l2都相切(1)求l2所在直线的方程和圆c的方程；(2)设p，q分别是直线l和圆c上的动点，求|pb|pq|的最小值及此时点p的坐标解析 (1)易知直线l1：y2，设l1交l于点d，则d(2，2)，因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为30，所以l2的倾斜角为60，所以k2，所以反射光线l2所在的直线方程为y2(x2)，即xy40.由题意，知圆c与l1切于点a，设圆心c的坐标为(a，b)，因为圆心c在过点d且与l垂直的直线上，所以ba8，又圆心c在过点a且与l1