高考数学一轮复习专题5.2平面向量的基本定理练习（含解析）.docx

5.2 平面向量的坐标运算【套路秘籍】-千里之行始于足下一、平面向量的坐标运算1向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2x1，y2y1）.2向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则abx1y2x2y1=0.4向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一 坐标运算【例1】（1）已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为(2)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，ambnc(m，nR)，则mn【答案】（1）(2,0) （2）-2【解析】（1）设N(x，y)，则(x5，y6)(3,6)，x2，y0.（2）由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)mbnc(6mn，3m8n)，解得mn2.【套路总结】平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解【举一反三】1.设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值是()A2 B4 C6 D8【答案】D【解析】由题意可得，(1，2)，(a，1)，(b,0)，所以(a1,1)，(b1，2)又A，B，C三点共线，即(a1)21(b1)0，2ab1，又a0，b0，(2ab)4448，当且仅当时，取“”故选D.2已知点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1)若向量与向量a(，1)共线，则_.【答案】【解析】点P(1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，1)，向量22(11，12)(4，6)又与向量a(，1)共线，4160，即.3.已知a(5，2)，b(4，3)，若a2b3c0，则c等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】由已知3ca2b(5,2)(8，6)(13，4)所以c.考向二 平面向量在几何中 的运用【例2】已知ABC的三个顶点的坐标为A(0，1)，B(1,0)，C(0，2)，O为坐标原点，动点M满足|1，则|的最大值是()A.1 B.1 C.1 D.1【答案】A【解析】设点M的坐标是(x，y)，C(0，2)，且|1，1，则x2(y2)21，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，A(0,1)，B(1,0)，(x1，y1)，则|，几何意义表示：点M(x，y)与点N(1，1)之间的距离，即圆C上的点与点N(1，1)的距离，点N(1，1)在圆C外部，|的最大值是|NC|111.故选A.【举一反三】1.在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与圆相交于两点，若点在圆上，则实数（ ）A B C D【答案】C考向三 向量中的坐标【例3】给定两个长度为的平面向量，它们的夹角为.如图1所示，点在以为圆心的圆弧上变动.若其中，则的最大值是【答案】2【解析】解法1（ 考虑特值法） 当与重合时，当与重合时，当从的端点向圆弧内部运动时， 于是猜想当是的中点时，取到最大值. 当是的中点时，由平面几何知识是菱形，猜想的最大值是. 解法二（考虑坐标法）建立如图3，所示的平面直角坐标系，设，则.于是可化为：， （1）解法2 函数法求最值 由方程组（1）得： ，又，当时，解法3 不等式法求最值 由方程组（1）得：，由，及得：，当且仅当时取等号.思考方向三 考虑向量的数量积的运算解法4 两边点乘同一个向量设，则 ，又，当时，解法5 两边平方法，当且仅当时取等号，思考方向四 考虑平行四边形法则 过作交于，作交于，则是平行四边形，由向量加法的平行四边形法则得：，在中，设，则 ， 且解法6 利用正弦定理，由等比性值得：，当时，解法7 利用余弦定理，当且仅当时取等号，【举一反三】1.如图，已知平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，求的值【答案】6【解析】方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则，因为与的夹角为120，与的夹角为30，所以B1OC90.在RtOB1C中，OCB130，|2，所以|2，|4，所以|4，所以42，所以4，2，所以6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)由，得解得所以6.2.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DECD，若点P为CD的中点，且，则.【答案】【解析】由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，E(1,1)，(1,0)，(1,1)，(，)，又P为CD的中点，1，.【运用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1在ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则向量的坐标为_【答案】(3，5)【解析】，(1，1)，(3，5)2.已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)，若a2b与c共线，则k_.【答案】1【解析】a2b(，3)，且a2bc，3k0，解得k1.3.线段AB的端点为A(x,5)，B(2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|2|，则xy.【答案】2或6【解析】由已知得(1x，4)，22(3,1y)由|2|，可得2，则当2时，有解得此时xy2；当2时，有解得此时xy6.综上可知，xy2或6.4. 已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为【答案】(3,3)【解析】方法一由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44,4)又(2,6)，由与共线，得(44)64(2)0，解得，所以(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)方法二设点P(x，y)，则(x，y)，因为(4,4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2,6)，且与共线，所以(x4)6y(2)0，解得xy3，所以点P的坐标为(3,3)5.已知向量a，b(x,1)，其中x0，若(a2b)(2ab)，则x.【答案】4【解析】向量a，b(x,1)，a2b，2ab(16x，x1)，(a2b)(2ab)，(82x)(x1)(16x)0，即x2400，又x0，x4.6在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为【答案】3【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连结CE，则CEBD.CD1，BC2，BD，EC，即圆C的半径为，P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2.设P(x0，y0)，则(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)(0,1)(2,0)(2，)，x01cos ，y01sin .两式相加，得1sin 1cos 2sin()3，当且仅当2k，kZ时，取得最大值3.7.在直角梯形ABCD中，ABAD，DCAB，ADDC2，AB4，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧DEM上变动(如图所示)若，其中，R，则2的取值范围是【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，E(2,0)，D(0,2)，F(3,1)，P(cos ，sin )，即(cos ，sin )，(2,2)，(3,1)，(cos ，sin )(2,2)(3,1)，cos 23，sin 2，(3sin cos )，(cos sin )，2sin cos sin.，.sin.8.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量mn(m，n为实数)，求mn的最大值【答案】5【解析】如图所示，设点O为正六边形的中心，则.当动圆Q的圆心经过点C时，与边BC交于点P，点P为边BC的中点连结OP，则，与共线，存在实数t，使得t，则tt()(1t)(1t)，此时mn1t1t2，取得最小值当动圆Q的圆心经过点D时，取AD的延长线与圆Q的交点为P，则，此时mn5，为最大值9.在ABC中，AB3，AC2，BAC60，点P是ABC内一点(含边界)，若，则|的最大值为_【答案】【解析】以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，AB3，AC2，BAC60，A(0,0)，B(3,0)，C(1，)，设点P为(x，y)，0x3，0y，(x，y)(3,0)(1，)(2，)，y(x2)，直线BC的方程为y(x3)，联立，解得此时|最大，|.10.已知三角形ABC中，ABAC，BC4，BAC120，3，若点P是BC边上的动点，则的取值范围是_【答案】【解析】因为ABAC，BC4，BAC120，所以ABC30，AB.因为3，所以.设t，则0t1，所以t，又，所以(t)2tt2t4cos1504cos150t424t，因为0t1，所以4t，即的取值范围是.11在矩形ABCD中，AB，BC，P为矩形内一点，且AP，若(，R)，则的最大值为_【答案】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)，B(，0)，C(，)，D