高中数学 第三章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积例题与探究 新人教B版必修4.doc

3.3 三角函数的积化和差与和差化积典题精讲例1 已知cos-cos=，sin-sin=-，求sin(+)的值.思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用，以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除，得tan的值，再用万能公式求sin(+)的值.解:cos-cos=，-2sinsin=.sin-sin=-，2cossin=-.得-tan=-.tan=.sin(+)=.绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时，常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时，常用到积化和差公式.黑色陷阱:受思维定势的影响，如果由已知sin2+cos2=1，sin2+cos2=1联立方程组，分别解得sin,cos,sin,cos的值，那么运算量就明显加大，甚至会陷入困境.变式训练1 已知tan、tan是方程x2+3x-4=0的两个根，求的值.思路分析:利用根与系数的关系，得到tan+tan和tantan，进而得到tan(+).看到cos2+cos2，sin2+sin2是系数相等的同名三角函数的和，用和差化积公式变形.解:由韦达定理得tan+tan=-3，tantan=-4.=-.变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成积的形式.思路分析:所给的式子是四项的和，要化为积的形式，需考虑适当分组，注意到四个角的特征，显然应将cosx和cos4x组到一起，将cos2x和cos3x组到一起，这样可以在分别化积之后产生公因式，提取公因式后再继续化积.解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos=2cos(cos+cos)=4coscosxcos.例2(2005重庆高考卷，文17)若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+)的最大值为+3，试确定常数a的值.思路分析:考查三角函数公式，以及利用三角函数的有界性来求最值的问题.化简函数f(x)的解析式为asin(x+)的形式，再确定常数a的值.解:f(x)=+sinx+a2sin(x+)=+sinx+a2sin(x+)=sinx+cosx+a2sin(x+)=sin(x+)+a2sin(x+)=(+a2)sin(x+).f(x)的最大值为+3,sin(x+)的最大值为1，+a2=+3.a=.绿色通道:讨论三角函数的最值问题时，经过三角恒等变换，化归为y=asin(x+)的形式求解，有时化归为二次函数求解.变式训练 求函数y=cos3xcosx的最值.思路分析:由于是弦函数积的形式，则利用化积公式，将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为求二次函数的最值.解:y=cos3xcosx=(cos4x+cos2x)=(2cos22x-1+cos2x)=cos22x+cos2x-=(cos2x+)2-.cos2x-1，1，当cos2x=-时，y取得最小值-； 当cos2x=1时，y取得最大值1， 即函数y=cos3xcosx的最大值是1，最小值是-.问题探究问题 1)试分别计算cosa+cosb+cosc-4sinsinsin的值.在等边三角形abc中；a=60,b=90,c=30；a=120,b=30,c=30.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.(3)利用(2)的结论计算-2cos10-2cos99.8-2cos70.2+8sin5sin49.9sin35.1的值.导思:从a+b+c上归纳并猜想出结论.探究:(1)由题意得a=b=c=60，cosa+cosb+cosc-4sinsinsin=cos60+cos60+cos60-4sin30sin30sin30=+-4=1;cosa+cosb+cosc-4sinsinsin=cos60+cos90+cos30-4sin30sin45sin15=+0+-4=1；cosa+cosb+cosc-4sinsinsin=cos120+cos30+cos30-4sin60sin15sin15=-+-4sin215=-+-(1-cos30)=1.(2)在(1)中a+b+c=180，有cosa+cosb+cosc-4sinsinsin=1； 在(1)中a+b+c=180，有cosa+cosb+cosc-4sinsinsin=1； 在(1)中a+b+c=180，有cosa+cosb+cosc-4sinsinsin=1. 猜想：当a+b+c=180时，有cosa+cosb+cosc=1+4sinsinsin.证明：当a+b+c=180时，有a+b=180-c,即=90-，cosa+cosb+cosc=2coscos+1-2sin2=2cos(90-)cos+1-2sin2=2sincos-2sin2+1=2sin(cos-sin)+1=2sin(cos-cos)+1=2sin(-2)sinsin(-)+1=4sinsinsin+1.cosa+cosb+cosc=1+4sinsinsin.(3)10