实数基础知识方法及例题

经典例题 类型一有关概念的识别 1下面几个数： 0. 23 ， 1.010010001， ， 3， ， ，其中，无理数的个数有（ ） A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 解析：本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中， 1.010010001， 3， 是无理数 故选 C 举一反三： 【变式 1】下列说法中正确的是（ ） A、 的平方根是 3 B、 1 的立方根是 1 C、 = 1 D、 是 5 的平方根的相反数 【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念， =9， 9 的平方根是 3， A正确 1 的立方根是 1， =1， 是 5 的平方根， B、 C、 D 都不正确 【变式 2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，则点 A表示的数是（ ） A、 1 B、 1.4 C、 D、 【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为 1，对角线为 ，由圆的定义知 |AO|= ， A表示数为 ，故选 C 【变式 3】 【答案】 = 3.1415， 9 3 10 因此 3 -9 0， 3 -10 0 类型二计算类型题 2设 ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因为 ， 所以选 B 举一反三： 【变式 1】 1） 1.25 的算术平方根是 _；平方根是 _.2） -27 立方根是 _. 3）_， _， _. 【答案】 1） ； .2） -3. 3） ， ， 【变式 2】求下列各式中的 （ 1） （ 2） （ 3） 【答案】（ 1） （ 2） x=4 或 x=-2（ 3） x=-4 类型三数形结合 3. 点 A 在数轴上表示的数为 ，点 B 在数轴上表示的数为 ，则 A， B 两点的距 离为 _ 解析：在数轴上找到 A、 B两点， 举一反三： 【变式 1】如图，数轴上表示 1， 的对应点分别为 A， B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C表示的数是（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【答案】选 C 变式 2 已知实数 、 、 在数轴上的位置如图所示： 化简 【答案】： 类型四实数绝对值的应用 4化简下列各式： (1) | -1.4 | (2) | -3.142| (3) | - | (4) |x-|x-3| (x 3) (5) |x2+6x+10| 分析：要正确去掉绝对值符号，就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零，然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解： (1) =1.414 1.4 | -1.4 |=1.4 - (2) =3.14159 3.142 | -3.142|=3.142- (3) , | - |= - (4) x 3, x-3 0, |x-|x-3|=|x-(3-x)| =|2x-3| = 说明：这里对 |2x-3|的结果采取了分类讨论的方法，我们对 这个绝对值的基本概念要有清楚的认识，并能灵活运用。 (5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1| (x+3)2 0, (x+3)2+1 0 |x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三： 【变式 1】化简： 【答案】 = + - = 类型五实数非负性的应用 5已知： =0，求实数 a, b 的值。 分析：已知等式左边分母 不能为 0，只能有 0，则要求 a+7 0，分子 +|a2-49|=0，由非负数的和的性质知： 3a-b=0 且 a2-49=0，由此得不等式组 从而求出 a, b 的值。 解：由题意得 由 (2)得 a2=49 a= 7 由 (3)得 a-7， a=-7 不合题意舍去。 只取 a=7 把 a=7 代入 (1)得 b=3a=21 a=7, b=21 为所求。 举一反三： 【变式 1】已知 (x-6)2+ +|y+2z|=0，求 (x-y)3-z3的值。 解： (x-6)2+ +|y+2z|=0 且 (x-6)2 0, 0, |y+2z| 0, 几个非负数的和等于零，则必有每个加数都为 0。 解这个方程组得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 【变式 2】已知 那么 a+b-c 的值为 _ 【答案】初中阶段的三个非负数： ， a=2,b=-5,c=-1； a+b-c=-2 类型六实数应用题 6有一个 边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少 cm。 解：设新正方形边长为 xcm， 根据题意得 x2=112+13 8 x2=225 x= 15 边长为正， x=-15 不合题意舍去， 只取 x=15(cm) 答：新的正方形边长应取 15cm。 举一反三： 【变式 1】拼一拼，画一画： 请你用 4 个长为 a，宽为 b 的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（ 4 个长方形拼图时不重叠） （ 1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？ （ 2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多 3cm 时，大正方形的面积就比小正方形的面积 多 24cm2，求中间小 正方形的边长 . 解析：（ 1）如图，中间小正方形的边长是： ，所以面积为 = 大正方形的面积 = ， 一个长方形的面积 = 。 所以， 答：中间的小正方形的面积 ， 发现的规律是： （或 ） (2) 大正方形的边长： ， 小正方形的边长： ，即 ， 又 大正方形的面积比小正方形的面积多 24 cm2 所以有， 化简得： 将 代入，得： cm 答：中间小正方形的边长 2.5 cm。 类型七易错题 7判断下列说法是否正确 （ 1） 的算术平方根是 -3； （ 2） 的平方根是 15. （ 3）当 x=0 或 2 时， （ 4） 是分数 解析：（ 1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数 .故 （ 2） 表示 225 的算术平方根，即 =15.实际上，本题是求 15 的平方根， 故 的平方根是 . （ 3）注意到，当 x=0 时， = ，显然此式无意义， 发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”，故 x 0，所以当 x=2 时， x =0. （ 4）错在对实数的概念理解不清 . 形如分数，但不是分数，它是无理数 . 类型八引申提高 8（ 1）已知 的整数部分为 a，小数部分为 b，求 a2-b2的值 . （ 2）把下列无限循环小数化成分数： （ 1）分析：确定算术平方根的整数部分与小数部分，首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间，那么较小的整数即为算术平方根的整数部分，算术平方根减去整数部分的差即为小数部分 解 ：由 得 的整数部分 a=5, 的小数部分 ， （ 2）解： (1) 设 x= 则 -得 9x=6 . (2) 设 则 -，得 99x=23 . (3) 设 则 -，得 999x=107， . 学习成果测评： A 组（基础） 一、细心选一选 1下列各式中正确的是（ ） A B. C. D. 2. 的平方根是 ( ) A 4 B. C. 2 D. 3. 下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 -2 是 4 的平方根 带根号的数都是 无理数。其中正确的说法有（ ） A 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个 4和数轴上的点一一对应的是（ ） A整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数 5对于 来说（ ） A有平方根 B只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定 6在 （两个“ 1”之间依次多 1 个“ 0”）中，无理数 的个数有（ ） A 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 7面积为 11 的正方形边长为 x，则 x 的范围是（ ） A B. C. D. 8下列各组数中，互为相反数 的是（ ） A -2 与 B. - 与 C. 与 D. 与 9 -8 的立方根与 4 的平方根之和是（ ） A 0 B. 4 C. 0 或 -4 D. 0 或 4 10已知一个自然数的算术平方根是 a ，则该自然数的 下一个自然数的算术平方根是（ ） A B. C. D. 二、耐心填一填 11 的相反数是 _，绝对值等于 的数是 _， =_。 12 的算术平方根是 _， =_。 13 _的平方根等于它本身， _的立方根等于它本身， _的算术平方根等于它本身。 14已知 x的算术平方根是 8，那么 x 的立方根是 _。 15填入两个和为 6 的无理数，使等式成立： _+_=6。 16大于 ， 小于 的整数有 _个。 17若 2a-5与 互为相反数，则 a=_， b=_。 18若 a =6， =3，且 ab 0，则 a-b=_。 19数轴上点 A，点 B分别表示实数 则 A、 B两点间的距离为 _。 20一个正数 x 的两个平方根分别是 a+2 和 a-4，则 a=_， x=_。 三、认真解一解 21计算 + + 4 9 + 2（ ） （结果保留 3 个有效数字） 22在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“ ”号连接： 参考答案： 一 : 1、 B 2、 D 3、 B 4、 D 5、 C 6、 A 7、 B 8、 C 9、 C 10、 D 二： 11、 ， -3 12、 3， 13、 0； 0， ； 0， 1 14、 15、答案不唯一 如： 16、 5 17、 18、 -15 19、 2 20、 1，9 三： 21、 -17 -9 2 -36 37.9 22、 B 组（提高） 一、选择题： 1 的算术平方根是 （ ） A 0.14 B 0.014 C D 2 的平方根是 （ ） A 6 B 36 C 6 D 3下列计算或判断： 3 都是 27 的立方根； ； 的立方根是 2； ， 其中正确的个数有 （ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4在下列各式中，正确的是 （ ） A ； B ； C ； D 5下列说法正确的是 （ ） A有理数只是有限小数 B无理数是无限小数 C无限小数是无理数 D 是分数 6下列说法错误的是 （ ） A B C 2 的平方根 是 D 7若 ，且 ，则 的值为 （ ） A B C D 8下列结论中正确的是 （ ） A数轴上任一点都表示唯一的有理数 ； B数轴上任一点都表示唯一的无理数 ； C. 两个无理数之和一定是无理数 ； D. 数轴上任意两点之间还有无数个点 9 -27 的立方根与 的平方根之和是 （ ） A 0 B 6 C 0 或 -6 D -12 或 6 10下列计算结果正确的是 （ ） A B C D 二填空题 : 11下列各数： 3.141、 0.33333、 、 、 、 0.3030003000003（相邻两个 3 之间 0 的个数逐次增加 2）、 0 中 ,其中是有理数的有 _；无理数的有 _.（填序号） 12 的平方根是 _； 0.216 的立方根是 _. 13算术平方根等于它本身的数是 _；立方根等于它本身的数是 _. 14. 的相反数是 _；绝对值等于 的数是 _ 15一个正方体的体积变为原来的 27 倍，则它的棱长变为原来的 _倍 . 三、解答题： 16计算或化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 17已知 ，且 x 是正数，求代数式 的值。 18观察右图，每个小正方形的边长均为 1， 图中阴影部分的面积是多少？