2012年数学教师招聘试题

2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 一、选择题： (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1 设复数121 2 , 1 ,z i z i 则复数12zz z 在复平面内对应点位于（ C ） A第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限 2 下列选项中，说法正确的是 ( D ) A命题 “若 22am bm ，则 ab ”的逆命题是真命题； B设 ,ab是向量，命题 “若 ab ，则 ab ” 的否命题是真命题； C命题 “pq ”为真命题，则命题 p 和 q 均为真命题； D命题 0, 2 xxx R ”的否定是 “ 2,0x R x x ”. 3.已知向量 a, b，其中 | a | 2 ， | b | 2 ，且 ( a b ) a，则向量 a 和 b 的夹角是 （ A ） A4 B2 C43 D 4.已知 1 0 2 1 00 1 2 1 01 1 1 1x a a x a x a x ，则8a ( B ) A. 180 B. 180 C. 45 D. 45 5. 已知方程 ()fx 2 2x ax b 的两个根分别在区间（ 0， 1）和（ 1， 2）内，则 22( 4)ab的取值范围为 (D ) A. ( 17 , 20 ) B. 95( , 20)5 C. (17,20) D. ( ,20)815 6. 已知33)6cos( x，则 )3cos (cos xx （ C ） A33 B33 C 1 D 1 7 若 椭圆 22 1 ( 0 , 0 )xy mnmn 与曲线 22|x y m n 无交点 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( D ) A 3( ,1)2 B 3(0, )2 C 2( ,1)2 D 2(0 )2， 8 若对于定义在 R 上的 函数 f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数 ( R)使得 f(x+)+ f(x)=对任意实数 x 都成立，则称 f(x)是一个“ 伴随函数 ” .有下列关于“ 伴随函数 ”的结论： f(x)=是常数函数中唯一一个“ 伴随函数 ”； f(x)= x 不是“ 伴随函数 ”； f(x)= x2 是“ 伴随函数 ”； “ 12 伴随函数 ”至少有一个零点 其中正确结论的个数是 ( B )个 A 1 B 2 C 3 D 4 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 二、填空题： (本 大题共 7 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 35 分 .请将答案填在答题卡对应题号的位置上 .答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分 .) 9 曲线 3c o s ( 0 )2y x x 与坐标轴所围成的面积 是 _3_. 10.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 _ 32_. 11 执行如图所示的 程序框图， 若输入 x=10，则输出 y 的值为 _ 54 _ .12 定义 maxa,b= ,a a bb a b，设实数 x,y 满足约束条件 | | 2| | 2xy， z=max4x+y,3x-y，则z 的取值范围是 10,7 13 直线 l 的 极坐标方程为 324C : c o s ( )，圆 C： cossinxy（ 为参数）上的点到直线 l 的 距离 值为 d，则 d 的最大值为 . 3 2 1 14.如图，已知： ABC 内接于 圆 O，点 D 在 OC 的延长线上， AD 是 圆 O 的切线， 若 30B ， 1AC ，则 AD 的长为 3 215. 4xx k xx =+若 关 于 的 方 程 有 四 个 不 同 的 实 数 解 ， 则 k 的 取 值 范 围 是 22 22 1 1 22 1 22 1 正视图 侧视 图 俯视图 A C D B O 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 )1 +4 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17 （本小 题满分 12 分） 在 ABC 中， 三内 角 CBA , 的对边分别为 ., cba 且满足（ 2b-c）cosA= acosC （ ）求 角 A 的大小 ；（ ） 若 | | 1A C A B，求 ABC 周长 l 的取值 范围 解： （ ）在 ABC 中， ( 2 ) c o s c o sb c A a C， 由正弦定理有 ： ( 2 s i n s i n ) c o s s i n c o sB C A A C， 2 分 2 s i n c o s s i n ( )B A A C，即 2 s i n c o s s i nB A B ， sin 0B ， 1cos2A，又 (0, )A ， 3A 6 分 （） 由已知 | | 1A C A B， | | 1BC ，即 1a ， 由正弦定理得： BABab sin32sinsin ， Cc sin32， 8 分 221 ( s i n s i n ) 1 ( s i n s i n ( ) )33l a b c B C B A B 311 2 ( s i n c o s )22BB 1 2 s in ( )6B 10 分 3A， )32,0( B， )65,6(6 B， 1,21()6sin( B， 故 ABC 的 周长 l 的取值范围是 3,2( 12 分 解法二：周长 1l a b c b c ，由（ ）及余弦定理得 ： 221 2 c o sb c b c A ， 122 bccb ， 8 分 22 )2(3131)( cbbccb ， 2cb ， 11 分 又 1b c a ， 3,2( cbal ， 即 ABC 的周长 l 的取值范围是 (2,3 12 分 18 （本小题满分 12 分） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、 B、 C 进行围棋比赛，甲对 A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜 A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （）求红队至少两名队员获胜的概率； （）用 表示红队队员获胜的总盘数，求 的分布列和数学期望 E . 解：（ I）设甲胜 A 的事件为 D， 乙胜 B 的事件为 E，丙胜 C 的事件为 F， 则 ,D E F 分别表示甲不胜 A、乙不胜 B，丙不胜 C 的事件。 因为 ( ) 0 . 6 , ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5 ,P D P E P F 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 由对立事件的概率公式知 ( ) 0 . 4 , ( ) 0 . 5 , ( ) 0 . 5 ,P D P E P F 红队至少两人获胜的事件有： , , , .D E F D E F D E F D E F 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 ( ) ( ) ( ) ( )0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 50 . 5 5 .P P D E F P D E F P D E F P D E F （ II）由题意知 可能的取值为 0， 1， 2， 3。 又由（ I）知 ,D E F D E F D E F是两两互斥事件， 且各盘比赛的结 果相互独立， 因此 ( 0 ) ( ) 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 1 ,P P D E F ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 4 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 50 . 3 5 ( 3 ) ( ) 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 1 5 .P P D E F 由对立事件的概率公式得 ( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 3 ) 0 . 4 ,P P P P 所以 的分布列为： 0 1 2 3 P 0 1 0 35 0 4 0 15 因此 0 0 . 1 1 0 . 3 5 2 0 . 4 3 0 . 1 5 1 . 6 .E 19 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， 侧面 PCD 底 面 ABCD ， PDCD,E 为 PC 中点 ，底面 ABCD 是 直角梯 形 ， AB CD， ADC=90 , AB=AD=PD=1， CD=2 （ ） 求 证 ： BE 平面 PAD；（ ） 求 证 ： BC 平面 PBD ( )设 Q 为侧棱 PC 上一点，PQ PC ，试确定 的值，使得二面角 QBDP 的大小为 45 证 ：（） 取 PD 的中点 F ，连结 EF AF， ，因为 E 为 PC 中点，所以 EF CD ，且 1 12EF CD， 在梯形 ABCD 中， AB CD ， 1AB ， 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 所以 EF AB ， EF AB ，四边形 ABEF 为平行四边形，所以 BE AF ， 又因为 BE 平面 PAD ， AF 平面 PAD ， 所以 BE 平面 PAD 4 分 （） 平面 PCD 底面 ABCD ， PD CD ，所以 PD 平面 ABCD ，所以 PD AD 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz 则 (1, 0, 0)A ，(1, 1, 0)B ， (0, 2, 0)C ，(0, 0, 1)P ( 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 0 )D B B C 所以 0,B C D B B C D B 又由 PD 平面 ABCD ，可得PD BC ，所以 BC 平面 PBD 8 分 （） 平面 PBD 的法向量为 ( 1 , 1 , 0 )BC ， ( 0 , 2 , 1 ) , , ( 0 , 1 )P C P Q P C ，所以(0 , 2 , 1 )Q ， 设平面 QBD 的法向量为 ( , 1, )n x z ，由 0n DB， 0n DQ，得 102 (1 ) 0xz ， 所以 21 , 1 ,1n ，所以222c o s 4 52| | | | 22 2 ( )1n B Cn B C ， 注意到 (0, 1) ，得 21 12 分 20（本小题满分 13分） 已知数列 na是首项1 12a，公比为 12的等比数列，nS为 数列 na的前 n 项和，又25 l o g (1 )nnb S t ，常数 *Nt ， 数列 nc满足n n nc a b （ ） 若 nc是递减数列，求 t 的 最小值； （ ）是否存在 正整数 k，使12,k k kc c c这三项按某种顺序排列后成等比数列？若 存在，试求出 k， t 的值；若不存在，请说明理由 解：（ ）由题意知， nna 21 ，11 1 ( ) 122 1 ( )1 212nnnS ， tntStb nnn 5)21(log5)1(log5 22， nn tnc )21)(5( ， nc 是递减数列， 0)21)(52 55(1 nnn tntncc恒成立，即 55 nt 恒成立， 55)( nnf 是递减函数， 当 1n 时 ()fn 取最大值 0 ， 0t ，又 *Nt ， 1min t 6 分 A BCDPEF Qxyz2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 （ ） 记 5k t x ，则kkk xtkc )21()21)(5( ，且 *xN ， 111 11( 5 5 ) ( ) ( 5 ) ( )22kkkc k t x ，222 )21)(10()21)(105( kkk xtkc， 若kc是等比中项，则由 212k k kc c c得： kkk xxx 2221 )21()21)(10()21)(5( ，化简得： 050157 2 xx ，显然不成立 . 若1kc是等比中项，则由 221k k kc c c得： 2222 )21()5()21)(10()21( kkk xxx ，化简得： 2( 1 0 ) 5x x x ，显然不成立 若2kc是等比中项，则由 212k k kc c c得： 4221 )21()10()21()21)(5( kkk xxx ，化简得： 0100207 2 xx ， 因为 10 03210 07420 2 不是完全平方数，因而 x 的值是无理数，与 *xN 矛盾 综上：不存在 tk和 适合题意 . 13 分 21 （本小题满分 13 分） 已知椭圆 22 10xy abab 的两焦点与短轴的一 个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 0 byx 是抛物线 xy 42 的一条切线 （ ）求椭圆的方程； （ ）过点 )31,0( S的动直线 L 交椭圆 C 于 A B 两点问：是否存在一个定点 T，使得以 AB 为直径的圆恒过点 T ? 若存在，求点 T 坐标；若不存在，说明理由。 解：（ ）由 0)42(:4 0 222 bxbxyxy byx 得消去 因直线 xybxy 42 与抛物线 相切， 04)42( 22 bb ， 1b ， 2 分 圆 )0(1:2222 babyaxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角 形， 22 ba 故所求椭圆方程为 .12 22 yx （ ）当 L 与 x 轴平行时，以 AB 为直径的圆的方程： 222 )34()31( yx 当 L 与 x 轴垂直 时，以 AB 为直径的圆的方程： 122 yx 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 由101)34()31(22222yxyxyx 解得 即两圆公共点（ 0， 1） 因此，所求的点 T 如果存在，只能是（ 0， 1） （ ）当直线 L 斜率不存在时，以 AB 为直径的圆过点 T（ 0， 1） （ ）若直线 L 斜率存在时，可设直线 L：31 kxy 由 01612)918(:12312222 kxxkyyxkxy得消去 记点 ),( 11 yxA 9181691812),(22122122kxxkkxxyxB 则 )34)(34()1)(1()1,(),1,(212121212211kxkxxxyyxxTBTAyxTByxTA所以又因为 916)(34)1( 21212 xxkxxk 0916918 1234918 16)1( 222 k kkkk TATB, 综合（ ）（ ），以 AB 为直径的圆恒过点 T（ 0， 1） 22 （本小题满分 13 分） 设函数 3 2 2( ) 2 1 ( 2 )f x x m x m x m m 的图象在 x=2处的切线与直线 x 5y 12=0 垂直 （ ） 求 函数 ()fx的 极值与 零点 ；（ ） 设 1( ) lnxg x xkx，若对任意1 0,1x ，存在2 (0,1x ， 使12( ) ( )f x g x成立， 求 实数 k 的取值范围 ； ( )若 0a ， 0b ， 0c ，且 1abc ， 证明：2 2 291 1 1 1 0abc 解：（ ）因为 22( ) 3 4f x x m x m ，所以 2( 2 ) 1 2 8 5f m m ， 解得： 1m 或 7m ，又 2m ，所以 1m ， 2 分 由 2( ) 3 4 1 0f x x x ，解得1 1x，2 13x ，列表如下： x 1( , )3 13 1( ,1)3 1 (1, ) 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整 理，欢迎下载： /yanchang1985 2014 年万份教师招聘试题资料合集免费下载： /c0yoa4s55x 豆丁教育百科倾心整理，欢迎下载： /yanchang1985 ()fx 0 0 ()fx 极小值 5027 极大值 2 所以 1 5 0( ) ( )3 2 7f x f极 小 值， ( ) (1 ) 2f x f极 大 值， 4 分 因为 3 2 2( ) 2 2 ( 2 ) ( 1 )f x x x x x x ， 所以函数 ()fx的零点是 2x 5 分 （ ）由（ ）知，当 0,1x 时，m in 50() 27fx ， “ 对任意1 0,1x ，存在2 (0,1x ，使12( ) ( )f x g x” 等价于 “ ()fx在 0,1 上的最小值大于 ()gx 在 (0,1 上的最小值，即当 (0,1x 时，min 50() 27gx ” ， 6 分 因为22111() x kgx k x x x ， 当 0k 时，因为 (0,1x ，所以 1 5 0( ) l n 027xg x xkx ，符合题意； 当 01k时 ， 1 1k，所以 (0,1x 时， ( ) 0gx ， ()gx 单调递减， 所以m i n 50( ) (1 ) 0 27g x g ，符合题意； 当 1k 时 ， 101k，所以 1(0, )xk时， ( ) 0