七级数学上册 5.3 解一元一次方程 以不变应万变素材 （新版）冀教版.doc

以不变应万变庄子齐物论有一则寓言说：某人养了一些猴子，原来每天早上给猴子吃三个橡子，晚上给四个过了一段时间，猴子嫌每天得到的橡子太少，对主人很不满主人便对猴子说，今后每天早上吃四个橡子，晚上吃三个橡子猴子们便很高兴了后来人们就用“朝三暮四”来比喻变化无常的行为其实，猴子得到橡子的方式与时间虽然变了，但橡子的总数却没有变在任何事物的运动变化中，总有相对不变的东西，这些变化中不变的东西，往往是最重要的人们在处理一些变化复杂，难于驾控的问题时，如能抓住变化中不变的东西，“以不变应万变”，往往能收到意想不到的效果上述那位养猴者就是抓住了“总数不变”这一要素，“以不变应万变”，迅速平息了猴群的反抗，又没有增加任何开支数学特别关心变化中不变的东西(简称不变量)，利用不变量常常能找到复杂问题的突破我们再看一则也与猴子有关的数学趣题诺贝尔奖金获得者，著名物理学家李政道博士在1979年春专程访问了中国科技大学少年班，他给少年班的同学们出了一道数学趣题，并鼓励大家要用最简单的解法做出来那道题目是这样的：“五只猴子在一个小岛上发现了一堆桃子，它们想平均分配，但是无论如何也分不开于是它们相约大家去睡觉，明天再分晚上第一只猴子乘大家熟睡，爬起来走到桃子边，吃掉了其中的一个，剩下的恰好可平分作五份这个猴子拿走其中一份藏起来，然后重新去睡觉过了一会第二个猴子又爬起来在剩下的桃子中拿一个吃了，其余的又恰好能分作5份，第二个猴子也藏了其中一份再去睡觉接着第三，第四个猴子都照此办理最后第五个猴子起来，把剩下的桃子吃了一个，余下的也恰能分作5份问最少有多少只桃子”这是一个在全世界早负盛名的难题趣题，李政道博士指出，著名数理逻辑学家怀德海曾经给出一个巧妙的解法美国当代著名的数学科普作家马丁加德纳声称：“这不是一个简单的题目”美国作家本艾姆斯威廉还把它作为素材，写成一篇小故事发表，只不过把桃子换成了椰子一道小题目有这么多名人来插手，李博士又旧趣重提，这个题目便“一登龙门，身价十倍”，从此在我国广为流传，引为佳话这个问题的一般解法是求不定方程的正整数解，例如当年中国青年杂志在报道这一新闻时配发的解答就是用的这一方法但这个方法比较繁，特别是当猴子的数目很大时，计算量非常大后来，数学爱好者纷纷从不同的角度给出了一些巧妙的解法如果要在这些为数众多的解法中“选美”的话，则下面的“以不变应万变”的方法恐怕要独占鳌头了首先我们采取以退为进的策略，把问题的答案放宽到允许为负整数，问题就好办得多其实这是很好理解的如果我们把五只猴子换成五个兄弟，把分桃子换成分父亲遗下的金元宝，如果父亲负债，金元宝的数目就是负整数，这意味着弟兄们要分摊债务如果问题的答案允许是负数的话，我们很快就会发现，如果桃子的个数为-4(为了方便，我们把桃子称为“真桃子”，而把个数为负数的桃子称为“负桃子”，吃掉或拿走一个“真桃子”等于增加一个“负桃子”；减少一个“负桃子”，等于增加一个“真桃子”)的话，就适合本题答案因为开始共有4个负桃子，第一个猴子来了，吃掉一个(真桃子)，便成为5个负桃子，恰好可以分成5份，这个猴子藏掉其中一份(一个负桃子)，又回到剩下4个负桃子同样地，第二个猴子来了，在它吃一个(真桃子)藏一份(一个负桃子)之后，又变为剩下4个负桃子这样，不管有多少只猴子，在它们一吃一藏之后，总是恰好还有4个负桃子这就是一个不变量抓住了这个不变量，问题就好办了现在我们利用这一思想，回到实际问题中来；设开始有x个桃子，我们把x写成(x+4)-4第一个猴子来了，吃掉1个，还有桃子(x+4)-x-1=(x+4)-5，这时恰好可分成5份，每份的桃子数为必须是整数，所以，是5的倍数。第一猴子藏掉一份厚，剩下的桃子数为。(真桃子减少了，变化了，负桃子是不变量！)同样地，第二个猴子来了，一吃一藏之后，剩下的桃子数