4.2非齐次线性方程组.ppt

4 2非齐次线性方程组 1 性质 证 2 性质 证 三 求解 定理3给出了求解步骤 归纳如下 例1 求解非齐次线性方程组 解 例2 求解非齐次线性方程组 解 所求非齐次方程组通解 例3 设有线性方程组 解一 得同解方程组 所求方程组通解 解二 例4 解 附录 1 经济学投入产出分析应用 2 线性方程组迭代法 Jacobi法 1 投入产出分析的应用 在一个国家或地区的经济系统中 各部门 或各企业 既有消耗又有生产 或者说既有 投入 又有 产出 生产的产品供给各部门和系统外以满足需求 同时也要消耗系统内各部门所提供的产品 消耗的目的是为了生产 生产的结果必然要创造新价值 以支付工资和获取利润 显然对每一部门 物资消耗和新创造的价值等于它生产的总产值 这就是 投入 和 产出 之间的平衡关系 实例 一个城镇有三个主要生产企业 煤矿 电厂和地方铁路作为它的经济系统 已知生产价值一元的煤 需消耗0 25元的电费和0 35元的运输费 生产价值一元的电 需消耗0 40元的煤费 0 05元的电费和0 10元的运输费 而提供价值一元的铁路运输服务 则需消耗0 45元的煤费 0 10元的电费和0 10元的运输费 假设在某个星期内 除了这三个企业间的彼此需求 煤矿得到50000元的订单 电厂得到25000元的电量供应要求 而地方铁路得到价值30000元的运输需求 试问 1 这三个企业在这个星期各应生产多少产值才能满足内外需求 2 除了外部需求 试求这个星期各企业之间的消耗需求 同时求出各企业新创造的价值 即产值中除去各企业的消耗所剩的部分 3 如果煤矿需要增加总产值10000元 它对各企业的产品或服务的完全需求分别将是什么 这是一个小型的经济上的投入产出模型 以上方程组称之为分配平衡方程组 每一个等式以价值形式说明对每一企业 中间产品 作为系统内各企业的消耗 最终产品 外部需求 总产品 以上方程组称之为消耗平衡方程组 每一个等式说明对每一企业 对系统内各企业产品的消耗 新创价值 总产值 方程组 1 可以写成矩阵形式 在经济学上分别称为直接消耗矩阵 产出向量和最后需求 或最终产品 向量 上述方程组又可以写成 三个列向量组成的矩阵 是投入产出分析中的投入产出表的基本部分 有了总产量和各企业的投入 就可得创新价值 由于某个企业在进行生产或提供服务时 对任何一个产品的直接消耗事实上还蕴含着对其他产品的间接消耗 例如地方铁路在运输时直接消耗了煤 但它还通过消耗电而间接消耗煤 这样就有了完全消耗系数的概念 完全消耗系数是指某企业生产单位产值的产品而对其他一企业产品的总消耗值 与直接消耗矩阵一样 完全消耗矩阵反映了煤矿 电厂和铁路在生产需求上的关系 但后者从完全需求的角度揭示了它们在更深层次上的相互依赖关系 如果要扩大煤的生产每周增加产值1万元 就不仅要增产0 25万元的电和0 35万元的运输能力作为直接消耗 还必须有0 46万元的煤 0 24万元的电和0 27万元的运输能力作为间接消耗 对于经济部门的计划决策者而言 以上数据是非常重要的 在扩大生产与投资等问题上 需要充分考虑其他部门的相应能力 2 线性方程组的Jacobi迭代法 格式很简单 收敛条件 要参看专业数学书 迭代格式收敛的充要条件是G的谱半径 1 对于Jacobi迭代 我们有一些保证收敛的充分条件 定理 若A满足下列条件之一 则Jacobi迭代收敛 A为行对角占优阵 A为列对角占优阵 A满足 对数学的主要贡献史密斯对数论 高等代数 数学分析等领域都作出了贡献 例如 他将高斯的若干定理由实变量推广到复变量 他补充完善了数论理论 从而1883年获法国科学院的奖金 他引进了增广矩阵和非增广矩阵的术语 他还与魏尔斯特拉斯以及西尔维斯特创立了 矩阵