奥数竞赛 第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷及答案.doc

第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷及答案一、 填空（每题10分，共80分）1“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是 。2计算； 。图13如图书1所示，两个正方形ABCD和DEFG的边长都是整数厘米，点E在线段CD上，且CEDE，线段CF=5厘米，则五边形ABCFG的面积等于 平方厘米。4将从小到大排列，第三个数是 。5图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱关，底面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米，将水瓶倒置后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于 立方厘米。（取=3.14，水瓶壁厚不计）6一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于 ，从这列数的第 个数开始，第个都大于2007。7一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是 。8.用一些棱长是1的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如图3 ，从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是 。二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9如图5，在三角形ABC中，点D在BC上，且ABC=ACB，ADC=DAC，DAB=21，求ABC的度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形。图510李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒，已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？11图6是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的“小九宫”格，其中，有一些小方格填有1至9的数字，小青在第4列的空格中各填入了一个1至9中的自然数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都要不重复，然后小青将第4列的数字从上向下写成一个9位数，请写出这个9位数，并且简单说明理由。12某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分。已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学占全班同学的比例至少是多少？三、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13如图7，连接一个正六边形的各顶点，问图中共有多少个等腰三角形（包括等边三角形）？14圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，6，7。小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，放置了第k-1个盒子，并将第k枚白色棋子放在一个盒子中，小明按照这个规则放置了200枚白色棋子，随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放入了300枚红色棋子，请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？第十二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷参考答案一、填空（每题10分，共80分）题号12345678答案2549489039810.5711727486;87448注：第6题，每空5分二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9解：由已知条件，ABC=ACB，ADC=DAC，由三角形内角和是180，在三角形ADC中， ADC=（给4分）又因为BDA+ADC=180,所以 BDA=180-ADC=180-（90-ABC）=90+ABC在三角形BAD中，ABC+21+BDA=180，即：ABC+21+（90+ABC）=180，解得ABC=46（给4分）又因为BAC=88, ABC=ACB=46, ADC=DAC=67,BDA=113因此图中的三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形（给2分）答：ABC=46，三角形ABC与三角形CAD都是锐角三角形。评分参考：见解答过程；仅给出正确答案，无过程，只给4分。10解：设货车车速为千米/小时，由题意，解上面方程 得到 （千米/小时）答：货车车速为每小时44千米。11解：填数的方法是排除法，用（m,n）表示位于第m行和第n列的方格 方格图（题目中涂6）第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以，在方格（6，4）中只能填数字8；第3行和第5行中都有数字9，所以在方格（7，4）中只能填9；正中的“小九宫”格中已经有7，所以，7只能填在方格（3，4）中了；此时，在第4列中只余下方格（5，4），6只能在（5，4）中，见图6a，这个9位数是327468951图6a12.解：为使全班同学的平均成绩达到90分，需要将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为一组，即得优的同学至少应当是没有得优同学的两倍，才能确保全班同学的平均成绩不少于90分。三、13分析：（1）图7中的等边三角形按照面积大小分类有3种类型，共14个图7a中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，图7中有6个小号等边三角形。图7b中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，图中有6个中号等边三角形；图7c中，大号等边三角形有2个。（2）图7中的非等边等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，共有24个，见图7d.图7d小号（黑色）等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其长边，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，见图7d,正六边形共有6条边，所以有6个小号等腰三角形；中号（圆点）等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图7e，这样的弦共有6条，所以有12个中号三角形；图7e大号（灰色）等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上有对应有2个大号三角形，如图7f，共有3条直径，所以有6个大号（灰色）等腰三角形；图7f答：图中共有38个等腰三角形。14.解答：按照题意，如果依顺时针方向不间断地给这7个盒子编号，则1号盒子可以有的编号是1，8，15，22，7k+1,2号盒子可以有的编号是2，9，16，23，7k+2，7号盒子可以有的编号是7,14,21,，7k+7.所以，200=728+4，经过28次循环后，第197枚白色棋子放在1号盒子，第198枚和第200枚白色棋子放在3号盒子，第199枚白色棋子放在6号盒子，所以，1号盒子中有57枚白色棋子，3号盒子中有58枚白色棋子；6号盒子中有29枚白色棋子；7号盒子有56枚白色棋子，其余盒子中没有白色棋子。小青依逆时针方向放置红色棋子，我们可以将1号盒子仍视为1号，7号则视为2号，6号视为3号，5号视为4号，4号视为5号，3号视为6号，2号视为7号。此时，300=742+6