浙江省杭州市高三数学一模试卷 文（含解析）.doc

2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设集合a=x|x22x0，b=x|1x2，则ab=（）ax|0x2bx|0x2cx|1x0dx|1x02若sinx=，则cos2x=（）abcd3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面pab的面积是（）ab2cd4命题：“x0r，x0sinx0”的否定是（）axr，xsinxbxr，xsinxcx0r，x0sinx0dx0r，x0sinx05设函数f（x）=|lnx|，满足f（a）=f（b）（ab），则（注：选项中的e为自然对数的底数）（）aab=exbab=ecab=dab=16设抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点a，b，顶点为c，设=b24ac，acb=，则cos=（）abcd7在rtabc中，c是直角，ca=4，cb=3，abc的内切圆交ca，cb于点d，e，点p是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若=x+y，则x+y的值可以是（）a1b2c4d88设u为全集，对集合a，b定义运算“*”，a*b=u（ab），若x，y，z为三个集合，则（x*y）*z=（）a（xy）uzb（xy）uzc（uxuy）zd（uxuy）z二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）9设ln2=a，ln3=b，则ea+eb=（其中e为自然对数的底数）10若函数f（x）=，则f（1）=；不等式f（x）4的解集是11设直线l1：mx（m1）y1=0（mr），则直线l1恒过定点；若直线l1为圆x2+y2+2y3=0的一条对称轴，则实数m=12设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于，z的最小值等于13如图，abc是等腰直角三角形，ab=ac，bcd=90，且，将abc沿bc的边翻折，设点a在平面bcd上的射影为点m，若点m在bcd内部（含边界），则点m的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点m位于线段bd上时，直线ab和cd所成的角的余弦值等于14设x，yr，x2+2y2+xy=1，则2x+y的最小值等于15若点p在曲线c1：上，点q在曲线c2：（x5）2+y2=1上，点r在曲线c3：（x+5）2+y2=1上，则|pq|pr|的最大值是三、解答题（共5小题，满分74分）16在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，（1）求c；（2）若，求a，b，c17在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，四边形abcd为直角梯形，bcad，adc=90，bc=cd=ad=1，pa=pd，e，f分别为线段ad，pc的中点（1）求证：pa平面bef；（2）若直线pc与ab所成的角为45，求线段pe的长18设数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nn*）（1）证明：3；（2）设数列的前n项和为sn，证明：sn319设点a，b分别是x，y轴上的两个动点，ab=1，若（1）求点c的轨迹；（2）已知直线l：x+4y2=0，过点d（2，2）作直线m交轨迹于不同的两点e，f，交直线l于点k问+的值是否为定值，请说明理由20设函数f（x）=（x1）|xa|（ar）（1）当a=2且x0时，关于x的方程f（x）=kx有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3，若t=max|x1，x2，x3|，求实数t的取值范围（2）当a（1，）时，若关于x的方程f（x）=2xa有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3求x1+x2+x3的取值范围2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1设集合a=x|x22x0，b=x|1x2，则ab=（）ax|0x2bx|0x2cx|1x0dx|1x0【考点】交集及其运算【分析】求出a中不等式的解集，再由b，求出两集合的交集即可【解答】解：由a中不等式变形得：x（x2）0，解得：x0或x2，即a=x|x0或x2，b=x|1x2，ab=x|1x0，故选：d2若sinx=，则cos2x=（）abcd【考点】二倍角的余弦【分析】由条件利用二倍角的余弦公式，求得cos2x的值【解答】解：sinx=，则cos2x=12sin2x=12=，故选：b3某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面pab的面积是（）ab2cd【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直该几何体的侧面pab的面积=故选：d4命题：“x0r，x0sinx0”的否定是（）axr，xsinxbxr，xsinxcx0r，x0sinx0dx0r，x0sinx0【考点】命题的否定【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：xr，xsinx，故选：a5设函数f（x）=|lnx|，满足f（a）=f（b）（ab），则（注：选项中的e为自然对数的底数）（）aab=exbab=ecab=dab=1【考点】对数函数的图象与性质【分析】作出函数f（x）的图象，设ab，得到0a1，b1，结合对数的运算性质进行求解即可【解答】解：作出函数f（x）的通项如图，在若f（a）=f（b）（ab），则设ab，则0a1，b1，即|lna|=|lnb|，则lna=lnb，则lna+lnb=lnab=0，即ab=1，故选：d6设抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点a，b，顶点为c，设=b24ac，acb=，则cos=（）abcd【考点】二次函数的性质【分析】根据二次函数的性质结合余弦定理求出cos的值即可【解答】解：如图示：，|ab|=，|ad|=，而|cd|=|=，ac2=|ad|2+|cd|2=+=cos=1=1，=，故选：a7在rtabc中，c是直角，ca=4，cb=3，abc的内切圆交ca，cb于点d，e，点p是图中阴影区域内的一点（不包含边界）若=x+y，则x+y的值可以是（）a1b2c4d8【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】求出内切圆半径，根据三点共线原理得出x+y分别对于1，2，4，8时p点的轨迹，从而判断出答案【解答】解：设圆心为o，半径为r，则odac，oebc，3r+4r=5，解得r=1连结de，则当x+y=1时，p在线段de上，排除a；在ac上取点m，在cb上取点n，使得cm=2cd，cn=2ce，连结mn，=+则点p在线段mn上时， +=1，故x+y=2同理，当x+y=4或x+y=8时，p点不在三角形内部排除c，d故选：b8设u为全集，对集合a，b定义运算“*”，a*b=u（ab），若x，y，z为三个集合，则（x*y）*z=（）a（xy）uzb（xy）uzc（uxuy）zd（uxuy）z【考点】集合的包含关系判断及应用【分析】利用x*y=u（xy），得到对于任意集合x、y、z，（ x*y ）*z=u（xy）*z=uu（xy）z，整理即可得到答案【解答】解：x*y=u（xy），对于任意集合x，y，z，（ x*y ）*z=u（xy）*z=uu（xy）z=（xy）uz故选：b二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）9设ln2=a，ln3=b，则ea+eb=5（其中e为自然对数的底数）【考点】对数的运算性质【分析】直接利用导数的运算法则化简求解即可【解答】解：ln2=a，ln3=b，则ea+eb=eln2+eln3=2+3=5故答案为：510若函数f（x）=，则f（1）=1；不等式f（x）4的解集是（4，）【考点】其他不等式的解法；分段函数的应用【分析】代值计算即可，根据分段函数得到则或，解得即可【解答】解：函数f（x）=，则f（1）=（1）=1，不等式f（x）4，则或，解得0x或4x0，故不等式的解集为（4，），故答案为：1，（4，）11设直线l1：mx（m1）y1=0（mr），则直线l1恒过定点（1，1）；若直线l1为圆x2+y2+2y3=0的一条对称轴，则实数m=2【考点】直线与圆的位置关系；恒过定点的直线【分析】直线l1转化为（xy）m+y1=0，令m的系数为0，能求出直线l1恒过定点（1，1）由已知得直线l1：mx（m1）y1=0（mr）经过圆x2+y2+2y3=0的圆心（0，1），由此能求出m【解答】解：直线l1：mx（m1）y1=0（mr），（xy）m+y1=0，由，解得x=1，y=1，直线l1恒过定点（1，1）直线l1：mx（m1）y1=0（mr）为圆x2+y2+2y3=0的一条对称轴，直线l1：mx（m1）y1=0（mr）经过圆x2+y2+2y3=0的圆心（0，1），m0（m1）（1）1=0，解得m=2故答案为：（1，1），212设实数x，y满足不等式组，若z=2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过o时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；当直线过a（1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2故答案为：2，013如图，abc是等腰直角三角形，ab=ac，bcd=90，且，将abc沿bc的边翻折，设点a在平面bcd上的射影为点m，若点m在bcd内部（含边界），则点m的轨迹的最大长度等于；在翻折过程中，当点m位于线段bd上时，直线ab和cd所成的角的余弦值等于【考点】异面直线及其所成的角；轨迹方程【分析】点a的射影m的轨迹为cd的中位线，可得其长度；当点m位于线段bd上时，取bc中点为n，ac中点为p，可得mnp或其补角即为直线ab和cd所成的角，由已知数据和余弦定理可得【解答】解：由题意可得点a的射影m的轨迹为cd的中位线，其长度为cd=；当点m位于线段bd上时，am平面acd，取bc中点为n，ac中点为p，mnp或其补角即为直线ab和cd所成的角，则由中位线可得mn=cd=，pc=ab=，又mp为rtamc斜边ac的中线，故mp=ac=，在mnp中，由余弦定理可得cosmnp=，故答案为：；14设x，yr，x2+2y2+xy=1，则2x+y的最小值等于2【考点】基本不等式【分析】令2x+y=t，代入整理可得7x27tx+2t21=0，由0可解得t的范围，可得答案【解答】解：令2x+y=t，则y=t2x，x2+2y2+xy=1，x2+2（t2x）2+x（t2x）=1，整理可得7x27tx+2t21=0，由=49t247（2t21）0可解得2t2，故2x+y的最小值为2，故答案为：215若点p在曲线c1：上，点q在曲线c2：（x5）2+y2=1上，点r在曲线c3：（x+5）2+y2=1上，则|pq|pr|的最大值是10【考点】圆与圆锥曲线的综合【分析】先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再把|pq|pr|的最大值转化为求|pq|max|pr|min，即可求得结论【解答】解：曲线c1：的两个焦点分别是f1（5，0）与f2（5，0），|pf1|pf2|=8则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=1和（x5）2+y2=1的圆心，两圆（x+5）2+y2=4和（x5）2+y2=1的半径分别是r1=1，r2=1，|pq|max=|pf1|+1，|pr|min=|pf2|1，|pq|pr|的最大值=（|pf1|+1）（|pf2|1）=8+2=10，故答案为：10三、解答题（共5小题，满分74分）16在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，（1）求c；（2）若，求a，b，c【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算【分析】（1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotc的值，进而求得c（2）根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c【解答】解：（1）由得则有=得cotc=1即、（2）由推出；而，即得，则有解得17在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，四边形abcd为直角梯形，bcad，adc=90，bc=cd=ad=1，pa=pd，e，f分别为线段ad，pc的中点（1）求证：pa平面bef；（2）若直线pc与ab所成的角为45，求线段pe的长【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【分析】（1）以e为原点，ea为x轴，eb为y轴，ep为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线pa平面bef（2）由=（1，1，t），=（1，1，0），直线pc与ab所成的角为45，利用向量法能求出pe【解答】证明：（1）在四棱锥pabcd中，平面pad平面abcd，四边形abcd为直角梯形，bcad，adc=90，bc=cd=ad=1，pa=pd，e，f分别为线段ad，pc的中点，pe平面abcd，beae，以e为原点，ea为x轴，eb为y轴，ep为z轴，建立空间直角坐标系，a（1，0，0），e（0，0，0），b（0，1，0），c（1，1，0），设p（0，0，t），则f（，），=（1，0，t），=（），=（0，1，0），设平面bef的法向量=（x，y，z），则，取x=t，得=（t，0，1），=tt=0，且pa平面bef，直线pa平面bef解： =（1，1，t），=（1，1，0），直线pc与ab所成的角为45，cos45=，解得t=，或t=（舍），pe=t=18设数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nn*）（1）证明：3；（2）设数列的前n项和为sn，证明：sn3【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nn*）可得an0，变形=an+1，利用基本不等式的性质即可证明；（2）由（1）可得anan+1可得可得当n2时， =2即可证明【解答】证明：（1）数列an满足a1=，an+1=an2+an+1（nn*）an0，=an+1+1=3，当且仅当an=1时取等号，3（2）由（1）可得anan+1当n2时， =2sn2=2=3an1，sn319设点a，b分别是x，y轴上的两个动点，ab=1，若（1）求点c的轨迹；（2）已知直线l：x+4y2=0，过点d（2，2）作直线m交轨迹于不同的两点e，f，交直线l于点k问+的值是否为定值，请说明理由【考点】轨迹方程【分析】（1）由题意可设出a（m，0），b（0，n），可得m2+n2=1，再设c（x，y），由向量等式把m，n用含有x，y的代数式表示，代入m2+n2=1可得点c的轨迹；（2）分别设出e，f，k的横坐标分别为：xe，xf，xk，设直线m的方程：y2=k（x2），与直线l：x+4y2=0联立可得xk，联立直线方程与椭圆m的方程，利用根与系数的关系得到xe+xf，xexf，求得+的值为定值2得答案【解答】解：（1）设a（m，0），b（0，n），则m2+n2=1，设c（x，y），由，得（m，n）=（xm，y），得m=，y=n，代入m2+n2=1，得=1；（2）设e，f，k的横坐标分别为：xe，xf，xk，设直线m的方程：y2=k（x2），与直线l：x+4y2=0联立可得xk=，将直线m代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8k（2k+2）x+16k232k+12=0，xe+xf=，xexf=，+=+=2为定值2