高数极限易错题.doc

.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1，但是当x趋向无穷limsinx/x=0，原因：无穷小量有界函数=无穷小量。这里：|sinx|0或(A0，当x取x0的去心x-x0 邻域时,f(x)0(或f(x)0，然而并不满足f(x)0(在x=0处)。介绍这个定理的作用：解一类题。请看：已知f(x)可导，且当x趋向0，limf(x)/|x|=1，判断f(x)是否存在极值点。 因为f(x)可导，那么f(x)必连续，因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1，那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0，否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0，令f(x)/|x|=g(x)，根据保号性，因为limg(x)=10，那么：g(x)0，那么由于|x|在x趋向0时0，所以f(x)0，而0=f(0)，所以f(x)f(0)，根据极小值的定义，x=0为f(x)的极小值点。 综上：已知limg(x)=a，a的正负已知，可以使用保号性。3. 请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无穷。在含有ex，arctanx，等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去|时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以(x2)出现。4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c异s，s异c同。前者用来记住积化和差，后者用来记住和差化积。举例：sinacosb=？因为它们的三角函数名异名，那么使用s，sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b)，说明：1，纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2，这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2()(或者-)()；3，实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。5. 关于极值点的3种判别法：法一：定义法；法二：若f(x)可导，f(xo)=0，且f(x)不为0，则f(x)在xo处取得极值，若二阶导0，极小，反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0，则(xo，f(xo)为拐点，xo不是极值点。证明：略6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y表示对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。y=d2y/dx2=d(dy/dx)/dx，对于求dy/dx，我们采用求关于t的y(t)，和关于t的x(t)，因为dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=y(t)/x(t)。举例：已知y=cost，x=t2，那么求dy/dx，d2y/dx2。标准解答：1：y(t)=-sint，x(t)=2t，所以dy/dx=-sint/2t；2：d2y/dx2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt * (dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t3) 综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。7.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆)。比如：初学者可能会认为这个极限为0，lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x3=0计算思路：(x-x)/x3=0，事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=xx，标准解答lny=xlnx，两边对x求导，y/y=1+lnx，所以y=(xx)(1+lnx)。错误做法：y=xx，y=x(x(x-1)=xx。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不清楚对x求导是什么意思。当然：y=x2求导大家都会吧，y=2x，当出现对y2=x2，很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y，对y2=x2求导，得到：2yy=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+x2，那么求导：y=y+yx+2x。综上：对隐函数求导，若是单独y，求导为y，一切关于y的函数(比如y2，lny，ay等)，先对这个函数求导再乘y.9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0 当x是有理数。f(x)=x2 当 x是无理数。只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在x=0处导数为0.10.无穷小有界=无穷小，但是：无穷大有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大有界=未知，比如：当x趋向正无穷，x，x2始终为无穷大，而1/x，1/x2为有界量。 注意到：x*(1/x2)=1/x就是一个无穷小,而x2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。11.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开心，他说易得：左导=右导=f(xo)，你太天真了。其实：连续是说左极限=右极限=f(xo)，可导是：lim(x-xo)f(x)=f(xo)，且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可导(这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导)。12.很多初学者认为：(a到x)f(t)dt中，变量是t，这是错的，你忽略了变限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里x是变量，它求导=f(x)。13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0，他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0，它表示极限0，由于极限等于0，我们习惯称为0/0形式。也就是说：若没有lim这个符号，0/0没有意义。事实上：再比如：货真价实的数字1，1无穷 =1，若是(极限1)无穷，则结果待定。高等数学中由于极限的四则运算包括幂指数运算无法解决形如：0/0，1无穷，无穷/无穷，等等7类运算。为此，产生了7种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。综上：我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不符合洛必达的条件1，为此：正确做法：先令n为x，再使用洛必达，最后换为n.15. 无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大但是请注意：这里的无穷小除去了0。16.x趋向0，limsinx/x=1不可以使用洛必达法则证明，原因：(sinx)=cosx这个公式的证明使用了limsinx/x=1，所以犯了循环论证的错误17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0，无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件： （1）xa时， lim f(x)=0,lim F(x)=0;（2）在点a的某 去心邻域 内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的 导数 不等于0;（3） xa时， lim( f(x)/F(x) ）存在或为 无穷大则 xa时，lim( f(x) / F(x)=lim( f(x)/F(x) ) ，请注意：1，第三点很容易被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx，或者cosx，是不会采用洛必达的；2，在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有抽象函数的题使用洛必达最后一步使用导数定义！3，单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。(如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)18.一般地：我们有以下结论：lim(x趋向xo)f(x)=a，则必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不为0，上述结论的逆命题未必成立大多是不成立的，若a=0，上述结论逆命题仍然成立！19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解尽管极坐标是一个好方法。在使用极坐标时，应该同时注意到：和的任意性。比如：(x，y)趋向(0，0)，求lim(xy)/(x y)，容易证明该极限不存在(一条路径：y=x，另一条：y=x2-x)，倘若使用极坐标，则得：lim(cossin)/(cossin)，此时有分母出现0的可能(取=45度)，因此不确定该极限是否存在，本法失效，或者说：你无法证明(cossin)/(cossin)有界。综上：倘若使用极坐标，须同时考虑，的任意性，不可盲目使用。20. 注意仅当y=f(x)时有：y=f(x)。若y=f()，不等于x时，y不等于f()。比如：y=f(x2)，y=f(x2)2x，而不是等于f(x2)。下面说明f()和f()的区别：f()表示已知f(x)的表达式，并且把当做x代入，这个过程是代值过程；而f()的意思是求导，至于对谁求导，则根据确定。注意：仅当=x时，f()=f()，即：f(x)=f(x)，其他情况没有这个式子。综上：f()=f()。21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续，反之不然。22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，其中u=arctan(b/a)，强制要求a0；asinx+bcosx=(a2+b2)cos(x+u)，其中u=arctan(-a/b)，强制要求b0。 ps：为什么要强制要求？以第一个为例，第二个同理原因在于：我们既然采用了用u=arctanb/a来确定u的值，好处在于u在-派/2，派/2上是一一对应的(因为y=tanx在该范围内单调)，事实上，u的范围就是-派/2，派/2，由此我们再来看给出的公式：asinx+bcosx=(a2+b2)sin(x+u)，将右边展开得：(a2+b2)cosusinx+(a2+b2)sinucosx，根据待定系数原则可得：cosu=a/(a2+b2)，倘若我们不控制a0，比如取a0的话，那么cosu下限。 解答问题1：首先为了满足单值，不可以取一个形如派，5派/2的区间去对应原来的0，a尽管相对于x尽管相对x=asint来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件单值，在此区间派，5派/2内x=asint不是单值的意思是：令x=k，解得t不唯一。所以不能取一个区间不满足单值的。比如：你取一个0，派/2这样的就是合适的，当然你取派，派/2这个也是对的，为什么请看证明？我们无疑地知道I=0，aa2-x2dx=派a2/4