高中数学 第二章 圆锥曲线 2.1 截面欣赏2.2 直线与球、平面与球的位置关系学案 北师大版选修4-1.doc

2.1 截面欣赏2.2 直线与球、平面与球的位置关系课标解读1.了解截面的概念2理解直线与球的位置关系3理解平面截球及球面的意义及性质.1直线与球的位置关系(1)直线与球的位置关系已知球o的半径为r，球心到直线l的距离为d.位置关系公共点d与r的关系相离没有公共点dr相切只有一个公共点dr相交有两个公共点dr(2)球的切线性质从球外一点作球的切线，它们的切线长相等，所有的切点组成一个圆2平面与球的位置关系(1)平面与球的位置关系设球的半径为r，球心到平面的距离为d.位置关系公共点d与r的关系相离没有公共点dr相切只有一个公共点dr相交有无数个公共点dr (2)球的截面性质图211一个平面与球面相交，所得的交线是一个圆，且圆心与球心的连线垂直于这一平面如图211所示，平面截球得一截面圆o，oo1与平面垂直，p为截面圆上一点，在rtoo1p中有op2ooo1p2，这个等式给出了球半径、截面圆半径与球心到截面圆的距离三者之间的关系1如何求球的两个平行截面间的距离？【提示】(1)作出过球心和截面圆圆心的截面(2)分两种情况：一是两截面在球心同侧；二是两截面在球心异侧(3)利用球的半径r，截面圆半径r及球心到截面圆的距离d的关系r2d2r2来求解2如何判断点、直线、平面与球的位置关系？【提示】点、直线、平面与球的位置关系与它们到球心的距离和球的半径的大小有着密切的关系因而要判断点、直线和平面与球的位置关系，关键是寻找球心到点、直线、平面的距离d与球的半径r的大小关系，特别地要证明点在球面上、直线或平面与球相切，只需证明dr.与球有关的截面问题已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12和16，求这两个截面间的距离【思路探究】【自主解答】设球心为o，两截面的圆心分别为c、d，由已知2ce12，得ce6，2df16，得df8，当两截面在球心同侧时，如图(1)cdocod2，当两截面在球心两侧时，如图(2)所示cdocod14.故两个截面间的距离为2或14.1本题中两个平行截面与球心的位置关系不确定，故应分类求解2解决有关球的问题，通常是通过研究球的截面来实现的，实质上是利用球的截面，化空间问题为平面问题图212已知球o的半径为3，它有一内接正方体abcda1b1c1d1，如图212所示，则球心到平面abcd的距离为_【解析】平面acc1a1截球所得截面图形如图所示ac1aa1，aa12.oo1aa1.球心到平面abcd的距离为.【答案】直线、平面与球的位置关系一个球放在水平地面上，球在阳光下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处，同一时刻，一根高1米的垂直立于地面的标杆的影子长是2米，求球的半径【思路探究】作出球的截面，构造三角形，利用切线长定理及三角形相似求解【自主解答】如图所示，o为球的轴截面图，ab与o切于a，ab10米，它是ac的影长，则ac5米，bc切o于d，由切线长定理知bd10米，cb5，cdcbbd510，cc，odccab90，ocdbca，od1020(米)，故球的半径为1020米1解答本题时首先应明确地面与球相切，球的投影最远点是由光线与球的切点决定的，然后作出截面，构造三角形求解2利用球的轴截面可把球的问题转化为圆的问题求解已知过球面上三点a、b、c的截面到球心的距离等于球半径的一半，且acbc6，ab4，求球面面积【解】如图所示，设球心为o，球半径为r，m是ab的中点作oo1平面abc于o1，由于oaobocr，则o1cm.设o1mx，易知o1mab，则o1ao1ccmo1mx，即4x，解得x，则o1ao1bo1c，在rtoo1a中，o1o，oo1a90，oar.由勾股定理得()2()2r2，解得r.故s球面4r254.综合问题已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长a.(1)求它的外接球的体积；(2)求它的内切球的表面积【思路探究】(1)外接球的球心就是sac外接圆的圆心；(2)以内切球的球心为顶点，以正四棱锥的各个面为底面的棱锥的体积之和等于正四棱锥的体积【自主解答】(1)如图，设外接球的半径为r，球心为o，则oaocos，所以o为sac的外心，即sac的外接圆半径就是球的半径，abbca，aca.sascaca，sac为正三角形由正弦定理得2ra，因此ra，v球r3a3.(2)设内切球的半径为r，作se底面于e，作sfbc于f，连接ef.则有sfa.ssbcbcsfaaa2，s棱锥全4ssbcs底(1)a2，又sea，v棱锥s底ha2aa3，ra，s球4r2a2.1解答本题第(2)小题时，内切球的球心无法确定，从而利用等体积法直接求内切球的半径2当几个平面与球都相切时，根据平面与球相切的定义，球心到各平面的距离都等于球半径同时在解决此类问题时，一要注意用好图形，二要注意使用线面关系解题图213如图213所示，已知棱长为a的正四面体abcd有内切球o，求球心o到棱ab的距离【解】设内切球半径为r，由等积法：bo1aa，ao1 a.4a2rvabcda3，ra.aoao1oo1aaa.又aobo，设e为ab的中点，连接oe，则oe为球心o到ab的距离，oe a.(教材第50页复习题二a组第1题)在半径为13 cm的球面上有a、b、c三点，ab6 cm，bc8 cm，ca10 cm，求过这三点的截面与球心o的距离(2013大连模拟)在球面上有四点p、a、b、c，若pa、pb、pc两两垂直，且papbpca，求这个球的体积和表面积【命题意图】本题主要考查直线与球、平面与球的位置关系【解】由papb可知p、a、b确定一个平面，设它与球o的交线为o1，由于papb，故ab是o的直径，且aba.pcpa，pcpb，pc平面pab.又oo1平面pab，oo1pc.过oo1、pc作平面交球面为大圆o