浙江省中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题 第35讲 方程、函数思想型问题讲解篇.doc

第35讲方程、函数思想型问题(建议该讲放第16讲后教学)内容特性1.在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，从而使问题获得解决的思想方法称为方程思想2函数思想是指用变量和函数来思考问题的一种方法，借助函数知识来探求变量之间关系的一种思维方式，以生产、生活和学科问题为背景，结合方程、几何图形等知识进行问题解决的一种解题策略，是刻画现实世界的一个有效的数学模型.解题策略(1)解决函数综合问题时，注意数形结合，在函数、方程、不等式之间灵活转化；(2)解决几何综合问题时，常从面积关系，勾股定理、相似性质寻求关系列方程、函数求解；(3)解决生活中应用问题时，从一些常见数量关系模型入手，建立方程、函数求解；(4)对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，运用函数基本性质和方法，从而更快更好地解决问题.基本思想利用方程思想解决问题时，经常涉及函数思想和数形结合思想；利用函数思想解决问题时，充分运用函数数学思想分析问题，经常涉及函数与方程、不等式，函数与图象.类型一运用方程思想求解几何综合性问题如图，在abc中，babc20 cm，ac30 cm，点p从点a出发，沿ab以每秒4 cm的速度向点b运动；同时q点从c点出发，沿ca以每秒3 cm的速度向点a运动设运动的时间为x秒(1)当x为何值时，pqbc?(2)apq能否与cqb相似？若能求出ap的长；若不能请说明理由【解后感悟】由相似三角形的对应边成比例，可列出分式方程，从而求解；在已知一个角对应相等的前提下考虑两个三角形相似时，有两种情况，不可遗漏1 (2016舟山)如图，矩形abcd中，ad2，ab3，过点a，c作相距为2的平行线段ae，cf，分别交cd，ab于点e，f，则de的长是()a. b. c1 d.类型二运用函数思想求解方程、不等式问题(2017杭州)在平面直角坐标系中，设二次函数y1(xa)(xa1)，其中a0.(1)若函数y1的图象经过点(1，2)，求函数y1的表达式；(2)若一次函数y2axb的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；(3)已知点p(x0，m)和q(1，n)在函数y1的图象上，若mn，求x0的取值范围 【解后感悟】二次函数关系式转化为方程，解(1)的关键是利用待定系数法；解(2)的关键是把点的坐标代入函数解析式；解(3)的关键是利用二次函数的性质，解不等量关系，同时要分类讨论，以防遗漏2(1)已知函数yx和y的图象如图，则不等式x的解集为()a2x2 b2x2 cx2 (1)图 (2)图(2)如图，已知函数y与yax2bx(a0，b0)的图象交于点p，点p的纵坐标为1，则关于x的方程ax2bx0的解为.类型三运用方程、函数思想求解几何最值问题(2016黄冈模拟)如图，在abc中，acb90，acbc6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于ab的中点o，两直角边分别经过点b、c，然后将三角板绕点o按顺时针方向旋转一个角度(090)，旋转后，直角三角板的直角边分别与ac、bc相交于点k、h, 四边形chok是旋转过程中三角板与abc的重叠部分(如图所示)，那么，在上述旋转过程中：(1)线段bh与ck具有怎样的数量关系？四边形chok的面积是否发生变化？证明你发现的结论；(2)连结hk，设bhx.当ckh的面积为时，求出x的值；试问ohk的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由【解后感悟】本题利用方程、函数思想把问题构建为方程、函数模型，再用方程、函数知识来解决问题解题的关键是根据题意列出方程、函数关系式3 (2015德州模拟)一个包装盒的设计方法如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得abcd四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形的包装盒，e、f是在ab上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设aefbxcm.若广告商要求包装盒侧面积s(cm2)最大，试问x应取的值为cm.类型四运用方程、函数思想求解三角形、四边形与圆问题(2015汕尾)如图，已知直线yx3分别与x、y轴交于点a和b.(1)求点a、b的坐标；(2)求原点o到直线l的距离；(3)若圆m的半径为2，圆心m在y轴上，当圆m与直线l相切时，求点m的坐标【解后感悟】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，相似三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，借助这些知识，再利用方程、函数思想来解决问题以此设计问题在中考中出现的频率很高，是中考中比较典型的题型4 如图，已知抛物线yx2bx与直线y2x交于点o(0，0)，a(a，12)点b是抛物线上o，a之间的一个动点，过点b分别作x轴、y轴的平行线与直线oa交于点c，e.(1)求抛物线的函数解析式；(2)若点c为oa的中点，求bc的长；(3)以bc，be为边构造矩形bcde，设点d的坐标为(m，n)，求出m，n之间的关系式 类型五运用方程、函数思想求解实际问题某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y2x100.(利润售价制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【解后感悟】本题是通过方程、函数思想解决实际问题，一是通过方程思想列函数解析式，二是通过函数思想解决变量间关系5(2015济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题：服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价80元，售价120元；乙种每件进价60元，售价90元计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件(1)若购进这100件服装的费用不得超过7500元，则甲种服装最多购进多少件？(2)在(1)的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠a(0a20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？【开放探究题】实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y200x2400x刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x可近似地用反比例函数y(k0)刻画(如图所示)(1)根据上述数学模型计算：喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？当x5时，y45.求k的值；(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由【方法与对策】本题实质是通过方程、函数思想解决反比例函数与二次函数综合应用问题，根据图象得出正确信息是解题关键， 这是中考中的新题型【忽视变量范围而出错】在矩形abcd中，ab2，ad3，p是bc上的任意一点(p与b、c不重合)，过点p作appe，垂足为p，pe交cd于点e.(1)连结ae，当ape与ade全等时，求bp的长；(2)若设bp为x，ce为y，试确定y与x的函数关系式当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若pebd，试求出此时bp的长参考答案第35讲方程、函数思想型问题【例题精析】例1(1)根据题意ap4xcm，aqacqc(303x)cm，若pqbc，则.则，解得x.所以当运动时间为s时，pqbc. (2)因为ac，所以当或时，apq能与cqb相似当时，解得x，所以ap4xcm.当时，解得x15，x210(舍去)所以ap4x20cm.所以当apcm或20cm时，apq与cqb相似例2(1)函数y1的图象经过点(1，2)，得(a1)(a)2，解得a12，a21，函数y1的表达式为y(x2)(x21)，化简，得yx2x2；或函数y1的表达式为y(x1)(x2)化简，得yx2x2，综上所述：函数y1的表达式为yx2x2； (2)当y0时，(xa)(xa1)0，解得x1a，x2a1，y1的图象与x轴的交点是(a，0)，(a1，0)，当y2axb经过(a，0)时，a2b0，即ba2；当y2axb经过(a1，0)时，a2ab0，即ba2a； (3)当p在对称轴的左侧(含顶点)时，y随x的增大而减小，(1，n)与(0，n)关于对称轴对称，由mn，得0x0；当p在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，由mn，得x01，综上所述：x0的取值范围为0x01.例3(1)在旋转过程中，bhck，四边形chok的面积始终保持不变，其值为abc面积的一半理由如下：连结oc.abc为等腰直角三角形，o为斜边ab的中点，coab，ockb45，coob.又cok与boh均为旋转角，cokboh，在cok和boh中，cokboh，bhck，s四边形chokscokscohsbohscohscobsabc9. (2)由(1)知ckbhx，bc6，ch6x，根据题意，得chck，即(6x)x5，解这个方程得x11，x25，此两根满足条件：0x0，当x3时，函数sokh有最小值，x3满足条件0x6，okh的面积存在最小值，此时x的值是3.例4(1)当x0时，y3，b点坐标(0，3)；当y0时，有0x3，解得x4，a点坐标为(4，0)(2)过点o作ocab于点c，则oc长为原点o到直线l的距离，在rtboa中，oa4，ob3，由勾股定理可得ab5，sboaoboaaboc，oc，原点o到直线l的距离为.(3)过m作mdab交ab于点d，当圆m在直线l下方与直线相切时，md2，在boa和bdm中，obadbm，boabdm，boabdm，bm，omobbm，当m在直线l上方与直线相切时，同理可得omobbm，点m的坐标为m(0，)或m(0，)例5(1)z(x18)y(x18)(2x100)2x2136x1800，z与x之间的函数解析式为z2x2136x1800.(2)由z350，得3502x2136x1800，解这个方程得x125，x243.销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润z2x2136x18002(x34)2512，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元(3)结合(2)及函数z2x2136x1800的图象(如图所示)可知，当25x43时，z350.又由限价32元，得25x32.根据一次函数的性质，得y2x100中y随x的增大而减小，当x32时，每月制造成本最低最低成本是18(232100)648(万元)所求每月最低制造成本为648万元【变式拓展】1 d2.(1)a(2)x33.154. (1)点a(a，12)在直线y2x上，122a，解得：a6，又点a是抛物线yx2bx上的一点，将点a(6，12)代入yx2bx，可得b1，抛物线解析式为yx2x. (2)点c是oa的中点，点c的坐标为(3，6)，把y6代入yx2x，解得：x11，x21(舍去)，故bc132. (3)点d的坐标为(m，n)，点e的坐标为(n，n)，点c的坐标为(m，2m)，点b的坐标为(n，2m)，把点b(n，2m)代入yx2x，可得mn2n，m、n之间的关系式为mn2n.5.(1)设购进甲种服装x件，由题意可知：80x60(100x)7500，解得：x75.答：甲种服装最多购进75件 (2)设总利润为w元，因为甲种服装不少于65件，所以65x75.w(40a)x30(100x)(10a)x3000.方案1：当0a10时，10a0，w随x的增大而增大，所以当x75时，w有最大值，则购进甲种服装75件，乙种服装25件；方案2：当a10时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10a20时，10a0，w随x的增大而减小，所以当x65时，w有最大值，则购进甲种服装65件，乙种服装35件【热点题型】【分析与解】(1)当x1时，y200，喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升当x5时，y45，且(5，45)在反比例函数y(k0)图象上，把(5，45)代入y得45，解得k225. (2)把y20代入反比例函数y得x11.25.喝完酒经过11.25时为早上7：15.第二天早上7：15以后才可以驾驶，7：00时不能驾车去上班【错误警示】(1)由apeade可得apad3，在rtabp中