凸函数的性质研究毕业论文完整版.doc

凸函数性质研究凸函数性质研究摘 要凸函数是分析学中一类重要的函数，最早是由Jensen提出。它在纯粹数学与应用数学等诸多领域中应用十分广泛，现已成为对策论、数学规划、分形学、最优控制和数理经济学等学科的理论基础和有力工具。为了理论上的突破，加强其在实践中的应用，凸函数的性质还在不断研究和完善中。本文将散见于各文献中凸函数的概念进行了系统的归纳和总结，并给出了凸函数常见的判定定理，进而研究了凸函数的常用性质，列举了与凸函数相关的著名不等式；由于凸函数的定义是由不等式给出的，其广泛应用主要体现在不等式的证明中。基于此，本文主要通过对凸函数的概念和性质进行系统的总结和研究，探索出凸函数在一般不等式，Jensen不等式，Holder不等式，Cauchy不等式，Young不等式，及Hadamard不等式证明中的应用，并简要阐述了凸函数在其它领域的贡献。关键词： 凸函数；不等式；导数；单调性Study on the properties of convex functionAbstractConvex function which was first proposed by Jensen is a kind of important functions in analytics. It is widely used in pure and applied mathematics ,etc. Convex function becomes the theoretical basis and the powerful tool of the game theory、 mathematical programming theory、 analysis、mathematical science、 economics and other disciplines. In order to have a theoretical breakthrough which could strengthen the application in practice，the properties of convex function are being researched. In this article, the writers main work is summarizing the various concepts of convex functions which developed in different mathematical books. Furthermore, the writer also gives some definitions of common theorems and also enumerates the famous inequalities related to convex function. Because the definition of convex function is given by inequalities，its application mainly reflects in the proof of inequality. The writer mainly summarizes concepts and properties of the convex function and explores its application in the general inequality such as Jensen inequality, Holder inequality, Cauchy inequality, Young inequality and Hadamard inequality. At last, it discusses the contribution of convex function in other fields briefly.目 录摘 要1第一章 绪论41.1 凸函数的产生和发展41.2 凸函数研究的目的和意义4第二章 凸函数的定义及判定52.1 凸函数的定义及关系52.2 凸函数的判定定理7第三章 凸函数的性质113.1 凸函数的一般性质113.2 凸函数的运算性质123.3 凸函数的微分性质143.4 凸函数的积分性质153.5 凸函数的其他性质16第四章 凸函数的应用194.1 利用凸函数证明经典不等式194.2 凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用214.3 利用凸函数的定义证明一般不等式224.4 凸函数在积分不等式中的应用234.5 凸函数在其它领域的应用简述254.5.1 凸函数在生产函数中的应用254.5.2 凸函数在消费者效用最大化问题中的应用26第五章 结论26参考文献27致谢28第一章 绪论1.1 凸函数的产生和发展函数是数学中最重要的基本概念，也是数学分析的重点研究对象，而凸函数则是其中独特的一类。凸函数的概念最早见于Jensen的著作中。起初，人们并不看好凸函数，但随着上世纪40年代杜克和冯诺伊曼等人对策论和数学规划的研究，凸函数开始引起人们的注意。凸函数的产生给人们带来了一种新的研究函数的工具，其独有的性质引起了人们“认识”它的欲望，从上世纪50年代初到60年代末，不少的数学家相继对凸函数进行了大量的研究，上世纪60年代中期产生了凸分析。从此，凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来了。 本世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在数学，经济等领域得到了广泛应用。凸函数的特殊性质决定了其在函数领域的特殊地位。到目前为止，凸函数的研究已经从简单的定义研究发展到对其性质的研究，再到其凸性在各个领域应用的研究。由于人的求知欲是无限的和科技的不断发展，人们对凸函数的研究还在不断进行中。1.2 凸函数研究的目的和意义在众多的数学思想方法中，运用最多的就是函数思想，其精髓在于利用函数的相关性质对讨论的问题进行推理和论证。凸函数是一种性质特殊的函数，也是函数中一种应用比较广泛的函数。除了在数学学科，例如函数论、数学分析、最优理论、泛函分析等中得到广泛应用，在现代优化学、工程测绘学和管理学等多个学科也有着很好的应用和重要的意义。基于凸函数性质的良好性和应用的广泛性，对凸函数的性质与应用进行系统的总结和研究，对其理论进一步深入研究和推广，就显得尤为重要。在现行的高等数学教材中，各个版本对凸函数的定义有所差异。本文在现有的书籍和文献的基础上，总结归纳出凸函数的各种定义，探讨了其常见的判定条件，并给出了证明过程，从而进一步列举了凸函数常用的性质，结合凸函数的概念和性质，总结了凸函数在一般不等式和经典不等式证明中的应用，在本文的最后，简单叙述了凸函数在生产中及经济等其它领域的广泛应用。通过本次课题的研究，将对凸函数的有更加全面、深刻的理解，便于今后更好的运用凸函数解决复杂的问题。第二章 凸函数的定义及判定大家都熟悉的图像，它的特点是：曲线上任意两点间的连线总在其弧线的上方，我们把具有这一类特性的曲线函数称为凸函数。上面的定义是几何描述型的，为了更加规范，我们给出了凸函数的科学定义。2.1 凸函数的定义及关系定义1 设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点，和任意实数，总有 （1.1）则称为区间上的（下）凸函数。（1.1）式中“”变成“”则是严格（下）凸函数的定义。 “”变成“”，则称为上的凹函数。定义2 设为定义在区间的上的函数，若对上的任意三点，且 ，总有 （1.2） 则称为上的凸函数。 定义3 设为定义在区间的上的函数，若对上任意三点，且,恒有 （1.3）则称为上的凸函数。现在，我们证明定义1，定义2，定义3相互等价，我们只需证：定义1定义2定义3定义1证 明 （1） 定义1定义2对任意，取 ，,显然有 ，且，有凸函数的定义1，得 移向有 ，即，两式合并为。（2） 定义2定义3 由定义2知，其中，故，因为 ，所以 。（3）定义3定义1对任意，令，则，且，由定义3，可得 ，整理得，即证毕。2.2 凸函数的判定定理根据凸函数的定义及其等价定义，我们给出凸函数的几种常用判定定理。定理1 设在上连续，则在上为凸函数的充要条件是：对中任意两点，恒有。证 明 证法一：在定义1中取即证；证法二：对任意两点，且，取，则有，有凸函数的定义2知，显然，所以，进而 ，即。证毕。定理2 设为区间上的二阶可导函数，若对任意，恒有，则为上的凸函数。证 明 证法一：（Lagrange中值定理）由于，所以为上的增函数。设，为上任意两点，取，分别在区间,上应用拉格朗日中值定理，则有， ， 由和递增条件得，又，则，即 ，从而，由定理1知，为上凸函数。证法二：（Taloy公式）对任意两点，取，将在点展开成泰勒公式有，其中，因为，所以已知，则上式中，从而有所以为上凸函数。证毕。推 论 设函数为上的可导函数，则在上为凸函数的充要条件是：为上的单调递增函数。定理3 （Jensen不等式）设函数在区间上有定义，若对任意，任意，且，有，则称在区间上为凸函数。证 明：（数学归纳法）当时，有，此为凸函数的定义；若时成立，要证也成立。设，。取，则有由凸函数定义1的推广知，在区间上为凸函数。定理4 若对任意，有，则称在区间上为凸函数。证 明 在定理3中取即证。定理5 设是函数在上的单调递增，若存在，对任意，有，则称在区间上为凸函数。定理6 函数是上凸函数的充要条件是：对于两点，函数在区间上是凸函数。证 明 充分性：已知在区间上是凸函数，那么对任意，有所以是上凸函数。必要性：设是上凸函数，那么对任意，有证毕。第三章 凸函数的性质近年来，国内外的广大数学爱好者对凸函数进行了深入的研究，发现了凸函数的许多独特性质，本文着重从以下几方面介绍。3.1 凸函数的一般性质性质3.1.1 设为区间上的可导函数，则下列三个论断相互等价：为上凸函数；在上单调递增；对于上的任意两点 ，总有 。证 明 对区间上任意两点，且，取，则，由定义2有，因可导，上式即为，所以递增。 设上任意两点，在上应用拉格朗日中值定理，因为递增，有，即。 设上任意两点，取，则有，。分别用和乘上列两式并相加，便得从而为上凸函数。性质3.1.2 若函数是区间上的单调递增的可积函数，则由变动上限定义的函数是上的一个凸函数。证 明 要证明是上的凸函数，由凸函数的判定定理1知，只需证明成立即可，即证。 设，则 ，因为是单调递增的，所以 ，从而 ，所以是上的凸函数。 3.2 凸函数的运算性质性质3.2.1 设为区间上的凸函数，为非负实数，则也为上的凸函数。证 明 因为为凸函数，由凸函数的定义知，对上的任意， 有 ，不等式两边同乘以非负实数，有，所以为上的凸函数。性质3.2.2 若，均为区间上的凸函数，则也为上的凸函数。证 明 因为，均为凸函数，由凸函数的定义知，对上任意，有 ， ，不等式两边相加得，根据凸函数的定义，为上的凸函数。推 论 若，均为区间上的凸函数， ，为非负实数，则也为区间上的凸函数。性质3.2.3 若，均为区间上的凸函数，则也是上的凸函数。证 明 因为，均为区间上的凸函数，对任意，有， ，已知，故有，从而，进而，即。根据凸函数的定义，是上凸函数。性质3.2.4 若是单调增加的凸函数，且为凸函数，则函数也是凸函数。证 明 证法一：因为是凸函数，则对定义区间上的任意两点，有,又因为是单调增加的凸函数，则。所以由凸函数的判定定理1知，函数也是凸函数。证法二：因为是单调增加的凸函数，且为凸函数，则对任意的，有，根据凸函数的定义，也是凸函数。3.3 凸函数的微分性质性质3.3.1 设是上凸函数，则有下列结论：（1）在上处处存在左右导数，且；（2）在上连续。证 明 （1）对任意的，存在，记，则对任意的，且，有，从而在上为单调递增函数，取定点，则由定义2，因此在上有上界，从而存在，故存在，同理可证，存在。因为对任意，令，则有（2）对任意的，取，使，当时，当时，从而，故，所以在上连续。3.4 凸函数的积分性质性质3.4.1 设在上为凸函数，则函数在上也是凸函数。 证 明 对任意,令 ，有 对任意，恒有 根据凸函数的定义，在上为凸函数。 3.5 凸函数的其他性质性质3.5.1 设在上为严格凸函数，若存在是的极小值点，则是的唯一极小值点。证 明 （反证法） 不妨 设是的另一极小值点，且，已知是上严格凸函数，则对任意,有 ，于是对任意，当时，有，从而，与是的极小值点矛盾，故是的唯一极小值点。性质3.5.2 设函数是上的凸函数，如果不是常值函数，那么在上不能达到最大值。 证 明 （反证法）不妨假设在上某一点取得最大值。由于不是常值函数，那么总可以找到包含的开区间， 且，则至少有一个端点处函数值小于，不妨设，。 令，则有 ，显然矛盾。从而在上不能达到最大值。 性质3.5.3 设函数为上为凸函数，则在上的任一闭子区间上有界。证 明 先证明在区间上有上界。设为上任一闭子区间:对任意，令，则。已知为凸函数,记，从而因此函数在上有上界；再证明其有下界。取的中点，对任意，为关于的对称点，由为凸函数，得 , 从而 ，则在上有下界。性质3.5.4 设为区间上的凸函数，如果为中不含的端点的闭区间，则对任何上满足Lipschitz条件，即存在,对任何，有。 证 明 由已知条件，可取，使得，任取，因为为凸函数，故不等式 令 ,则不等式等价于，由于上述常数与中的点无关，因此在上满足Lipschitz条件：存在,使得对任何都成立。第四章 凸函数的应用不等式证明是数学中常见的证明类型，对于一些比较复杂的不等式，证明起来非常困难，繁琐，但利用凸函数的性质和定义来证明便可以非常巧妙、简洁。证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数。4.1 利用凸函数证明经典不等式 例4.11 （平均值不等式）设，试证:证 明 先证 :设，有，由凸函数定义，为凸函数，令，由詹森不等式得，即，亦，因此 。再证 :令取代，有，即证毕。例4.1.2 （霍尔德（Holder）不等式）设，试证:，其中，。证 明 （1）当时，仍令，取，则，且，即。（2）当时，在上不等式中，令，有，化简得 。例4.1.3（柯西（Cauchy）不等式）若，试证：，等号成立，当且仅当与成比例 证 明 设，则，由凸函数的判定定理知在上是凸函数，再由Jensen不等式得 , 令， 且，代入上式得 ，即 例4.1.4 （Young不等式)试证：，其中均为正数，且。 证 明 令，则，故为凸函数。则有，即 ，由的单调性得，所以。4.2 凸函数的经典不等式在证明不等式中的应用例4.2.1 试证不等式成立，其中均为正数。证 明 设,则，所以为凸函数，由Jensen不等式有,即，从而，又因 , 所以有 。例4.2.2设，试证：。证 明 由Cauchy不等式，得 即4.3 利用凸函数的定义证明一般不等式 不等式是数学学科中一个重要的组成部分，不等式最关键的就是对它的证明，而有些不等式用常规的证明方法显的十分麻烦和困难，如借助凸函数的定义去证明便十分便捷，如下几例。例4.3.1 对，有。证 明 设，则，由定义知在上是凸函数，取，则，即。例4.3.2 试证:对任意的非负实数，有。证 明 令,，则, 因此在上是凸函数，由函数凸性的判定定理1可知对任意的非负实数，有，从而 所以 证毕。由此可见，应用Jensen不等式或凸函数的性质和定义来证明不等式时，辅助函数的选取至关重要，通常要对证明的不等式进行分析，从而选取合适的凸函数以达到证明的需求。4.4 凸函数在积分不等式中的应用例4.4.1 设为上的连续凸函数，则对任意，且，恒有。上不等式称为Hadamard不等式。证 明 令，有，同样，令，则有，从而，因为和关于对称，且为凸函数，所以，又因为凸函数，进而例4.4.2 设，且，是上连续凸函数，求证：证 明 将区间等分，分点为，因是凸函数，知，即，由于，知。当时对上式两端取极限得。4.5 凸函数在其它领域的应用简述4.5.1 凸函数在生产函数中的应用通过大学阶段的课程学习，我们知道经济学中的许多重要决策，比如投资就和数学有关，由此可以看到数学与经济学紧密相关。在做决策时，经济学家需要用到数学知识所计算出来的结果，为他们的分析提供强有力的依据和支持。我们通过下面的例子，探讨凸函数在生产函数中的应用。生产函数在经济学中的定义是：在既定的工程技术知识水平下，给定的投资所能够得到的最大的产出。换句话来说，它描述的就是在目前技术下，某产品的最大产出量与其所需要素的投入量之间的关系。生产函数一般可分为两类：一种可变投入生产函数，多种可变投入生产函数。前者通常研究短期生产，而后者一般考察长期生产。生产函数Q可以表示为：式中变量L表示产量，K表示投入劳动，N表示资本，E表示土地和企业家。通常情况下，我们可以将其简化为：在经济增长中我们遇到的生产函数涉及面很广泛，现在我们考察凸生产函数模型。令总产量为TP=Q，平均产量为AP，边际产量（在其他投入量保持不变的情况下，由于新增一个单位的投入而由此多生产出来的产量或者产出）为MP，假设为连续的。故可得： ,，假如生产函数在某一个区间上是凸函数，那么由凸函数的性质可知在该区间上其二阶微分，即边际产量的微分。根据凸函数性质可知，可导凸函数的导函数为单调递增，由此我们可以知道当生产函数为凸函数的时候，边际产量是递增的，即社会总产量的增长率为递增，这时经济处于增长状态。相反，如果生产函数为凹函数，那么边际产量的微分，即随着资本和劳动的投入，总产量会减少。综上，我们可以得出这样的一个结论：在给定的技术条件下，如果生产函数为凸函数，那么经济处于增长的状态，这时我们应该加大资本和劳动的投入从而获取更大的产出。4.5.2 凸函数在消费者效用最大化问题中的应用效用在经济学中是指消费者在消费的时候所感受到的满意度。如何使消费者效用最大化，是经济学中一个重要的研究内容。假设现在有种商品，表示第种商品的数量，那么消费能以购买的商品组合为,这也被称做消费组合。令表示消费者满意度，那么效用函数就能表示为。对于上述的效用函数，我们还可以利用满意度大小对其进行赋值。将满意度比较大的消费组合赋予较大的值，将满意度比较小的消费组合赋予较小的值，将满意度相等的消费组合赋予相同的值。因为消费者对商品满意度的值很难确定，所以实际生活中，效用函数通常用来反映某消费者对商品额满意度的顺序。当然，消费者在实现效用最大化的同时还会受到预算的约束。预算集是预算的一个集合，它表示在一定的商品价格和消费者收入的条件下，消费者能买到商品的消费组合。将m表示消费者的收入，p=(p1,p2,pn)表示商品价格的集合，那么预算集就可以表示为：B(p,m)=xX|xpTm。故消费者效用最大化问题就可以看作在预算集中选择最优的消费组合,令效用函数最大。通过对凸函数性质的运用，我们就可以准确地选择出合适的消费组合，从而使消费者效用达到最大化。第五章 结论凸函数是一类具有特殊性质的辅助函数，凸函数的许多性质在数学的诸多领域如：数学规划、泛函分析、黎曼几何、复分析乃至经济学等中应用甚广。随着科技日新月异的发展和网络的快速普及，人们对于凸函数的理解越来越系统，研究也越来越全面，特别是有关凸函数的应用方面，许多数学家和爱好者都对其进行了广泛的研究，这些研究成果都为我们更好的认识凸函数做出了巨大的贡献。本文主要是对前人的研究进行整理、归纳和总结，当然也有自己的一些观点。在这次课题的研究中，我们认识到：凸函数的定义及性质是整个研究的基石，无论是研究其浅显的概念，还是广泛的应用，我们都应该从它的定义和性质入手。凸函数的性质有很多，我们在研究它的应用时应该做到“对症下药”，只有正确的运用凸函数的各个性质，我们的研究才能达到事半功倍的效果。参考文献1常庚哲，史济怀. 数学分析教程 上册. 北京：高等教育出版,2003.52崔尚斌. 数学分析教程 上册. 北京：科学出版社,20133叶淼林. 数学分析 上册. 合肥：中国科学技术大学出版社,2012.14杜其奎. 数学分析精读讲义. 北京：科学出版社,20125华东师范大学数学系编. 数学分析(第四版) 上册. 北京：高等教育出版社,2010.76吴传生主编. 数学分析（上、下册）习题精读. 合肥：中国科技大学出版社,2004.97彭立中，谭小江. 数学分析 第1册. 北京：高等教育出版社,2005.78梅加强. 数学分析. 北京：高等教育出版社,2011.79陈秋涵. 凸函数在微观经济学中的应用. 科技通报. 第30卷，第5期，2014.510Rudin W. Principles of M