高中数学 第三章 三角恒等变换单元质量评估 新人教A版必修4.doc

第三章 三角恒等变换(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.cos230-sin230的值是()a.12b.-12c.32d.-32【解析】选a.cos230-sin230=cos 60=12.2.若sin+cos=6204，那么为()a.512b.12c.56d.6【解析】选b.2sin+4=62，所以sin+4=32，因为04，所以+4=3，所以=12.3.(2015中山高一检测)已知cos=-35，且32，则cos2=()a.55b.-55c.255d.-255【解析】选b.因为32，所以2234，cos2=-1+cos2=-1-352=-55.4.(2015遵义高一检测)若1tan=3，则cos2+12sin2的值是()a.-65b.-45c.45d.65【解析】选d.因为tan=13，所以原式=cos2+sincossin2+cos2=1+tantan2+1=1+1319+1=1210=65.【补偿训练】已知sin=35且2,，那么sin2cos2的值等于()a.-34b.34c.-32d.32【解析】选c.因为sin=35，2,，所以cos=-45，所以tan=-34.所以sin2cos2=2sincoscos2=2tan=-32.5.(2015四川高考)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()a.y=cos2x+2b.y=sin2x+2c.y=sin2x+cos2xd.y=sinx+cosx【解析】选a.a：y=cos2x+2=-sin2x；b：y=sin2x+2=cos2x；c：y=sin 2x+cos2x=2sin2x+4；d：y=sinx+cosx=2sinx+4.只有a选项符合要求.6.已知向量a=(sin，1)，b=(2，2cos-2)(2)，若ab，则sin-4=()a.-32b.-12c.12d.32【解析】选d.因为a=(sin，1)，b=(2，2cos-2)，ab，所以2sin+2cos-2=0，即sin+cos=22，因为sin2+cos2=1，2，所以sin=2+64，cos=2-64.则sin-4=22(sin-cos)=226+24-2-64=32.7.(2015安溪高一检测)在abc中，若sinasinb=cos2c2，则abc是()a.等边三角形b.等腰三角形c.不等边三角形d.直角三角形【解析】选b.sinasinb=cos2c2=cosc+12=1-cos(a+b)2，展开整理可得cos(a-b)=1，因为-a-b，故a=b，则abc是等腰三角形.8.设p=coscos，q=cos2+2，那么p，q的大小关系是()a.pqc.pqd.pq【解析】选c.p-q=coscos-cos2+2=coscos-121+cos(+)=12(coscos+sinsin-1)=12cos(-)-10，所以pq.【补偿训练】(2015台州高一检测)已知a=sin14+cos14，b=sin16+cos16，c=62，则a，b，c从大到小的关系是_.【解析】a=sin14+cos14=2sin59，b=2sin61，c=2sin60.因为596061，所以acca.答案：bca9.(2015石狮高一检测)函数y=cos2x+4的图象沿x轴向右平移a个单位(a0)，所得图象关于y轴对称，则a的最小值为()a.b.34c.2d.4【解题指南】先将函数利用二倍角公式降幂，然后求出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求出a的最小值.【解析】选d.y=cos2x+4=1+cos2x+22=1-sin2x2=12-12sin2x，函数图象向右平移a个单位得到函数y=12-12sin2(x-a)=12-12sin(2x-2a)，要使函数的图象关于y轴对称，则有-2a=2+k，kz，即a=-4-k2，kz，所以当k=-1时，a有最小值为4，10.若04，sin+cos=a，sin+cos=b，则()a.abc.ab1d.不确定【解析】选a.因为a=2sin+4，b=2sin+4，又04，所以4+4+42，且y=sinx在0,2上为增函数，所以2sin+42sin+4，即ab.11.(2015承德高一检测)当函数y=sin3+xcos(3-x)取得最大值时，tanx的值为()a.1b.1c.3d.-1【解析】选a.y=(32cosx+12sinx)(12cosx+32sinx)=34(sin2x+cos2x)+14sinxcosx+34sinxcosx=34+12sin2x.当sin2x=1时，ymax=3+24，此时2x=2k+2(kz)，x=k+4(kz)，所以tanx=1.12.已知不等式32sinx4cosx4+6cos2x4-62-m0对于任意的-56x6恒成立，则实数m的取值范围是()a.m3b.m3c.m-3d.-3m3【解题指南】将原不等式转化为32sinx4cosx4+6cos2x4-62m，构造函数fx=32sinx4cosx4+6cos2x4-62，只要mfxmax即可.【解析】选a.原不等式可化为32sinx4cosx4+6cos2x4-62m，令fx=32sinx4cosx4+6cos2x4-62，则fx=322sinx2+621+cosx2-62=322sinx2+62cosx2=632sinx2+12cosx2=6sinx2+6，由-56x6得-4x2+64，所以-22sinx2+622，所以-36sinx2+63，为使mfx对于任意的-56x6恒成立，只需要m3.【补偿训练】已知a，b，c是abc的三个内角，设f(b)=4sinbcos24-b2+cos2b，若f(b)-m2恒成立，则实数m的取值范围是()a.m-3c.m1【解析】选d. f(b)=4sinbcos24-b2+cos2b=4sinb1+cos2-b2+cos2b=2sinb(1+sinb)+(1-2sin2b)=2sinb+1.因为f(b)-m2sinb-1恒成立.因为0b，所以0sinb1.所以-11.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.若1+tan1-tan=2016，则1cos2+tan2=_.【解析】1cos2+tan2=1+sin2cos2=(cos+sin)2cos2-sin2=cos+sincos-sin=1+tan1-tan=2016.答案：201614.(2015杭州高一检测)若(tan-1)(tan-1)=2，则+=_.【解析】(tan-1)(tan-1)=2tantan-tan-tan+1=2tan+tan=tantan-1tan+tan1-tantan=-1.即tan(+)=-1，所以+=k-4，kz.答案：k-4，kz15.若方程3sinx+cosx=a在0，2上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为_.【解析】因为3sinx+cosx=a，所以a=2sinx+6，其中x0，2.画出函数f(x)=2sinx+6，x0，2的图象，如图所示.由已知方程3sinx+cosx=a在0，2上恰有两个不同的实数解，知函数f(x)=2sinx+6，x0，2的图象与直线y=a有两个不同的交点，结合图象易得a的取值范围为(-2，1)(1，2).答案：(-2，1)(1，2)16.(2015长沙高一检测)关于函数f(x)=cos(2x-3)+cos2x+6，有下列说法：y=f(x)的最大值为2；y=f(x)是以为最小正周期的周期函数；y=f(x)在区间24,1324上单调递减；将函数y=2cos2x的图象向左平移24个单位后，将与已知函数的图象重合.其中正确说法的序号是_.(注：把你认为正确的说法的序号都填上)【解析】f(x)=cos2x-3+cos2x+2-3=cos2x-3-sin2x-3=2cos2x-12，所以f(x)max=2，即正确.t=2|=22=，即正确.f(x)的递减区间为2k2x-122k+(kz).即k+24xk+1324(kz)，k=0时，24x1324，所以正确.将函数y=2cos2x向左平移24个单位得y=2cos2x+24f(x)，所以不正确.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2014四川高考)已知函数f(x)=sin(3x+4).(1)求f(x)的单调递增区间.(2)若是第二象限角，f3=45cos+4cos2，求cos-sin的值.【解题指南】第(1)问，通过整体思想，将3x+4看作一个整体，借助y=sinx的单调递增区间，解不等式求出x的范围得到f(x)的单调递增区间，要注意kz不要漏掉；第(2)问，利用已知条件求出f3，然后利用和角公式展开整理，得到关于sin+cos与cos-sin的方程，再对sin+cos与0的关系进行讨论，得到cos-sin的值.【解析】(1)因为函数y=sinx的单调增区间为-2+2k,2+2k，kz，由2k-23x+42k+2(kz)，得2k3-4x2k3+12(kz)，所以f(x)的单调递增区间为2k3-4,2k3+12(kz).(2)由已知，有sin+4=45cos+4cos2，所以sincos4+cossin4=45coscos4-sinsin4(cos2-sin2)，即sin+cos=45(cos-sin)2(cos+sin).当sin+cos=0时，由是第二象限角，知=2k+34(kz)，此时cos-sin=cos34-sin34=-2.当sin+cos0时，有(cos-sin)2=54，由是第二象限角，知cos-sin0，此时cos-sin=-52.综上，cos-sin=-2或cos-sin=-52.【补偿训练】已知函数f(x)=tan2x+4.(1)求f(x)的定义域与最小正周期.(2)设0,4，若f2=2cos2，求的大小.【解析】(1)由2x+42+k，kz，得x8+k2，kz，所以f(x)的定义域为xrx8+k2,kz.f(x)的最小正周期为2.(2)由f2=2cos2得，tan+4=2cos2，sin+4cos+4=2(cos2-sin2)，整理得sin+coscos-sin=2(cos+sin)(cos-sin).因为0,4，所以sin+cos0.因此(cos-sin)2=12，即sin2=12.由0,4，得20,2.所以2=6，即=12.18.(12分)已知tan=-13，cos=55，(0，).(1)求tan(+)的值.(2)求函数f(x)=2sin(x-)+cos(x+)的最大值.【解析】(1)由cos=55，(0，)，得sin=255，即tan=2.所以tan(+)=tan+tan1-tantan=-13+21+23=1.(2)因为tan=-13，(0，)，所以sin=110，cos=-310.所以f(x)=-355sinx-55cosx+55cosx-255sinx=-5sinx.所以f(x)的最大值为5.19.(12分)(2015哈尔滨高一检测)已知锐角，满足tan(-)=sin2，求证：2tan2=tan+tan.【证明】因为tan(-)=sin2，tan(-)=tan-tan1+tantan，sin2=2sincos=2sincossin2+cos2=2tan1+tan2，所以tan-tan1+tantan=2tan1+tan2，整理得：tan=3tan+tan31-tan2.所以tan+tan=3tan+tan3+tan-tan31-tan2=22tan1-tan2=2tan2.20.(12分)已知锐角三角形abc中，sin(a+b)=35，sin(a-b)=15.(1)求证：tana=2tanb.(2)设ab=3，求ab边上的高.【解析】(1)因为sin(a+b)=35，sin(a-b)=15，所以sinacosb+cosasinb=35,sinacosb-cosasinb=15sinacosb=25,cosasinb=15tanatanb=2.所以tana=2tanb.(2)因为2a+b，sin(a+b)=35，所以tan(a+b)=-34，即tana+tanb1-tanatanb=-34.将tana=2tanb代入上式并整理得2tan2b-4tanb-1=0，解得tanb=262，舍去负值，得tanb=2+62.所以tana=2tanb=2+6.设ab边上的高为cd，则ab=ad+db=cdtana+cdtanb=3cd2+6，由ab=3，得cd=2+6.所以ab边上的高等于2+6.21.(12分)(2015重庆高考)已知函数f(x)=sin(2-x)sinx-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在6,23上的单调性.【解题指南】(1)化简函数f(x)的解析式即可求出函数f(x)的最小正周期及最大值.(2)利用正弦函数的图象和性质求解即可.【解析】(1)由题意知f(x)=sin2-xsinx-3cos2x=cosxsinx-32(1+cos2x)=12sin2x-32c