范希尔的理论.doc

范希尔理论及其相关研究 荷兰学者范希尔夫妇经过理论和实践两方面的长期探索， 指出学生的几何思维存在5 个水平： 直观( V i s u a l i z a t i o n ) 、 分析 ( A n a l y s i s ) 、推理 ( I n f e r e n c e ) 、演绎 ( De d u c t i o n ) 、严谨( R i g o r ) I 引 这些不同的水平是不连续的， 但却是顺次的 学生在进入某一水平学习之前， 必须掌握之前水平的大部分内容因此，势必需要讨论如何才能使学生从一个水平跳跃到下一水平?A l a n H o f f e r根据范希尔理论给出了学生在每个思维水平上几何学习的阶段：熟知 ( F a mi l i a r i z a t i o n ) 、受指导的定向 ( G u i d e d Or i e n t a t i o n ) 、描述 ( V e r b a li z a t i o n ) 、自由定向 ( F r e e Or i e n t a t i o n ) 、整合 ( I n t e g r a t i o n ) 4 1 美国数学教 育界 了解范 希尔理论 开始于 1 9 7 6 年 Wi r s z u p的文章，在之后的近三十年里开展了较为全面的研究如 Ma y b e r r y研究了 5个水平的本质及学生在各水平中的组织；Us i s k i n以范希尔理论为依据测量了学生的几何能力；F u y s等调查了范希尔理论的教学效果；B u r g e r等则调查了这些水平在描述学生几何思维水平中的有效性， 以及学生的外在行为对各水平的反映效果我国了解范希尔理论的时间比较晚 目前对该理论的研究还处于介绍和应用的阶段 如李士镝在分析几何认知的特点时， 对范希尔的几何思维发展理论作了详细介绍；章建跃在解释平面几何入门难的问题时，也应用了该理论。但问题是范希尔理论产生于荷兰， 其学生受西方文化的 影响， 对于受东方文化影响的中国学生， 这一理论是否依然 有效?一项由美日学者共同开展的跨文化研究【 4 1 表明， 美 日 两国学生尽管在几何学习的阶段上存在细微的差异， 但总体上， 范希尔理论对于在东方文化下成长起来的学生仍然是有效的因此，我们有理由相信，在东方文化下，范希尔理论仍然是可以应用的， 也可作为中美几何课程比较的一个理论依据 范希尔理论在 “ 相似”领域的具体化 对比中美几何教材【 及 标准可以发现，“ 相似”一章主要包括比和比例，图形相似的概念和性质， 相似三角形概念、性质及判定，相似性的应用等内容其中比和比例 是研究相似性的重要工具在本章学习之前，中美学生 ( 美国学生指以 发现几何为教材的学生，以下同)均已学过数的比和比例因此，本章主要学习的新知识为图形的相似及相似三角形 为了利用范希尔理论比较两国的这两部分内容，以下是对该理论在这一领域上的具体化。O 一水平，感受相似学生通过直观图形从整体上感受 图形的相似具体地：( 1 )学生利用现实生活中 “ 相似”的概念举出一些认为是相似的实物或图形， 但可能不是数学中的相似； ( 2 )学生通过照片或影印感受相似是通过放大或缩小而来的； ( 3 ) 学生能从一组图形中直观地区分出相似图形，但其理由只能涉及 “ 看上去相同”或一图形放 ( 缩 )后能与另一图形重合 1 一水平，分析相似学生能从图形的基本组成元素得出相似图形的性质，能构造图形说明相似具体地：( 1 )学生能在方格纸或格点纸上绘已知图形的相似图； ( 2 )学生使用测量的方式发现对应边、对应角之间的关系；( 3 ) 得出相似形对应边成比例，对应角相等的结论 ( 以下称性质 1 ) ，但还不能清楚地意识到这一结论的逆向结论也成立； ( 4 ) 利用性质 1 求相似形中的未知量；( 5 )相似三角形的概念、符号及其读法 2 一水平，关系一推理学生能理解相似的判别定理，并能通过简单的推理得到更多的性质具体地：( 1 )学生认识到对应边成比例、对应角相等的两图形相似， 但只能通过放缩的思想直观感受，或通过计算机模拟实现；( 2 )通过性质 1 进一步推出周长、 面积等关系， 并认识到性质 1是基础的：( 3 )得出相似三角形对应中线、高线等的关系；( 4 )利用性质 1的逆判别图形相似；( 5 )通过观察、实验等方式，从具体例子中归纳出相似三角形的3个判别定理； ( 6 )通过位似画相似图 3 一水平，形式演绎学生能进行判别定理的形式证明，能进行多步骤的演绎具体地：( 1 )学生能利