高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.2 弧度制课堂导学案 新人教A版必修4.docVIP

1.1.2 弧度制课堂导学三点剖析1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算【例1】设角1=-570，=750，1=35弧度，2=弧度.（1）将1，用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将1、2用角度制表示出来，并在-7200之间找出与它们有相同终边的所有角.思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360=2弧度在解题中起关键作用.解：(1)180=弧度,-570=-.1=-22+,同理=22+,1在第二象限，在第一象限.（2）180=108,设=k360+1(kz),由-7200,-720k360+1080,k=-2或k=-1，在-7200之间与1有相同终边的角是-612和-252.同理 2=-360-60=-420，且在-7200间与2有相同的终边的角是-420和-60.温馨提示 迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：由已知可知圆心角的大小为，然后用公式求解.解：（1）如下图所示，半径为r的o中弦ab=r,则oab为等边三角形，所以aob=，则弦ab所对的劣弧长为r.(2)saob=|ab|od|=rs扇形oab=lr=r=s弓形=s扇形oab-saob=r2-=(-)r2.3.弧度制表示角及终边相同的角【例3】 集合m=x|x=+,kz,n=x|x=+,kz,则有（ ）a.m=n b.mn c.mn d.mn=思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合m、n所表示的角的终边的位置.解：对集合m中的整数k依次取0,1,2,3,得角,.于是集合m中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合n中的角与0,2角的终边相同，如下图（2）所示.故mn.选c.答案：c温馨提示 在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如=2k+30(kz),=k360+（kz）都不正确.各个击破类题演练1（1）把11230化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230化成弧度（用表示）；（3）把-化成度.解：(1)n=11230,=3.141 6;n=112.5=0.017 5=na=1.968 751.969 rad(2)11230=(2252)=2252=(3)-=-()=-75变式提升1判断下列各角所在的象限:（1）9；（2）-4；（3）.解：（1）因为9=2+(9-2),而9-2，所以9为第二象限角.(2)因为-4=-2+（2-4），而2-4,所以-4为第二象限角.(3) =-2002+5,所以为第一象限角.温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留即可，不必将化成小数.(3)判断所在的象限时，一般是把表示成=2k+,kz,0,2)的形式，根据和角终边相同作出判断.类题演练2一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是弧度，则扇形的弧长是r，扇形的周长是2r+r.由题意可知2r+r=r.=-2（弧度）.扇形的面积为s=r2=r2(-2).变式提升2一扇形周长为20 cm，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？解：设扇形中心角为，半径为r，则2r+r=20,=.s扇形=r2=12r2=(10-r)r=10r-r2.当r=5时，s扇形最大=25，此时=2.答：扇形的半径为5 cm，圆心角为2 rad时，扇形面积最大，最大值为25 cm2.类题演练3已知角的终边与的终边相同，在0，2）内哪些角的终边与角的终边相同？解：角的终边与的终边相同，=2k+(kz).=2k+9(kz).又02,0+2(kz).当k=0、1、2时，有=、，它们满足条件.、为所求.变式提升3若是第四象限角，则-是（ ）a.第一象限角 b.第二象限角c.第三象限角 d.第四象限角解法1：为第四象限角.2k-2k,kz.-2k-2k+,