高中数学 11.9离散型随机变量的均值与方差配套课件 北师大版.ppt

第九节离散型随机变量的均值与方差 三年22考高考指数 1 理解取有限个值的离散型随机变量均值 方差的概念 2 会求简单离散型随机变量的均值 方差 并能利用离散型随机变量的均值 方差概念解决一些简单问题 1 离散型随机变量的均值是高考考查的重点 2 数形结合 分类讨论是解决均值与方差问题的重要思想方法 3 题型以解答题为主 常与分布列等知识综合考查 离散型随机变量的均值与方差 1 离散型随机变量x的分布列 p1 p2 pi pn 2 离散型随机变量x的均值与方差 反映了离散型随机变量x取值的 刻画了随机变量x与其均值ex的 中心位置 平均偏离程度 即时应用 1 思考 随机变量的均值 方差与样本均值 方差的关系是怎样的 提示 随机变量的均值 方差是一个常数 样本的均值 方差是一个变量 随着样本容量的增加 样本的均值 方差趋于随机变量的均值 方差 2 随机变量x的分布列如表 则x的数学期望是 解析 由题知 0 2 0 5 m 1 m 0 3 ex 1 0 2 2 0 5 3 0 3 2 1 答案 2 1 3 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 从中任取3件 若x表示取到次品的个数 则ex 解析 x的取值为0 1 2 3 则p x 0 p x 1 p x 2 p x 3 ex 答案 4 甲 乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量x y 其分布列分别为 若甲 乙两人的日产量相等 则甲 乙两人中技术较好的是 解析 甲 乙一天中出现废品数的均值分别为ex 0 0 4 1 0 3 2 0 2 3 0 1 1 ey 0 0 3 1 0 5 2 0 2 0 9 所以ex ey 故乙的技术较好 答案 乙 离散型随机变量的均值与方差 方法点睛 求离散型随机变量 的均值与方差的方法 1 理解 的意义 写出 可能取的全部值 2 求 取每个值的概率 3 写出 的分布列 4 由均值的定义求e 5 由方差的定义求d 例1 2011 福建高考 某产品按行业生产标准分成8个等级 等级系数x依次为1 2 8 其中x 5为标准a x 3为标准b 已知甲厂执行标准a生产该产品 产品的零售价为6元 件 乙厂执行标准b生产该产品 产品的零售价为4元 件 假定甲 乙两厂的产品都符合相应的执行标准 1 已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示 且x1的数学期望e x1 6 求a b的值 2 为分析乙厂产品的等级系数x2 从该厂生产的产品中随机抽取30件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数x2的数学期望 3 在 1 2 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具可购买性 说明理由 注 1 产品的 性价比 2 性价比 大的产品更具可购买性 解题指南 1 利用期望公式和ex1 6以及分布列中的所有概率和为1 联立关于a b的方程组 解方程组求得a b的值 2 根据题中提供的数据 列等级系数x2的概率分布列 再利用期望公式求期望 3 根据 性价比 公式求两工厂的产品的性价比 性价比 大的产品更具可购买性 规范解答 1 因为ex1 6 所以5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 又由x1的概率分布列得0 4 a b 0 1 1即a b 0 5 由 解得 2 由已知得 样本的频率分布表如下 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数x2的概率分布列如下 所以ex2 3 0 3 4 0 2 5 0 2 6 0 1 7 0 1 8 0 1 4 8 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4 8 3 乙厂的产品更具有可购买性 理由如下 因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 价格为6元 件 所以其性价比为因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4 8 价格为4元 件 所以其性价比为 1 2 所以乙厂的产品更具可购买性 反思 感悟 求离散型随机变量的均值与方差时 关键是先求出随机变量的分布列 求离散型随机变量的分布列时要注意两个问题 一是求出随机变量所有可能的值 二是求出取每一个值时的概率 求概率时 要注意概率类型的确定与转化 如古典概型 互斥事件的概率 相互独立事件同时发生的概率 n次独立重复试验有k次发生的概率等 变式训练 在一次电视节目的抢答中 题型为判断题 只有 对 和 错 两种结果 其中某明星判断正确的概率为p 判断错误的概率为q 若判断正确则加1分 判断错误则减1分 现记 该明星答完n题后总得分为sn 1 当p q 时 记 s3 求 的分布列及数学期望及方差 2 当时 求s8 2且si 0 i 1 2 3 4 的概率 解析 1 s3 的取值为1 3 又故p 1 p 3 所以 的分布列为 且e d 2 当s8 2时 即答完8题后 回答正确的题数为5题 回答错误的题数是3题 又已知si 0 i 1 2 3 4 若第一题和第二题回答正确 则其余6题可任意答对3题 若第一题和第三题回答正确 第二题回答错误 则后5题可任意答对3题 此时的概率为p 变式备选 如图 一个小球从m处投入 通过管道自上而下落入a或b或c 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的 某商家按上述投球方式进行促销活动 若投入的小球落到a b c 则分别设为1 2 3等奖 1 已知获得1 2 3等奖的折扣率分别为50 70 90 记随机变量 为获得k k 1 2 3 等奖的折扣率 求随机变量 的分布列及期望e 2 若有3人次 投入1球为1人次 参加促销活动 记随机变量 为获得1等奖或2等奖的人次 求p 2 解析 1 由题意得 的分布列为则e 2 由 1 可知 获得1等奖或2等奖的概率为 由题意得 b 3 则p 2 与二项分布有关的期望与方差 方法点睛 与二项分布有关的期望与方差的求法 1 求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果服从 b n p 则用公式e np d np 1 p 求解 可大大减少计算量 2 有些随机变量虽不服从二项分布 但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布 这时 可以综合应用e a b ae b以及e np求出e a b 同样还可求出d a b 提醒 e a b ae b 但注意d a b ad b d a b ad 例2 2012 洛阳模拟 某商场在 五一 节期间搞促销活动 决定从1种品牌的洗衣机 3种品牌的电视机和2种品牌的电冰箱中 选出3种品牌的商品进行促销 1 求选出的3种品牌的商品中至少有一种是电冰箱的概率 2 该商场对选出的商品采用有奖销售的促销方案 即在该商品现价的基础上先将价格提高200元 同时 若顾客购买该商品 则允许有3次抽奖的机会 若中奖 则每次中奖都获得a元奖金 假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是 设顾客在三次 抽奖中所获得的奖金总额 单位 元 为随机变量 求 的分布列 3 在 2 的条件下 问该商场若想采用此促销方案获利 则每次中奖奖金要低于多少元 解题指南 在 1 中利用对立事件求 在 2 中利用二项分布求解 在 3 中利用两个随机变量的关系 比较期望即可 解析 1 从总共6种型号的商品中选出3种型号的商品一共有 20种选法 选出的3种型号的商品中没有电冰箱的选法有 4种 所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电冰箱的概率为 2 设中奖的次数为 则 b 3 的分布列为 3 由 b 3 e 2 又 a e 2a 要使促销方案对商场有利 应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额 因此2a 200 a 100 故每次中奖奖金要低于100元 才能使促销方案对商场有利 反思 感悟 是随机变量 则 f 一般也是随机变量 在求 的均值和方差时 熟练应用均值和方差的性质 可以避免再求 的分布列带来的繁琐运算 变式训练 2012 深圳模拟 为了评估天气对大运会的影响 制定相应预案 深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析 发现8月份是深圳市雷电天气高峰期 在31天中平均发生雷电14 57天 如图 如果用频率作为概率的估计值 并假定每一天发生雷电的概率均相等 且相互独立 1 求在大运会开幕 8月12日 后的前3天比赛中 恰好有2天发生雷电天气的概率 精确到0 01 2 设大运会期间 8月12日至23日 共12天 发生雷电天气的天数为x 求x的数学期望和方差 解析 1 设8月份一天中发生雷电天气的概率为p1 由已知因为每一天发生雷电的概率均相等 且相互独立 所以 在大运会开幕后的前3天比赛中 恰好有2天发生雷电天气的概率 0 351231 0 35 2 由已知x b 12 0 47 所以 x的数学期望ex 12 0 47 5 64 x的方差dx 12 0 47 1 0 47 2 9892 均值与方差的实际应用 方法点睛 均值与方差的实际应用 1 dx表示随机变量x对ex的平均偏离程度 dx越大表明平均偏离程度越大 说明x的取值越分散 反之 dx越小 x的取值越集中在ex附近 2 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差反映了随机变量稳定于均值的程度 它们从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据 一般先比较均值 若均值相同 再用方差来决定 例3 某突发事件 在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0 3 一旦发生 将造成400万元的损失 现有甲 乙两种相互独立的预防措施可供采用 单独采用甲 乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元 采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0 9和0 85 若预防方案允许甲 乙两种预防措施单独采用 联合采用或不采用 请确定预防方案使总费用最少 总费用 采取预防措施的费用 发生突发事件损失的期望值 解题指南 要确定预防方案的总费用应分别计算出采取预防措施的费用和发生突发事件损失的均值 可从 不采取预防措施 单独采取预防措施甲 单独采取预防措施乙 联合采取甲 乙两种预防措施 四种情况考虑 规范解答 不采取预防措施时 总费用即损失期望为400 0 3 120 万元 若单独采取预防措施甲 则预防措施费用为45万元 发生突发事件的概率为1 0 9 0 1 损失期望值为400 0 1 40 万元 所以总费用为45 40 85 万元 若单独采取预防措施乙 则预防措施费用为30万元 发生突发事件的概率为1 0 85 0 15 损失期望值为400 0 15 60 万元 所以总费用为30 60 90 万元 若联合采取甲 乙两种预防措施 则预防措施费用为45 30 75 万元 发生突发事件的概率为 1 0 9 1 0 85 0 015 损失期望值为400 0 015 6 万元 所以总费用为75 6 81 万元 综合 比较其总费用可知 选择联合采取甲 乙两种预防措施 可使总费用最少 反思 感悟 解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 求得该事件发生的概率 对于实际问题要通过分析题意抽象出具体的数学模型来求解 变式训练 某慈善机构举办一次募捐演出 有一万人参加 每人一张门票 每张100元 在演出过程中穿插抽奖活动 第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取10张 其持有者获得价值1000元的奖品 并参加第二轮抽奖活动 第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮 电脑随机产生两个数x y x y 1 2 3 随即按如图所示程序框图运行相应程序 若电脑显示 中奖 则抽奖者获得9000元奖金 若电脑显示 谢谢 则不中奖 1 已知小曹在第一轮抽奖中被抽中 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率 2 若小叶参加了此次活动 求小叶参加此次活动收益的期望 3 若此次募捐除奖品和奖金外 不计其他支出 该机构想获得96万元的慈善款 问该慈善机构此次募捐是否能达到预期目标 解析 1 从1 2 3三个数字中有重复地取2个数字 其基本事件有 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 共9个 设 小曹在第二轮抽奖中获奖 为事件a 且事件a所包含的基本事件有 3 1 3 3 共2个 2 设小叶参加此次活动的收益为 的可能取值为 100 900 9900 p 9900 的分布列为 e 3 由 2 可知 购票者每人收益期望为 97 有一万人购票 除奖金和奖品外 不计其他支出 该机构此次收益期望为97 10000 970000元 97万元 97 96 该慈善机构此次募捐能达到预期目标 满分指导 离散型随机变量均值问题的规范解答 典例 12分 2011 天津高考 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有3个白球 2个黑球 乙箱子里装有1个白球 2个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球 若摸出的白球不少于2个 则获奖 每次游戏结束后将球放回原箱 1 求在1次游戏中 摸出3个白球的概率 获奖的概率 2 求在2次游戏中获奖次数x的分布列及数学期望ex 解题指南 1 根据古典概型 互斥事件的概率公式求解 2 先求出独立事件的概率 再求数学期望 规范解答 1 设 在1次游戏中摸出i个白球 为事件ai i 0 1 2 3 则 2分 设 在1次游戏中获奖 为事件b 则b a2 a3 又 4分且a2 a3互斥 所以p b p a2 p a3 6分 2 由题意可知x的所有可能取值为0 1 2 7分 10分所以x的分布列是x的数学期望ex 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示与备考建议 1 2011 浙江高考 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 得到乙 丙两公司面试的概率均为p 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记x为该毕业生得到面试的公司个数 若p x 0 则随机变量x的数学期望ex 解析 由p x 0 可得从而p x 1 p x 2 p x 3 所以ex 答案 2 2011 上海高考 马老师从课本上抄录一个随机变量