【提升练习】 《正方形的性质和判定》 （数学北师大九上）.docx

正方形的性质提升练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共2小题）1如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，AED=45，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A43B32C2+23D2+222将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（）cm2A14Bn4Cn-14D14n二解答题（共3小题）3边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EFAE交射线CB于点F，连结CE（1）若点F在边BC上（如图）；求证：CE=EF；若BC=2BF，求DE的长（2）若点F在CB延长线上，BC=2BF，请直接写出DE的长4（1）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别是边BC，CD上两点，且BM=CN，连AM和BN，交于点P猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论（2）如图，已知正方形ABCD的边长为4点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动，连接AM和BN，交于点P求APB周长的最大值5已知，正方形ABCD中，MAN=45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AHMN于点H（1）如图，当MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： ；（2）如图，当MAN绕点A旋转到BMDN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图，已知MAN=45，AHMN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长（可利用（2）得到的结论）参考答案一选择题（共2小题）1【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，AED=45，ACD=45，A，C，E，D四点共圆，正方形ABCD的边长为4，OE=OD=12BD=22，P为AB的中点，O是BD的中点，OP=12AD=2，PEOP+OE=2+22，当点O在线段PE上时，PE=OP+OE=2+22，即线段PE的最大值为2+22，故选：D2【解答】解：图中的正方形，过ABCD的中心O作OMCD于M，作ONBC于N，则易证OEMOFN，则四边形OECF的面积就等于正方形OMCN的面积，如正方形ABCD的边长是1，则OMCN的面积是14，因而本题的图形中的每个阴影部分的面积都相等，都是14，有n个正方形，则重合部分由n1个，则总面积是n-14故选：C二解答题（共3小题）3【解答】解：（1）证明：正方形ABCD关于BD对称，ABECBE，BAE=BCE又ABC=AEF=90，BAE=EFC，BCE=EFC，CE=EF过点E作MNBC，垂直为N，交AD于MCE=EF，N是CF的中点BC=2BF，CNBN=14又四边形CDMN是矩形，DME为等腰直角三角形，CN=DM=ME，ED=2DM=2CN=24a（2）如图所示：过点E作MNBC，垂直为N，交AD于M正方形ABCD关于BD对称，ABECBE，BAE=BCE又ABF=AEF=90，BAE=EFC，BCE=EFC，CE=EFFN=CN又BC=2BF，FC=32a，CN=34a，EN=BN=14a，DE=324a4【解答】解：（1）结论：AMBN理由：如图中，四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABM=BCN=90，BM=CN，ABMBCN，BAM=CBN，CBN+ABN=90，ABN+BAM=90，APB=90，AMBN（2）如图中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形AEB，AEB=90，作EFPA于E，作EGPB于G，连接EPEFP=FPG=G=90，四边形EFPG是矩形，FEG=AEB=90，AEF=BEG，EA=EB，EFA=G=90，AEFBEG，EF=EG，AF=BG，四边形EFPG是正方形，PA+PB=PF+AF+PGBG=2PF=2EF，EFAE，EF的最大值=AE=22，APB周长的最大值=4+425【解答】解：（1）如图AH=AB（2）数量关系成立如图，延长CB至E，使BE=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，&AB=AD&ABE=ADN&BE=DN，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，DAN+BAN=45，EAB+BAN=45，EAN=45，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，&AE=AN&EAM=NAM&AM=AM，AEMANMSAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AEM和ANM对应边上的高，AB=AH（3）如图分别沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD设AH=x，则MC=x2，NC=x3，在RtMCN中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC252=（x2）2+（x3）2（6分）解得x1=6，x2=1（不符合题意，舍去）AH=6正方形的判定 提升练习合肥市第三十八中学 徐晶一选择题（共2小题）1如图，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90，BEAD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（）A2B3C22D232如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成（）A22.5角B30角C45角D60角二解答题（共3小题）3已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PECM，PFBM，垂足分别为E、F（）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由（）在（）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？4两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AG（如图），求点D到AG的距离；（2）当=45时（如图），求证：四边形MHND为正方形5阅读材料，解决问题小聪在探索三角形中位线性质定理证明的过程中，得到了如下启示：一条线段经过另一线段的中点，则延长前者，并且长度相等，就能构造全等三角形如图，D是ABC的AC边的中点，E为AB上任一点，延长ED至F，使DF=DE，连接CF，则可得CFDAED，从而把ABC剪拼成面积相等的四边形BCFE你能从小聪的反思中得到启示吗？（1）如图1，已知ABC，试着剪一刀，使得到的两块图形能拼成平行四边形把剪切线和拼成的平行四边形画在图1上，并指出剪切线应符合的条件思考并回答：要使上述剪拼得到的平行四边形成为矩形，ABC的边或角应符合什么条件？菱形呢？正方形呢？（直接写出用符号表示的条件）（2）如图2，已知锐角ABC，试着剪两刀，使得到的三块图形能拼成矩形，把剪切线和拼成的矩形画在图2上，并指出剪切线应符合的条件参考答案一选择题（共2小题）1【解答】解：过B点作BFCD，与DC的延长线交于F点，则有BCFBAE（ASA），则BE=BF，S四边形ABCD=S正方形BEDF=8，BE=8=22故选：C2【解答】解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，所以当剪口线与折痕成45角，菱形就变成了正方形故选：C二解答题（共3小题）3【解答】（）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍证明：四边形ABCD是矩形，A=D=90，AB=DC，又AM=DM，AMBDMC（SAS）AMB=DMC四边形PEMF为矩形，BMC=90，AMB=DMC=45AM=DM=DC，即AD=2DC当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：四边形PEMF为矩形，M为直角，B、C、M三点共圆，BC为直径，又M为AD的中点，BC=2CD，当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍（）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形AMBDMC，MB=MC四边形PEMF为矩形，PEMB，PFMC又点P是BC中点，PE=PF=12MC四边形PEMF为正方形4【解答】（1）解：如图，作DKAG于点K，CD=CE=DE=2cm，CDE是等边三角形，CDE=60，（1分）ADG=36029060=120AD=DG=1cm，DAG=DGA=30，（2分）DK=12DG=12cm，点D到AG的距离为12cm（4分）（2）证明：=45，BCEH，NCE=NEC=45，CN=NE，CNE=90，（5分）DNH=90，D=H=90，四边形MHND是矩形，（6分）CN=NE，DN=NH，（7分）矩形MHND是正方形（8分）5【解答】解：（1）如图：剪切线EF，E、F分别AB、AC的中点如图，ABC的边或角应符合的条件：拼成矩形：B=90：拼成菱形：AB=2BC：拼成正方形：B=90且AB=2BC（2）如图（答案不唯一）剪切线应符合的条件：剪切线EF是中位线正方形的性质与判定提升练习合肥市第三十八中学 徐晶一填空题（共2小题）1如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH=FB，再过H作HP垂直AF交AB于P若CG=3则CGE与四边形BFHP的面积之和为 2如图，AC是四边形ABCD的对角线，B=90，ADC=ACB+45，BC=AB+3，若AC=CD，则边AD的长为 二解答题（共3小题）3在RtAEB中，AEB=90，以斜边AB为边向RtAEB形外作正方形ABCD，若正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）（1）求证：EO平分AEB（2）试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明（3）过点C作CFEB于F，过点D作DHEA于H，CF和DH的反向延长线交于点G（如图2），求证：四边形EFGH为正方形4如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为 cm25如图，P为正方形ABCD内的一点，画PAHD，PBEA，PCFB，PDGC，请证明：以E，F，G，H为顶点的四边形是正方形参考答案一填空题（共2小题）1【解答】解：四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=90，即CBG+ABF=90，又CGBE，即BGC=90，BCG+CBG=90，ABF=BCG，又AFBG，AFB=BGC=90，ABFBCG，AF=BG，BF=CG=FH=3，又FH=BF，AH=FG，设AH=FG=x，PHAF，BFAF，AHP=AFB=90，又PAH为公共角，APHABF，PHBF=AHAF，即PH=3xx+3，PHBF，BP不平行FH，四边形BFHP为梯形，其面积为3(3xx+3+3)2=9x2(x+3)+92；又BCG+ECG=90，ECG+BEC=90，BCG=BEC，又BGC=CGE=90，BCGCEG，BGCG=CGGE，即GE=9x+3，故RtCGE的面积为1239x+3，则CGE与四边形BFHP的面积之和为9x2(x+3)+92+272(x+3)=9(x+3)2(x+3)+92=9故答案为：92【解答】解：作DCH=ACB，并过D作DHCH于H，延长HD交BA延长线于K，如图所示：设DCH=ACB=x，AC=CD，DAC=ADC=x+45，ACD=1802（x+45）=902x，BCH=90，在ABC和DHC中，ACB=DCHB=DHC=90AC=DC，ABCDHC（AAS），BC=HC，AB=DH，四边形BCKH是正方形，K=90，BK=HK，AK=DK=BCAB=3，ADK是等腰直角三角形，AD=AK2+DK2=6故答案为：6二解答题（共3小题）3【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=BAD=90，ACBD，ABO=BAO=45，AOB=90，AEB+AOB=90+90=180，A、O、B、E四点共圆，OA=OB，OEB=OEA，即EO平分AEB；（2）解：AE+BE=2OE理由：如图1，延长EA至点F，使AF=BE，连接OF，由（1）知，OBE+OAE=180，OAE+OAF=180，OBE=OAE，在OBE与OAF中，&OB=OA&OBE=OAF&BE=AF，OBEOAF（SAS），OE=OF，BOE=AOFBOE+AOE=90，AOF+AOE=90，EOF=90，EOF是等腰直角三角形，2OE2=EF2，即2OE2=（AE+BE）2，AE+BE=2OE（3）证明：如图2所示，ABCD是正方形，E=H=90，AB=ADEAB+DAH=90，EAB+ABE=90，ADH+DAH=90，EAB=HAD，ABE=DAH在ABE与ADH中，&EAB=HAD&AB=AD&ABE=DAH，ABEADH（ASA）同理可得，ABEADH，ADHDCG，DCGCBF，CG+FC=BF+BE=AE