高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量优化训练 北师大版必修4.doc

2.3 从速度的倍数到数乘向量2.3.1 数乘向量5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列等式中不正确的是( )a.+=0 b.-=c.0=0 d.（a）=a解析：选项a说明首尾相连的向量之和为0，还可推广到n个向量首尾相连.对零向量的运算有明确规定，另外运算律也要熟练掌握.00.答案：c2.化简：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）； （2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）；（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）； （4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）.解：（1）5（3a-2b）+4（2b-3a）=15a-10b+8b-12a=3a-2b；（2）6（a-3b+c）-4（-a+b-c）=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c；（3）（x-y）（a+b）-（x-y）（a-b）=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2（x-y）b；（4）（a+2b）+（3a-2b）-（a-b）=（）a+（）b=a+b.3.已知两个非零向量a、b，试作=a+b，=a+2b，=a+3b.你能判断a、b、c三点之间的位置关系吗？为什么？解：分别作向量、，过点a、c作直线ac，观察发现，不论向量a、b怎样变化，点b始终在直线ac上，猜想a、b、c三点共线.事实上，因为=-=a+3b-（a+2b）=b，而=-=a+3b-（a+b）=2b，于是=2，所以，a、b、c三点共线.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知菱形的两邻边=a，=b，其对角线交点为d，则等于( )a.a+b b.a+b c.(a+b) d.a+b解析：由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案.答案：c2.已知四边形abcd是菱形，点p在对角线ac上（不包括a、c点），则等于( )a.（+），（0，1） b.（+），（0，）c.（-），（0，1） d.（-），（0，）解析：由题意，知=+，又点p在ac上，故存在实数（0，1）使=.答案：a3.若3m+2n=a，m-3n=b，其中a、b是已知向量，求m、n.解：3m+2n=a， m-3n=b， 3,得3m-9n=3b. -,得11n=a-3b.n=. 将代入得m=b+3n=.4.在平行四边形abcd中，=a，=b，求、.解法一：利用平行四边形的性质得=a，=b.=+=-，=a-b.又=+，=，=a+b.解法二：将、视为未知量，由向量的加法、减法得：+=，-=.两式相加得2=+，=+=a+b.两式相减得2=-，=-=a-b.5.用向量方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边，且其长度等于第三边长度的一半.证明：如图，已知abc中，d、e分别是边ab、ac的中点.求证：debc，且de=.d、e分别是边ab、ac的中点，=，=.=-=（-）=.又d不在bc上，debc，且de=.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知正方形abcd的边长为1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于( )a.0 b.3 c. d.解析：由四边形abcd为正方形，可知+=，即a+b=c，所以a+b+c=2c.又|=，故a+b+c的模为.答案：c2.已知|=|=1且向量与不共线，则与bac的平分线共线的向量是( )a. b.+ c.- d.解析：由|=|=1且与不共线，可知以ab、ac为边的平行四边形为菱形，由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题.分析知选b.答案：b3.已知abc中，点d在bc边上，且=2，=r+s，则r+s的值是( )a. b. c.-3 d.0解析：=2，=r+s.又+=0，-=0，即-r-s-=0.（1-r）-（s+1）=0，即答案：d4.已知abc的三个顶点a、b、c及平面内一点p，若+=，则点p与abc的关系为( )a.p在abc的内部 b.p在abc的外部c.p在ab边或其延长线上 d.p在ac边上且是ac的一个三等分点解析：由+=，得+=-，即2=-.=2.由向量的数乘的几何意义知选d.答案：d5.如图2-3-1，在abc中，bd=dc，ae=3ed，若=a，=b，则等于( )图2-3-1a.b+a b.b-a c.b+a d.b-a解析：=-=-=（+）-=+=+（-）=-=b-a.答案：b6.已知a与b是不共线向量，实数x、y满足3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，则x+y=_.解析：a、b不共线且3xa+（10-y）b=2xb+（4y+7）a，3x=4y+7，10-y=2x.解得x=.故x+y=.答案：7.在平行四边形abcd中，设对角线=a，=b，试用a、b表示、.解法一：设ac、bd交于点o，则=a，同理，=b.=+=-=a-b.同理，=a+b.解法二：设=x，=y，那么+=，-=，即a=x+y，b=y-x.x=（a-b），y=（a+b），即=a-b，=a+b.8.若o、a、b三点不共线，已知=m+n，m、nr，且m+n=1，那么点p的位置如何?请说明理由.解：由已知=m+n=m+（1-m）=+m（-），-=m（-），即=m.与共线，即点p在直线上.说明：由此题可猜想，p、a、b三点共线的充要条件是：存在实数、使=+，且+=1.9.如图2-3-2，d、e、f分别为abc的边bc、ca、ab的中点，